The Hypoelliptic Laplacian and Ray-Singer Metrics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Bismut, Jean-Michel/ Lebeau, Gilles

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:2008-8

价格:$ 62.15

装帧:

isbn号码:9780691137322

丛书系列:

图书标签:

数学
微分几何7
微分几何
偏微分方程
椭圆算子
次椭圆算子
Ray-Singer度量
谱几何
几何分析
拓扑学
函数分析
数学物理
伪微分算子

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具体描述

This book presents the analytic foundations to the theory of the hypoelliptic Laplacian. The hypoelliptic Laplacian, a second-order operator acting on the cotangent bundle of a compact manifold, is supposed to interpolate between the classical Laplacian and the geodesic flow. Jean-Michel Bismut and Gilles Lebeau establish the basic functional analytic properties of this operator, which is also studied from the perspective of local index theory and analytic torsion. The book shows that the hypoelliptic Laplacian provides a geometric version of the Fokker-Planck equations.The authors give the proper functional analytic setting in order to study this operator and develop a pseudodifferential calculus, which provides estimates on the hypoelliptic Laplacian's resolvent. When the deformation parameter tends to zero, the hypoelliptic Laplacian converges to the standard Hodge Laplacian of the base by a collapsing argument in which the fibers of the cotangent bundle collapse to a point. For the local index theory, small time asymptotics for the supertrace of the associated heat kernel are obtained. The Ray-Singer analytic torsion of the hypoelliptic Laplacian as well as the associated Ray-Singer metrics on the determinant of the cohomology are studied in an equivariant setting, resulting in a key comparison formula between the elliptic and hypoelliptic analytic torsions.

本书深入探讨了半椭圆拉普拉斯算子在现代数学物理和微分几何中的核心作用，特别关注其与Ray-Singer度量的深刻联系。核心内容概述：本书的第一部分，着重于半椭圆算子的理论基础。读者将首先接触到作为研究对象的半椭圆拉普拉斯算子，包括其一般的定义、性质以及在不同几何背景下的具体表现形式。我们将详细介绍该算子在黎曼流形、伪黎曼流形以及更一般的光滑流形上的构造与分析。重点将放在理解其差分性质，即算子在某些方向上的椭圆性以及在其他方向上的退化性，以及这如何影响其谱的性质和解的存在性。我们会引入与半椭圆算子相关的伪微分算子理论，阐述如何在局部和全局的框架下理解和分析这类算子，包括其符号演算、核的性质以及基本的分析工具，如Sobolev空间上的估计。接下来，我们将深入探讨半椭圆算子在几何和拓扑中的应用。特别地，我们将研究它如何用于定义和理解不变量，例如通过其迹公式（Trace Formula）来揭示流形的几何和拓扑信息。书中会详细介绍Zeta函数正则化的思想，特别是Ray-Singer Zeta函数的构造，它利用半椭圆算子的谱信息来定义几何量。我们将分析Zeta函数的解析延拓和奇点，以及它们如何与流形的拓扑不变量（如Euler示性数、不合时宜示性数等）相关联。本书的第二部分，将目光聚焦于Ray-Singer度量。我们将首先介绍Ray-Singer度量的起源和基本思想，即如何通过半椭圆算子的Zeta函数来定义一个与度量相关的量，以及这个量如何在某些情况下表现为一种“自然”的度量。我们将详细阐述Ray-Singer度量的构造，重点分析其与流形上的热核（Heat Kernel）的联系，以及如何利用半椭圆算子来计算热核的渐近展开，并从中提取出度量的几何信息。书中将详细讨论Ray-Singer度量在不同几何情境下的表现。例如，在模空间（Moduli Space）的背景下，Ray-Singer度量扮演着至关重要的角色，它提供了一种定义模空间上自然体积形式的方法，对于理解共形场论、弦理论以及低维拓扑等领域至关重要。我们将分析Ray-Singer度量在模空间上的奇点行为，以及这些奇点与空间几何的对应关系。此外，本书还将探讨Ray-Singer度量与量子场论的联系。特别是，我们将介绍它如何在路径积分（Path Integral）和量子化（Quantization）的过程中出现，以及如何用于处理规范场论中的一些难题，例如狄拉克算子（Dirac Operator）和规范连接（Gauge Connection）的量化。我们将讨论Ray-Singer度量在AdS/CFT对应等现代理论物理框架下的潜在应用。具体内容亮点：严格的理论推导：本书不会回避复杂的数学推导，而是力求清晰、严谨地展现半椭圆算子和Ray-Singer度量的数学结构。丰富的几何背景：涵盖了从欧氏空间到一般流形的多种几何空间，并详细分析了算子和度量在不同几何环境下的性质。跨学科的视角：紧密结合了偏微分方程、微分几何、拓扑学和理论物理的研究成果，展现了数学的统一性。前沿的研究方向：涉及了许多当前数学和物理研究中的活跃领域，为读者提供了进一步深入研究的线索。实例分析：通过具体的例子（如二维曲面、三维流形等）来阐述抽象的理论概念，帮助读者更好地理解。本书适合的读者：本书适合对微分几何、偏微分方程、拓扑学、数学物理以及理论物理（特别是弦理论、共形场论、量子引力等）有浓厚兴趣的研究生、博士后研究人员以及相关领域的学者。读者应具备一定的泛函分析和微分几何基础。通过本书，读者将能够深入理解半椭圆拉普拉斯算子在刻画几何和拓扑性质方面的强大能力，以及Ray-Singer度量在连接几何、拓扑与量子场论方面的关键作用。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，用一个词来形容，那就是“冷峻的优雅”。作者的语言极为克制，没有丝毫的夸张或冗余，每一个句子似乎都经过了最严格的筛选，直奔主题，但这种直白却丝毫不显枯燥。它仿佛是直接从心灵深处提取出来的思想结晶，纯粹而有力。阅读过程中，我体验到了一种罕见的、高度集中的心流状态，仿佛时间都为之凝固了，外界的一切喧嚣都退去，只剩下我和作者共同构建的这个抽象世界。这种体验是极其宝贵的，因为它证明了作者在组织和表达复杂思想方面的非凡功力。它不是那种会让你在周末休闲时拿起来翻阅的书，它需要的是专注的投入和精神上的全神贯注。我认为，这本书的真正价值，或许不在于它直接提供了多少个即刻可用的结论，而在于它提供了一个思维的“骨架”，一个可以支撑未来数十年学术探索的坚固基础。对于任何严肃对待这个领域的人来说，它无疑是一部里程碑式的著作。

