A Course in Differential Geometry (Graduate Studies in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Thierry Aubin

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:2000-10

价格:USD 39.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821827093

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

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《微分几何导论》 本书是一本深入探讨微分几何核心概念与方法的进阶读物，旨在为读者提供一个坚实的理论基础，并为进一步研究微分几何及其在相关领域的应用铺平道路。本书特别适合数学专业研究生、对微分几何怀有浓厚兴趣的本科高年级学生，以及需要深入理解微分几何理论的研究人员。 核心内容概述： 本书以一种严谨且循序渐进的方式，系统地介绍了现代微分几何的基石。我们将从流形的内在几何出发，逐步深入到度量张量、联络、曲率等核心概念。 流形理论的基础： 我们将从最基础的拓扑空间和可微映射开始，构建微分流形的定义。这包括局部坐标系、图册、可微结构等关键概念，为理解更复杂的几何对象奠定基础。本书将详细阐述流形上向量场、张量场以及它们的代数运算，为后续内容的展开做好准备。 黎曼流形与度量张量： 黎曼流形是微分几何中最重要的一类流形。本书将详细介绍度量张量的概念，它赋予了流形距离和角度的度量。我们将深入研究度量张量的性质，例如正定性、共变性与逆变性，以及它如何定义流形上的体积形式和距离。 联络与测地线： 联络是黎曼流形上的一个核心概念，它允许我们在流形上“平行移动”向量。本书将详细讲解列维-奇维塔联络的存在性与唯一性，以及协变导数的定义和性质。在此基础上，我们将自然地过渡到测地线的概念，它是流形上“最短路径”的推广，并探讨测地线方程的求解与性质。 曲率的深刻洞察： 曲率是衡量流形弯曲程度的关键。本书将详细介绍黎曼曲率张量、Ricci 曲率和标量曲率。我们将分析曲率张量的几何意义，理解它如何描述流形在不同方向上的弯曲行为。此外，本书还将探讨曲率的代数性质，如曲率张量的对称性、缩约性质等，以及它们在微分几何中的重要作用。 流形上的积分与微分形式： 为深入理解流形上的几何分析，本书将引入微分形式的概念。我们将定义微分形式的代数运算，如楔积（外积），以及霍奇对偶等。在此基础上，我们将详细介绍德拉姆复形和德拉姆定理，它将流形上的拓扑不变量（同调群）与微分形式的积分联系起来。 高斯-博内定理及其推广： 高斯-博内定理是微分几何中最著名且最重要的定理之一，它将紧致二维黎曼流形上的总曲率与其欧拉示性数联系起来。本书将详细证明高斯-博内定理，并探讨其在其他维度上的推广，例如其在嵌入问题中的应用。 其他重要主题（根据具体课程侧重）： 根据课程的侧重点，本书可能还会包含对以下主题的初步介绍： 嵌入定理： 如Nash嵌入定理，它表明光滑黎曼流形可以“平坦地”嵌入到欧几里得空间中。 曲面论： 对二维曲面的深入研究，包括第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率和平均曲率等。 张量分析： 更广泛的张量分析，包括张量分解、张量微分算子等。 李群与李代数： 微分几何在代数结构中的应用。 本书的特点： 严谨的数学表述： 本书采用严谨的数学语言和证明方法，确保概念的准确性和推理的可靠性。 清晰的逻辑结构： 内容组织紧凑，概念引入循序渐进，层层递进，帮助读者构建完整的知识体系。 丰富的例证和习题： 书中包含大量的例子，帮助读者理解抽象的概念。每章末尾都附有精心设计的习题，涵盖基础概念的巩固和深入探索，有助于读者检验和提升学习效果。 理论与应用的衔接： 在讲解理论的同时，本书也适时地提及微分几何在物理学（如广义相对论）、拓扑学、几何分析等领域的应用，激发读者的研究兴趣。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 掌握微分流形的基本概念和构造方法。 理解黎曼几何的核心工具，如度量张量、联络和曲率。 熟练运用微分形式进行积分和链式计算。 理解并掌握高斯-博内定理等重要定理。 为进一步学习微分几何的高级课题或相关交叉学科打下坚实的基础。 本书力求为每一位学习者提供一个深入探索微分几何世界的美妙旅程。

