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出版者:International Press of Boston

作者:Richard Schoen

出品人:

页数:414

译者:

出版时间:1994-6-1

价格:USD 55.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781571460127

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何7
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《流形几何探秘：微分几何引论》 本书旨在为读者提供一个关于微分几何的全面且深入的介绍，内容涵盖了现代几何学及其在物理学、拓扑学等领域中的重要应用。我们从基础的欧几里得空间出发，逐步引入曲线和曲面的概念，构建起理解更抽象几何对象的坚实基础。 第一部分：黎曼几何的基石 本部分将带领读者走进黎曼几何的世界。我们首先会介绍微分流形的核心概念，包括拓扑空间、图册、光滑结构等，使得读者能够理解高维几何空间的构造。随后，将深入探讨张量场，这是描述几何对象性质的关键工具。我们将学习张量代数，理解协变张量、逆变张量以及张量场的运算，如外微分、李导数等。 接着，本书将重点介绍联络的概念。我们将从仿射联络出发，逐步过渡到黎曼几何的核心——黎曼度量。黎曼度量赋予了流形长度、角度和体积的概念，是研究测地线、曲率等几何性质的基石。我们会详细讲解曲率张量，包括里奇曲率和标量曲率，并探讨它们在描述流形几何形状中的作用。 第二部分：测地线、曲率与特殊流形 在第一部分奠定基础后，本部分将聚焦于测地线和曲率的深刻性质。我们将详细分析测地线方程，理解它们如何代表流形上的“最短路径”，并探讨完备性、奇点等问题。 曲率的探索将是本部分的另一大重点。我们将深入研究高斯曲率和平均曲率在曲面几何中的表现，并将其推广到高维流形。此外，我们还将介绍法丛和第一基本形式、第二基本形式，以更精确地刻画曲面的几何性质。 本书还将介绍一系列重要的特殊流形，例如欧几里得空间、球面、环面等，并通过具体的例子来加深读者对抽象概念的理解。我们还将触及曲率形式的概念，为理解更高级的几何理论打下基础。 第三部分：微分形式与拓扑几何 本部分将引入微分形式这一强大的工具，它们在现代微分几何和拓扑学中扮演着至关重要的角色。我们将学习外代数，理解外积的性质，并定义外微分。 随后，我们将介绍德拉姆定理，这是连接微分形式和流形拓扑的重要桥梁。我们将学习德拉姆上同调，理解它如何编码流形的拓扑信息，例如连通分量和“洞”。 本书还将探讨霍奇分解，它揭示了微分形式在黎曼流形上的结构，并引入辛流形和凯勒流形等具有特殊结构的流形，这些流形在物理学，尤其是理论物理学中有着广泛的应用。 第四部分：几何与物理的交汇 本部分旨在展示微分几何在现代物理学中的巨大影响力。我们将探讨广义相对论中，时空被视为一个四维黎曼流形，而引力则被描述为时空的曲率。我们将简要介绍爱因斯坦场方程，并阐述几何结构如何决定物质和能量的运动。 此外，我们还将介绍杨-米尔斯理论，它在粒子物理学中描述基本相互作用，并展现了微分几何在规范场理论中的应用。读者将了解到纤维丛的概念，以及它们如何在物理学中用于描述场的性质。 学习本书，你将获得： 对微分几何核心概念的深刻理解，包括微分流形、张量场、联络和黎曼度量。 掌握分析测地线、曲率等几何性质的数学工具。 领略微分形式在连接几何与拓扑中的强大力量。 认识微分几何在广义相对论、规范场论等现代物理学分支中的关键作用。 为进一步深入研究代数几何、拓扑学、理论物理学等领域打下坚实的数学基础。 本书适合数学、物理学及相关交叉学科的本科生、研究生以及对几何学有浓厚兴趣的科研人员。通过循序渐进的讲解和丰富的示例，我们致力于让抽象的几何概念变得生动且易于理解。

