An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Revised pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:William M. Boothby

出品人:

页数:438

译者:

出版时间:2002-8-5

价格:GBP 82.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780121160517

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几何学的深层结构：流形、张量与黎曼几何导论 导言：超越欧几里得空间的探索 自古以来，人类对空间形状的理解便根植于欧几里得几何。然而，十九世纪以来，随着非欧几何的发展，以及物理学对时空本质更深层次的探究，对更一般、更灵活的几何框架的需求日益迫切。这种需求催生了微分几何这一数学分支，它将分析学的工具（尤其是微积分和线性代数）引入到对弯曲空间的研究之中。 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的入口，进入微分几何和黎曼几何的宏伟世界。我们摒弃了对初学者可能产生误导的过于简化的描述，而是聚焦于构建一个坚实的数学基础，使读者能够真正掌握处理光滑几何对象（即流形）所需的语言和技术。全书的叙事线索围绕着“局部看似平坦，整体可以弯曲”这一核心思想展开，通过系统地介绍拓扑基础、光滑结构、张量分析，最终抵达黎曼度量的深刻内涵。 --- 第一部分：拓扑基础与光滑空间的构建 在讨论“微分”之前，我们必须先定义“空间”的结构。本部分着重于流形这一中心对象的严格定义和拓扑性质。 第一章：度量空间与拓扑基础回顾 尽管黎曼几何是关于微分的，但其根基在于拓扑学。本章首先对拓扑空间的概念进行回顾，强调开集、闭集、邻域和连续性的定义。随后，我们深入探讨度量空间，它为后续引入距离和收敛性概念奠定了基础。 重点讨论了紧致性和连通性，它们是流形性质分析中不可或缺的工具。我们将展示，这些拓扑性质如何影响一个空间是否可以被局部地用欧几里得空间来描述。对紧致性的深刻理解，特别是 Heine-Borel 定理在有限维欧氏空间中的表述，为推广到更高维、更复杂的空间提供了类比基础。 第二章：流形的定义与构造 流形（Manifolds）是本书的核心研究对象。本章提供流形最精确的定义：一个拓扑空间，其上存在开复盖，其中每个开集都与某个欧几里得空间的开集有同胚映射。 图册（Atlas）与坐标图（Charts）： 我们详细阐述了如何利用坐标图将局部区域映射到 $mathbb{R}^n$，并解释了可移植性的概念——如何在不同图册的交集中保持映射的连续性。 光滑性（Smoothness）： 引入光滑结构，定义了两个坐标图之间的过渡函数（Transition Maps）必须是无限次可微的。这是“微分”几何的由来。我们将严格区分 $C^k$ 流形和光滑流形。 例子与反例： 除了常见的球面 $S^n$ 和环面 $T^2$，我们还会探讨一些非平凡的例子，如著名的射影空间 $mathbb{RP}^n$ 和 李群。同时，讨论为什么某些空间（如分片连接的空间）不能是流形。 --- 第二部分：切空间与向量场——局部线性化的工具 一旦我们拥有了光滑的流形结构，下一步就是如何在每一点上进行局部的“线性化”操作，这是微积分应用于弯曲空间的必要步骤。 第三章：切空间——流形上的向量 在欧氏空间中，向量是固定的，可以直接在原点相加。但在流形上，向量的意义必须与特定的“点”关联起来。切空间 $T_p M$ 是流形 $M$ 在点 $p$ 处的局部线性近似。 导数和切向量的定义： 我们采用最严格的定义，即方向导数（或沿着曲线的导数）来定义切向量。这避免了对坐标系的预设依赖。 基底与坐标表示： 展示了如何利用坐标图构建切空间的基底 ${frac{partial}{partial x^1}, ldots, frac{partial}{partial x^n}}$。 