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出版者:科学

作者:Renhong Wang

出品人:

页数:524

译者:

出版时间:2006-7

价格:120.00元

装帧:

isbn号码:9787030078971

丛书系列:

图书标签:

• Multivariate Splines
• Spline Functions
• Numerical Analysis
• Approximation Theory
• Mathematical Modeling
• Scientific Computing
• Data Interpolation
• Curve Fitting
• Surface Fitting
• Multivariate Analysis

现代数值分析与计算方法综览 本书聚焦于现代数值分析领域的核心理论、算法及其在工程、科学计算中的实际应用。我们致力于构建一个全面且深入的框架，涵盖从基础的误差分析到前沿的迭代方法，特别强调数值稳定性和计算效率的考量。 第一部分：数值计算基础与误差理论 本书伊始，我们将奠定严谨的数学分析基础。第一章详细剖析了浮点数运算的内在机制，包括IEEE 754标准，并深入探讨了截断误差与舍入误差的量化与控制。我们不仅仅停留在误差的定义，更通过大量的实例展示了如何通过数值算法的设计来最小化这些误差的累积效应，强调了“病态问题”（Ill-conditioned Problems）的识别与处理策略。 第二章专注于函数的逼近与插值。除了传统的拉格朗日插值和牛顿插值形式外，本书大量篇幅用于讨论分段多项式插值的优越性，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）在保证一阶和二阶连续性方面的优势。我们详尽推导了自然边界条件和钳制边界条件下的求解过程，并分析了Runge现象对高次多项式插值的局限性。随后，引入了最佳一致逼近的概念，并介绍了Chebyshev多项式的理论基础及其在多项式最小二乘逼近中的应用。 第二部分：线性系统的数值求解 线性代数方程组的求解是科学计算的基石。第三章系统梳理了直接法，包括高斯消元法、LU分解及其变体（如Crout和Doolittle算法）。重点在于矩阵的分解特性、主元选择的重要性以及数值稳定性分析，特别是对于三角矩阵求逆和前向/后向替换的效率优化。 第四章则深入研究了大规模稀疏线性系统的迭代解法。我们详述了雅可比（Jacobi）法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法的收敛条件与速率分析。更重要的是，本书引入了更高效的迭代方法，如共轭梯度法（CG）、对称正定系统中的预处理技术（Preconditioning），以及针对一般系统（非对称）的GMRES和双共轭梯度法（BiCGSTAB）。每一类方法的推导都伴随着详细的误差估计和收敛性证明，旨在帮助读者理解何时选择迭代法而非直接法。 第三部分：特征值问题的数值计算 特征值问题（$mathbf{Ax} = lambdamathbf{x}$）在量子力学、结构动力学分析中至关重要。第五章从理论上回顾了相似变换保持特征值的性质，并详细阐述了幂法（Power Iteration）及其在求最大特征值方面的应用，以及逆幂法（Inverse Iteration）用于求取靠近特定值的特征值。 第六章的核心是QR算法的精髓。我们从Householder反射和Givens旋转的几何意义出发，构建了QR分解的数值实现。随后，我们展示了如何利用迭代的QR算法（带或不带Shifts）来稳定地计算所有特征值和特征向量。对于大型对称矩阵，本书详细介绍了Lanczos算法的原理及其与子空间迭代的关系，强调了其在线性化问题中的高效性。 第四部分：常微分方程的数值积分 常微分方程（ODEs）的求解是工程模拟的核心。第七章聚焦于单步法，从欧拉法（前向、后向）的几何意义出发，逐步过渡到高阶的龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法。书中详细分析了RK4的推导，并引入了自适应步长控制策略，如Fehlberg法，以平衡精度和计算成本。 第八章探讨了多步法，特别是Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）公式的构造与稳定性。我们深入讨论了向后微分公式（BDF）在处理“刚性系统”（Stiff Systems）中的不可或缺性，并分析了刚性系统的判定标准（如欧拉向后法的稳定域）。针对ODEs的稳定性边界和局部截断误差的精确控制是本章的重点。 第五部分：偏微分方程的数值方法概论 本书的最后部分将视野扩展到偏微分方程（PDEs）的数值解法，主要集中在基础的离散化技术。第九章详细讲解了有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。我们从中心差分、前向差分和后向差分出发，推导了二阶导数的有限差分近似，并分析了傅里叶分析在稳定性评估（如Von Neumann稳定性分析）中的作用。我们以热传导方程（抛物型）和泊松方程（椭圆型）为例，展示了FDM如何转化为线性代数系统求解。 第十章简要介绍了有限元方法（Finite Element Method, FEM）的初步概念，侧重于变分原理和形函数（Shape Functions）的构建，为读者理解现代计算力学和流体力学中的主流方法提供了一个清晰的起点。 全书特点： 本书的叙述风格严谨而清晰，理论推导完整且具有操作性。每一章后都附有大量的习题，要求读者不仅要理解算法的数学原理，更要具备将其转化为高效计算机代码的能力。我们假定读者具备扎实的微积分和线性代数背景，旨在培养下一代具备深厚理论功底和强大工程实践能力的数值分析专家。本书适合作为高等院校数学、物理、工程力学、计算机科学专业研究生及高年级本科生的教材或参考书。