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说实话，初次翻开这本书时，我有些被其内容的深度所震撼。它没有过多地停留在二维或三维空间的直观描述上，而是几乎从一开始就将读者带入了高维、抽象的微分几何世界。作者对微分流形概念的把握极其精准，每一个定义都经过了深思熟虑，没有丝毫的含糊之处。对我而言，最大的收获在于它对“外微分”处理的细腻。书中对楔积的运算规则和与微分算子的结合，进行了近乎艺术性的阐述，使得原本枯燥的代数操作，焕发出强大的分析潜力。阅读过程中，我感觉自己不仅仅是在学习一套工具，更是在学习一种思考“无限小变化”的高级语言。这本书无疑是为那些已经具备扎实分析和线性代数基础，渴望进入现代微分几何前沿探索的读者准备的“硬核”读物。

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这本书的写作风格可以说是相当“老派”且严谨，充满了古典数学教科书的沉稳气息。它不像某些现代教材那样追求时髦的语言或者过于简化的表达，而是坚持了从基础公理到复杂结论的完整推导过程。这种详尽到近乎冗余的论证，对于那些追求绝对严密性的读者来说，是极大的福音。我特别欣赏它对拓扑预备知识的侧重，作者没有将拓扑和光滑流形的基础视为理所当然，而是用独立的章节进行了细致的梳理，这极大地降低了跨领域学习的门槛。不过，也正因为这种严谨性，使得本书的阅读节奏相对缓慢，需要读者投入相当的耐心。当你最终攻克一个复杂的定理时，那种“一切尽在掌握”的感觉，是其他轻快的读物所无法比拟的，这是一种对数学真理的敬畏感。

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这本书的数学基础讲解得极其透彻，对于初学者来说，简直是一盏明灯。作者似乎深谙如何将那些抽象、晦涩的概念，通过清晰的逻辑链条和恰到好处的例子串联起来。我记得在学习黎曼曲率张量那一章时，其他教材总是直接堆砌公式，让人望而生畏，而这本书却能循序渐进地引导你理解其几何意义，仿佛作者坐在你旁边，手把手地推导每一步。特别是关于联络的定义和发展，书中采用了非常直观的视角，让我不再把微分几何仅仅看作是纯粹的分析工具，而是真正开始领会它在描述空间弯曲性上的强大威力。我对书中的习题设计也印象深刻，它们并非是简单的计算验证，而是巧妙地服务于核心概念的巩固和深层理解，有些题目甚至能让人在解题过程中获得豁然开朗的体验。如果你想建立起坚实、不易动摇的微分几何知识体系，这本书绝对是值得你投入时间的基石。

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我手中的这本书，内容组织上展现出一种强烈的结构美学。它仿佛是一座精心设计的建筑，从底层的数据（微分形式和张量代数）开始，一步步向上搭建起主体的框架（流形上的导数、曲率），最终以重要的应用和高级理论（如德拉姆上同调的引言）作为屋顶收尾。这种递进式的结构，使得学习者能够清晰地看到各个知识点之间的内在联系，避免了知识点的碎片化。尤其欣赏它对纤维丛理论的引入方式，作者并没有急于跳入复杂的结构群，而是通过向量场的截面和切丛的视角，巧妙地构建了直观的几何图像，这种“先见森林后见树木”的处理方法，成功地避免了初学者在面对高深理论时的迷失感。对于那些希望在理论框架内建立完整认知体系的人来说，这本书的布局无疑是教科书级别的典范。

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这本书的阅读体验，更像是跟随一位经验丰富的大师进行学术漫步，而非单纯的知识灌输。它最吸引我的地方在于其历史视野和动机的阐述。作者在讲解一些关键概念（比如测地线方程的建立）时，会不时地穿插其背后的物理或几何动机，这极大地增强了学习的内在驱动力。你会明白为什么欧几里得几何的直观概念，必须被推广成如此复杂的数学结构。它成功地在“是什么”（定义）和“为什么是这样”（动机与历史背景）之间找到了一个完美的平衡点。读完某个章节后，我常常会停下来思考，这种对几何本质的追问，远比单纯的公式记忆来得更有价值。对于那些希望了解微分几何“灵魂”所在，而不是仅仅掌握计算技巧的深度学习者，这本书提供了无与伦比的洞察力。

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