线性映射与余切空间： 介绍余切空间 $T^_p M$，它是切空间的对偶空间，其元素被称为余向量或1-形式。 第四章：光滑函数、向量场与李导数 本章将局部线性对象推广到整个流形上的场。 向量场（Vector Fields）： 向量场 $X$ 是一个在流形上每一点指定一个切向量的连续（或光滑）分配。向量场代表了流形上速度场的概念。 李括号（Lie Bracket）： 引入两个向量场之间的李括号 $[X, Y]$。这一操作是衡量两个微分算子之间非对易性的关键，也是定义流形上对称性和结构的内在工具。我们将证明 $[X, Y]$ 本身也是一个向量场。 流（Flows）与生成元： 阐述向量场如何生成流（即微分方程的解），将微分方程的动力学概念引入到几何结构中。 --- 第三部分：张量、微分形式与积分——几何分析的语言 要描述弯曲空间中的“量”，我们需要张量。本部分引入了张量代数的语言，并为微分形式的积分做准备。 第五章：张量代数与张量场 张量是多线性函数，它们在坐标变换下遵循特定的规则。这使得它们成为描述物理量（如应力、曲率）的理想工具。 张量的定义与类型： 严格定义 $(k, l)$ 型张量。强调张量是独立于坐标系的几何对象，这通过其变换法则得以保证。 张量积与缩并： 介绍如何组合张量（张量积）以及如何降低阶数（缩并操作）。 张量场： 将张量概念推广到流形上的每一点，形成张量场。 第六章：微分形式与外微分 微分形式是黎曼几何和拓扑学中进行积分和拓扑不变性分析的关键。 k-形式的定义： $k$-形式是切空间的 $k$ 重反对称线性函数（即 $k$ 阶的外积）。我们重点关注1-形式和2-形式。 外微分（Exterior Derivative）$d$： 定义外微分算子 $d$，它将 $k$-形式映射到 $(k+1)$-形式。这是最核心的操作之一。 外导数性质与 Cartan 链式法则： 证明 $d^2 = 0$（即 $d(domega) = 0$），这是推广微积分中旋度、散度等概念的内在结构。 --- 第四部分：黎曼几何——距离与曲率的引入 本部分的目的是将度量结构（距离和角度）引入光滑流形，从而构建黎曼流形。 第七章：黎曼度量与度量张量 黎曼度量 $g$ 是一个光滑的 $(0, 2)$ 型对称协变张量场，它在每个切空间上提供了一个内积。 度量张量 $g_{ij}$： 在局部坐标系下，度量由其分量 $g_{ij}$ 描述。我们展示如何利用 $g$ 来计算向量的长度和两个向量之间的夹角。 上指标与下指标的提升与下降： 利用度量张量及其逆张量 $g^{ij}$，在切空间和余切空间之间进行转换。 体积形式： 利用度量张量构造流形的体积形式 $ ext{vol}_M$，这是在流形上进行积分的必要工具。 第八章：联络、测地线与曲率 黎曼几何的精髓在于如何在弯曲空间中定义“平行移动”和“曲率”。 仿射联络（Affine Connection）： 引入联络 $ abla$，它描述了如何将切空间中的向量“平移”到相邻点。我们重点讨论具有零挠率和无弯曲（即Levi-Civita 联络）的联络。 平行移动与测地线（Geodesics）： 测地线是“最短路径”在弯曲空间中的推广。它们是通过要求切向量的协变导数为零定义的曲线。 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）： 曲率是衡量流形偏离平坦程度的内在量。曲率张量 $R(X, Y)Z$ 由李括号和协变导数之间的关系定义，它度量了平行移动的路径依赖性。 里奇曲率与标量曲率： 对黎曼曲率张量进行缩并，得到里奇曲率（与能量密度相关）和标量曲率（描述空间的整体弯曲程度）。 --- 结论：展望与应用 本书的结构确保了读者从最基本的拓扑概念出发，通过严谨的分析工具，最终掌握了研究黎曼流形所需的全部语言和基本定理。所建立的框架是广义相对论中描述时空几何、微分拓扑学中分类流形以及现代几何分析中的基础。掌握这些概念，即是掌握了用微积分的精确性来量化和理解弯曲世界的钥匙。