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从我过去接触到的数学文献来看，那些能够将抽象理论与实际应用紧密结合的书籍，往往最能激发读者的兴趣和求知欲。《Multivariate Spline Functions And Their Applications》这个书名，就恰恰符合这一特点，让我对它充满了期待。我设想这本书的开篇，可能会先为读者建立起对一元样条函数坚实的基础认知，然后再逐步引入多变量的复杂性。我非常好奇，在多变量的空间中，样条的“分段”性质是如何被定义的，又如何保证其整体的连续性和光滑性？书中“应用”的部分，更是让我遐想联翩。我猜测它会详细介绍样条函数在诸如有限元分析、计算机辅助设计（CAD）、计算机图形学（CG）中的曲面造型、以及在统计学中的密度估计等领域是如何发挥核心作用的。我期望书中能通过生动的实例和图示，清晰地展示多变量样条函数是如何被构建、计算和应用于解决实际问题的。这本书无疑为我提供了一个深入理解和掌握这一强大数学工具的绝佳机会，我期待它能成为我学习道路上的一位良师益友。

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作为一个在数据科学领域初涉茅庐的爱好者，我常常为如何有效地从海量、高维度的数据中提取有意义的信息而苦恼。《Multivariate Spline Functions And Their Applications》这本书名，如同一道指路明灯，让我看到了解决这一挑战的可能路径。我对于书中如何利用多变量样条函数来处理复杂的数据集感到非常好奇。我希望书中能够详细介绍，如何运用这些函数来进行多维数据的插值、拟合和光滑处理，以及它们在降维、特征提取和异常检测等任务中的潜力。此外，我对书中“应用”的部分尤其关注，期待它能提供关于如何将多变量样条函数应用于实际数据分析项目中的具体指导，比如在金融领域进行多因子时间序列建模，在生物信息学中分析基因表达数据，或者在图像识别中进行特征增强。如果书中能够包含一些关于如何选择合适的样条基函数、如何优化模型参数以及如何解释模型结果的实用技巧，那将对我建立扎实的数据科学技能非常有帮助。这本书为我提供了一个探索复杂数据分析新方法的机会，我希望能够从中获得宝贵的知识和实践经验。

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我是一名对纯粹数学理论有着不懈追求的学者，尤其钟情于那些能够展现数学之美与力量的领域。《Multivariate Spline Functions And Their Applications》这个书名，对我来说，就像是通往一个充满智慧宝藏的大门。我预感这本书将不仅仅是技术性的介绍，更会深入探讨多变量样条函数背后的深刻数学原理。我迫切想了解，这些高维度的样条函数是如何从低维度的基础概念中发展而来，它们是否拥有如同Bézier曲线或B样条那样清晰的几何解释？书中关于“应用”的提及，也让我好奇，这些抽象的数学结构是如何在现实世界中找到如此广泛且重要的用途。我期待书中能够详细阐述多变量样条函数在代数拓扑、微分几何、黎曼流形等抽象数学领域中的应用，探索它们在解决偏微分方程、进行数值积分、以及构建几何模型方面的理论深度。我相信，这本书会为我提供一个全新的视角，来理解和欣赏数学在不同分支之间的联动与统一，从而拓展我研究的深度和广度，激发新的研究灵感。

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这本书的出现，对于我这样一名长期在工程领域摸爬滚打的实践者来说，简直是雪中送炭。我们日常工作中遇到的许多问题，从三维模型的构建到复杂系统的仿真，都绕不开对光滑、连续且具有良好性质的函数的精细刻画。传统的一元样条函数虽然强大，但在处理多维度数据和几何形状时，往往显得力不从心。《Multivariate Spline Functions And Their Applications》这个书名，立刻就击中了我的痛点，让我看到了解决这些难题的希望。我迫切想知道书中是如何将样条函数的概念推广到更高维度，那些“多变量”的样条基函数究竟长什么样子，它们又有哪些独特的性质？更重要的是，书中“应用”的部分，我期待它能提供大量真实世界的案例分析，例如如何利用多变量样条构建精密的CAD模型，如何用它们来描述流体力学中的复杂流动，或是如何优化工程设计中的参数空间。如果书中能够深入剖析算法的实现细节，并提供一些实际的编程思路，那将对我解决实际工程问题具有不可估量的价值。这本书无疑是我在解决复杂工程问题过程中，一个极其宝贵的理论和实践指导。

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作为一个对数学领域有浓厚兴趣的读者，我在寻找能深入理解多变量样条函数及其应用的材料时，被《Multivariate Spline Functions And Their Applications》这本书深深吸引。虽然我尚未有机会通读全书，但仅仅是书名所蕴含的广度和深度就足以让我心潮澎湃。我相信，这本书绝不仅仅是简单地介绍样条函数的基础概念，而是会带领读者踏上一段探索多变量样条函数复杂而迷人的世界之旅。从“多变量”这个词汇本身，就预示着它将超越一维的局限，触及更高维度的几何和分析问题。而“应用”二字，更是点亮了这本书的实用价值，让我期待它能揭示样条函数在科学、工程、数据科学乃至艺术等众多领域是如何发挥关键作用的。我特别好奇书中会如何阐述样条函数在计算机图形学中的曲面建模、在数值分析中的插值与逼近、在信号处理中的滤波与重构，甚至在机器学习中作为强大的模型表达工具。这本书无疑为我提供了一个深入钻研这一前沿数学工具的绝佳机会，我希望能从中获得系统而深刻的理解，并将其知识融会贯通，应用于我正在进行的具体研究项目。

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