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阅读体验上，这本书的排版设计简直是一门艺术。页边距的留白恰到好处，既保证了足够的注释空间，又不会让人感觉页面拥挤不堪。图表的绘制质量堪称教科书级别的典范——清晰、准确，并且完美地服务于概念的阐释，而不是单纯的装饰品。我注意到，许多关键定义和重要的引理都被精心设计成不同的字体或框格突出显示，这在快速回顾或复习时提供了极大的便利。对于需要深入钻研证明细节的人来说，脚注的处理也非常到位，它们提供了必要的背景信息和历史渊源，让知识的获取不再是孤立的，而是嵌入到整个数学发展史的脉络中。这种对“可读性”和“专业性”平衡的把握，使得即便是面对最艰深的证明，读者的心绪也能保持相对的平静与专注。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，深邃的蓝色调配上烫金的几何图案，立刻营造出一种严谨而又引人入胜的学术氛围。初次拿起它，我就被那种厚重感所吸引，感觉手里握着的不仅仅是一本书，更像是一把通往高等数学殿堂的钥匙。内页的纸张质量也无可挑剔，触感温润，油墨印刷清晰锐利，即便是长时间的阅读也不会感到眼睛疲劳。装帧工艺极其考究，书脊牢固，完全不用担心翻阅时会散架。对于我这种需要经常在不同章节间跳转的读者来说，这种扎实的做工是极其重要的，它保证了我的学习过程是顺畅且愉悦的，丝毫不会被工具层面的问题所干扰。这种对细节的极致追求，无声地传递着编者对数学之美的敬畏与尊重，让人在尚未深入内容之前，就已经对这趟学习旅程充满了期待。

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这本书的深度和广度令人叹为观止，它显然是为真正想要在这一领域有所建树的研究者所准备的“硬核”读物。尽管开篇做了友好的铺垫，但随着章节深入，其要求读者具备的预备知识和思维强度也在稳步攀升。我特别欣赏其中对拓扑学基础的灵活运用，它并非简单地重复拓扑知识，而是直接将其内化为微分几何语言的一部分，展示了数学分支之间精妙的相互依存关系。在处理某些高阶流形上的向量场和张量分析时，行文变得异常精炼和凝练，仿佛进入了只有行家才能完全消化的纯粹数学语境。这种风格的转变，恰恰体现了作者的自信——他们相信读者已经准备好迎接这种密集的思维训练，并能从中汲取最精华的养分。这绝非一本可以轻松翻阅的休闲读物，它要求全身心的投入和持续的智力挑战。

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内容组织上，作者展现了惊人的驾驭复杂概念的能力，它不是那种堆砌公式的教科书，而更像一位经验丰富的导师，循序渐进地引导你构建起整个微分几何的宏大图景。叙述的逻辑性极强，每一个定理的引入都像是水到渠成，自然而然地导向下一个更深层次的理解。特别值得称赞的是，它并没有一上来就抛出过于抽象的定义，而是巧妙地穿插了许多几何直觉的铺垫和生动的例子，这对于我这种非纯数学背景的初学者来说，是至关重要的“软着陆点”。读到关于黎曼曲率张量那部分时，我发现作者的处理方式非常高明，没有陷入繁琐的指标计算泥潭，而是先让你从几何意义上领会其内涵，然后再逐步深入到代数表达。这种由表及里、层层递进的教学方法，极大地降低了早期学习曲线的陡峭感。

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总的来说，这本书为我构建了一个坚不可摧的微分几何知识框架。它不仅仅是传授了工具和技巧，更重要的是，它培养了一种独特的“几何视角”——一种看待空间、结构和变换的方式。它没有回避那些最具挑战性的概念，反而将其视为学习者必须征服的风景线。比如，作者在讲解切丛和联络概念时所采用的对比和类比手法，让我对“曲率”这个核心概念有了超越课本的、近乎直观的领悟。这本书的价值在于其深度和持久性，它不是一本读完就束之高阁的参考书，而是会成为我未来研究和教学中反复查阅和引用的核心资源。它成功地在“严谨的数学语言”和“清晰的几何直觉”之间架起了一座稳固的桥梁，让学习者既能脚踏实地地掌握形式逻辑，又能仰望广阔的几何想象空间。

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