评分☆☆☆☆☆

说实话，刚接触这本书时，我一度感到有些压力，毕竟“拉普拉斯算子”的深奥已经臭名昭著，更何况前面还冠以“次椭圆”这样的限定词。然而，随着阅读的深入，我发现作者在构建理论框架时所采用的叙事手法，远比教科书来得更加生动和富有启发性。他并没有直接抛出最复杂的定理，而是像一位经验丰富的向导，首先带你熟悉周围的环境，用类比和直观的几何想象来铺陈基础概念。特别是当涉及到一些高维空间中的分析技巧时，作者似乎能读懂读者的困惑，总能在关键节点插入一段详尽的、近乎哲学的思辨，解释“为什么”要用这种方法，而不是仅仅展示“如何”使用它。这种对“理解的本质”的关注，使得这本书超越了一般的参考书的范畴。我发现自己不仅仅是在学习一套数学工具，更是在学习一种看待问题的全新视角，一种对抽象结构进行深度剖析的能力。书中对于一些经典猜想的讨论部分，更是精彩绝伦，那种对尚未解决问题的敬畏和探索的激情，感染力十足。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的排版和装帧设计给予极高的评价，这在学术专著中是相当难得的。纸张的质感非常适合长时间阅读，墨迹的清晰度也保证了那些复杂矩阵和希腊字母能够被准确无误地辨识，这对于依赖视觉精确性的数学工作者来说至关重要。更值得称道的是，附录部分的处理方式——它没有成为一个可有可无的边角料，反而被精心设计成了一个理论的“备用引擎”。作者将一些与主线并行但复杂度稍高的技术性细节放在那里，既保证了主体的流畅性，又为需要深入研究的读者提供了坚实的后盾。我特别喜欢作者在引用文献时所采用的标注方式，既简洁又不失权威性，让人一眼就能追踪到思想的源头。整体而言，这是一本在“物理感受”和“知识密度”之间找到了完美平衡点的作品。如果一定要吹毛求疵，也许增加一些历史上的插图对比，会让那些宏大理论的演变过程更加具象化一些，但这已经是吹毛求疵了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调配上精致的几何图形，立刻让人联想到高深莫测的数学世界。我第一次翻开它的时候，那种沉甸甸的质感就让人觉得这不是一本可以轻易“看完”的书，而更像是一件需要时间去沉淀和体会的艺术品。作者在导论部分展现出的那种宏大气魄，仿佛带领读者站到了一个全新的知识制高点上，视野瞬间开阔。尽管内容本身涉及的领域极其专业，但从文字的编排和逻辑的推进上，能感受到一股强烈的匠人精神。那些复杂的符号和公式，被巧妙地穿插在清晰的叙述之中，使得原本可能令人望而却步的理论，有了一丝可触及的亲切感。这本书无疑是为那些真正热爱钻研、渴望触及数学前沿的学者准备的，它不是快餐式的读物，而是需要你点燃一盏夜灯，伴随着咖啡的香气，慢慢品味的学术佳酿。阅读它，就像攀登一座知识的高塔，每向上一步，都伴随着思维的重塑和认知的飞跃。我尤其欣赏其中对历史背景的梳理，它没有简单地罗列事实，而是将理论的诞生置于那个时代思潮的洪流之中，使得理解不再是孤立的，而是具有了深厚的文化和历史底蕴。

评分☆☆☆☆☆

从一个应用数学研究者的角度来看，这本书的价值体现在其跨学科的视野和对新工具的引入上。它不仅仅局限于纯粹的分析构造，而是巧妙地将物理学中的一些概念，比如波的传播特性，融入到纯粹的拓扑和微分几何的讨论中。这种“对话”的姿态，使得原本壁垒分明的学科领域产生了一种迷人的张力。书中对某些特定算子的性质分析，其细致程度令人咋舌，几乎将每一个可能的边界条件和渐进行为都考虑在内，这对于建立严谨的数学模型至关重要。我发现自己频繁地停下来，不是因为看不懂，而是因为被那种穷尽所有可能性的严谨所震撼。它迫使我跳出自己熟悉的框架，去思考如何将这些先进的分析工具应用到我目前正在研究的偏微分方程的长期行为预测上。这本书就像一把精密的瑞士军刀，里面塞满了只有最顶尖的工匠才懂得如何使用的专业工具。

评分☆☆☆☆☆