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这本书的排版和符号系统是另一个让我印象深刻的地方。在处理高维几何时，符号的混乱是极其常见的“劝退点”。我注意到，这本教材在这一点上似乎下了大功夫。它似乎建立了一套非常清晰且一致的符号约定，并且似乎在每章开始时都对新出现的符号进行了详尽的说明和回顾。这种对细节的执着，对于那些需要频繁查阅和对照的读者来说，简直是福音。此外，数学公式的排版质量直接影响了阅读体验的流畅度。清晰的对齐、合理的间距，使得复杂的张量运算也能一目了然，而不是成为一团令人头疼的符号的纠结。这体现了出版方对学术严谨性的尊重，也侧面反映了作者对教学质量的重视程度。

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这本书的封面设计简直是教科书中的一股清流，那种深邃的蓝色调，配上简洁的字体排版，立刻就能给人一种专业且引人入胜的感觉。我通常对这种偏理论性的书籍抱有谨慎的态度，生怕自己会被晦涩的数学语言所淹没，但拿到这本时，一种莫名的期待油然而生。它似乎在无声地诉说着，这是一场关于几何与微积分在更高维度上交织的冒险，而不是枯燥的公式堆砌。它的纸张质感也非常好，翻阅起来手感温润，即便是长时间沉浸在复杂的拓扑结构和张量分析中，眼睛也不会感到过度疲劳。这种对细节的关注，在我看来，往往预示着作者对内容编排的严谨性。我迫不及待地想看看，作者是如何将“可微流形”这个听起来就高不可攀的概念，用一种既严谨又不失亲和力的方式呈现出来，尤其是对“黎曼几何”的引入，希望能看到一些令人耳目一新的视角。

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我对数学书籍的评价往往会聚焦于其逻辑的连贯性和知识的铺陈方式。好的教材，应当像一位耐心的向导，引导读者从熟悉的概念逐步迈向未知领域。我最欣赏的是，它似乎没有急于抛出那些复杂的定义，而是花了不少篇幅在建立直觉上。例如，对于流形的拓扑基础，它没有直接跳入抽象的图册和相册，而是通过一些低维度的直观例子，比如球面和圆环面，来描绘局部坐标系的概念是如何自然而然地产生的。这种循序渐进的策略，极大地降低了初学者的心理门槛。更值得称赞的是，它在引入微分结构时，对切空间的处理显得尤为精妙，仿佛是自然地从向量微积分中生长出来，而不是生硬地嫁接上去的。这种内在的统一性，是衡量一本优秀几何教材的关键标准。

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我最关心的莫过于习题部分的质量。理论的学习如果缺乏动手实践，知识就很容易停留在“知道”的层面，而不是真正“掌握”。一本好的几何教材，其习题集应当是理论的延伸和巩固，而不是简单的重复计算。我希望看到的，是那些能够引导我跳出书本框架进行独立思考的题目。例如，是否会包含一些关于特定经典流形（如球面、射影空间）的更深入探索，要求读者自己去构造局部坐标或计算特定曲率？又或者，是否有涉及到一些稍微现代一点的例子，比如李群或辛几何的初步接触点？只有那些能迫使我重新审视已学概念，并尝试在新情境下应用的习题，才能真正检验我是否领悟了可微流形和黎曼几何的精髓。高质量的习题是区分“阅读教材”和“学习教材”的试金石。

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作为一个习惯于从应用角度切入的读者，我非常关注教材中理论与实际案例的结合程度。虽然这是一本偏基础理论的书籍，但优秀的理论往往需要有“锚点”才能扎得更深。我期待在这本书中看到，不仅仅是对黎曼曲率张量等概念的纯粹数学推导，而是能够感受到这些工具在解决实际问题时的力量。比如，在探讨测地线时，是否会穿插一些关于空间弯曲如何影响运动轨迹的物理学启发？或者，在介绍爱因斯坦场方程的几何背景时，它能否提供一个清晰的桥梁，让读者理解为什么选择黎曼几何而不是欧几里得几何来描述时空？如果能有这样一些巧妙的“提示点”，即使只是暗示性的，也能极大地激发读者的探索欲，让抽象的知识变得触手可及。

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