具体描述
清华大学出版社2006年出版的《离散数学》是一本介绍离散数学经典内容的教材，每节后面都有精选习题，本书是其教学辅导用书，对教材中的每个题目都给出了详尽的解答。
本习题解答书适合于选用清华大学出版社2006年出版的《离散数学》教材的广大师生作为辅导用书。也可供计算机专业参加研究生入学考试的学生、程序员及相关专业技术人员参考。
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穿越数学的迷宫：代数、几何与分析的奇妙旅程 书籍名称：《代数、几何与分析的奇妙旅程》 图书简介： 本书旨在带领读者领略现代数学三大核心支柱——代数、几何和分析——的宏伟蓝图与内在联系。它不是一本枯燥的教科书，而是一部充满探索精神的指南，旨在揭示抽象概念背后的直观美感与实际应用价值。我们的目标是构建一座坚实的桥梁，连接初学者对数学符号的初步认知与专业研究人员对深层理论的深入理解。 --- 第一部分：代数的深层结构与逻辑之美 代数，作为数学的骨架，其魅力在于对结构和关系的精确描述。本书的第一部分将从群论、环论和域论的基础出发，引导读者深入理解代数系统的内在秩序。 1. 群论：对称性的语言 我们将从最基础的对称操作开始，逐步引入群的定义、子群、陪集与商群的概念。重点探讨有限群（如二面体群 $D_n$ 和循环群 $C_n$）的结构分析，并介绍重要的分类定理，如拉格朗日定理及其推论。随后，我们将过渡到更复杂的结构，如正规子群、同态与同构，这为理解更高级的代数结构打下基础。 我们不会止步于抽象定义，而是通过实例展示群论在密码学（如有限域上的运算）和物理学（如粒子对称性）中的实际应用。例如，我们将详细解析晶体学中的空间群如何描述物质的周期性排列。 2. 环与域：运算的扩展 从群论的加法或乘法结构，自然过渡到同时拥有两种运算的环。本书将详细阐述理想（Ideals）的概念，并讨论主理想环、唯一因子分解整环（UFD）和诺特环的性质。通过实例解析多项式环 $F[x]$ 的性质，帮助读者理解抽象根的概念。 域论部分，我们将关注域的扩张——有限域和代数扩张。伽罗瓦理论的初步介绍将是重头戏，它将揭示多项式方程解的存在性与可构造性之间的深刻联系，并回答“为什么五次及以上的一般代数方程没有求根公式”这一经典问题。我们将侧重于其几何意义，而非过于繁复的计算。 --- 第二部分：几何学的直观与拓扑的延伸 几何学是数学中最直观的分支，但本书将带领读者超越欧几里得空间的限制，进入更高维度和更灵活的形变世界。 1. 欧氏空间的高级视角 在回顾线性代数中向量空间的基础上，本部分着重于几何构造。我们将深入研究二次型、特征值和特征向量在几何变换（旋转、拉伸）中的作用。矩阵的奇异值分解（SVD）将被用作理解任意线性映射如何分解为基本的几何操作的工具。 曲线和曲面的微分几何将是重要的篇章。我们将引入弧长、曲率和挠率的概念，并利用这些工具描述空间中物体的局部形状。高斯曲率的概念及其对几何测量的意义，特别是对“平面”概念的推广，将是本节的亮点。 2. 拓扑学的“橡皮泥几何” 拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质。本书将从度量空间和拓扑空间的基本定义入手，解释开集、闭集、紧致性和连通性的直观含义。 我们将探讨同胚（Homeomorphism）的概念，并通过著名的例子，如咖啡杯与甜甜圈的拓扑等价性，来展示拓扑思维的强大之处。球面上的欧拉示性数和流形的基本概念将被引入，为理解高维空间打下基础。重点在于培养读者对“邻域”和“极限”的拓扑化理解。 --- 第三部分：分析学的严谨性与无穷的处理 分析学是数学的“精确度量衡”，它要求我们对极限、收敛和连续性给予严格的定义。本部分聚焦于实分析和复分析的基础，强调推理的严密性。 1. 实分析：从 $epsilon-delta$ 到积分的构建 本书将系统地构建实数系统，重点论述其完备性（戴德金分割或柯西序列定义）。连续函数、一致收敛性以及我们熟悉的极限运算，都将在 $epsilon-delta$ 语言下得到严谨的论证。 级数和序列的收敛测试（如比值检验、积分检验）将配以直观的解释，说明无穷多项相加的最终结果是如何确定的。积分的引入将采用黎曼积分的严谨定义，并探讨其局限性，为勒贝格积分的概念做铺垫，揭示其在处理不规则函数时的优越性。傅里叶级数的收敛性分析将作为理论应用的实例展示。 2. 复分析的几何视角 复分析将从代数结构（复数域 $mathbb{C}$）的几何表示（二维平面）开始，引导读者理解全纯函数（Analytic Functions）的强大特性。柯西-黎曼方程将是理解全纯性的核心。 泰勒级数和幂级数的展开不仅是代数操作，更是对函数局部行为的精细刻画。留数定理（Residue Theorem）将作为复分析的基石，用于解决许多原本难以处理的实积分问题。我们将通过共形映射（Conformal Mappings）的例子，展示复分析在流体力学和电磁学中的优雅应用。 --- 结语：数学的统一性 本书的最终目标是让读者看到，代数提供了描述关系的框架，几何提供了直观的可视化，而分析则提供了处理无限过程的工具。这三者并非孤立存在，而是相互渗透、相互支持的。通过跨越这些学科边界的探索，读者将建立起对现代数学理论的整体把握能力，并为未来更专业领域（如微分方程、代数拓扑或泛函分析）的学习做好充分准备。本书的论述风格注重逻辑的清晰性和概念的深度，力求让读者在享受数学之美的同时，也掌握必要的严谨推理能力。
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