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出版者:人民大学

作者:李林曙

出品人:

页数:193

译者:

出版时间:2006-12

价格:28.00元

装帧:

isbn号码:9787300071626

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数理统计
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• 随机过程

现代统计推断与应用：从理论基石到前沿实践 图书简介 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的现代统计推断框架，涵盖从经典概率论的严谨基础到前沿的机器学习算法背后的统计原理。它并非一本传统的概率论与数理统计教材，而是侧重于如何运用现代统计学工具来解决复杂的数据驱动问题，并深入探讨这些工具背后的理论支撑与局限性。本书尤其关注数据科学、金融工程以及复杂系统分析领域对统计推断的最新要求。 --- 第一部分：概率论的重新审视——为现代建模奠基 本部分将概率论视为理解不确定性的数学语言，而非孤立的理论集合。我们将聚焦于那些对后续推断至关重要的概念。 第一章：随机变量与测度论的直观联系 本章避开晦涩的测度论定义，转而强调概率空间、$sigma$-代数在信息过滤和事件定义中的实际意义。我们将深入探讨： 函数空间与随机变量的映射： 如何将现实世界的复杂现象映射到可操作的概率空间中。 联合分布与条件期望的几何解释： 通过投影和正交分解，直观理解条件期望作为最佳线性估计（或更一般的，最小均方误差估计）的地位。 随机向量的协方差结构与高维空间中的依赖性： 不仅仅是计算协方差矩阵，更重要的是理解其特征值和特征向量如何揭示数据的主成分和内在维度。 第二章：大数定律与中心极限定理的现代应用 我们不会停留在经典的 Lindeberg-Feller CLT 的证明，而是关注其收敛速度和在非独立同分布（non-i.i.d.）环境下的推广。 渐近正态性（Asymptotic Normality）： 重点讨论各种估计量（如极大似然估计量、矩估计量）如何获得渐近正态分布，这是构建置信区间和假设检验的基础。 不等精度下的收敛： 引入鞅论的基础概念，简要讨论时间序列数据（如金融波动性）中，如何保持渐近有效性。 --- 第二部分：统计推断的严谨框架——超越点估计 本部分的核心是将推断视为一种决策过程，强调估计量（Estimators）的性质评估和模型选择的原则。 第三章：参数估计的现代视角：效率与稳健性 本章深入探讨不同估计方法的优劣。 费希尔信息与克拉美-劳下界（Cramér-Rao Bound）： 强调信息论对估计精度的内在限制。 极大似然估计（MLE）的深入分析： 探讨其渐近最优性、一致性和有效性。特别关注在高维参数空间中 MLE 的挑战（如稀疏性问题）。 M-估计量与广义（Generalized）极值估计： 引入更广泛的框架，讨论当模型函数设定不完全正确时，如何使用最小化特定函数（如损失函数）来获得稳健的估计。 第四章：假设检验与多重比较的决策理论 本章将假设检验从简单的 P 值计算提升到决策理论的高度。 Neyman-Pearson 框架的再审视： 强调检验功效（Power）和犯错类型（Type I/II Error）之间的权衡。 似然比检验（LRT）的普适性： 阐释 LRT 如何成为检验嵌套模型最强大的工具，并讨论其在非参数检验中的推广。 多重检验的挑战（Multiple Testing）： 面对海量数据，重点介绍 FDR (False Discovery Rate) 控制方法（如 Benjamini-Hochberg 过程），这是现代生物统计和高通量数据分析的关键。 第五章：置信集与区间估计的构造 本章侧重于构建区间，强调其覆盖概率的保证。 基于渐近正态性的区间： 标准 Z 检验和 t 检验的局限性。 基于重抽样的区间（Bootstrap and Jackknife）： 重点介绍非参数自举法如何绕过对特定分布的假设，构造出适应性更强的置信区间，特别是在样本量较小或分布未知时。 --- 第三部分：模型构建与高维数据分析 本部分将统计推断扩展到模型拟合和处理超过观测数量的复杂数据结构。 第六章：线性模型的局限与广义线性模型（GLMs） 本章强调将误差结构与响应变量的均值结构分离开来的必要性。 指数族分布： 阐明正态、泊松、二项分布在统一框架下的地位。 连接函数（Link Function）： 讨论 Logit, Probit, Log 链接在不同场景下的解释性和统计效率。 模型诊断与残差分析： 如何使用偏差残差、皮尔逊残差来评估 GLM 拟合的适宜性。 第七章：回归中的正则化与维度控制 面对 $p gg n$ 的高维情形，经典最小二乘法失效。本章聚焦于如何通过惩罚项来稳定估计。 Lasso (L1) 与 Ridge (L2) 回归的统计学差异： 分析 L1 倾向于产生稀疏解（特征选择）和 L2 倾向于收缩系数（稳定估计）的机制。 稀疏性与Oracle性质： 探讨在高维模型中，如何保证算法能够在识别出真实非零参数的同时保持统计效率。 信息准则的比较： AIC, BIC 及其在正则化模型中的变体（如 $ ext{AIC}_c$）在模型选择中的应用。 第八章：非参数方法与核密度估计 当参数模型假设过于严格时，非参数方法提供了灵活性。 核函数与带宽的选择： 深入探讨 Silverman's Rule 和交叉验证（Cross-Validation）在确定平滑程度（带宽 $h$）中的作用，以及带宽如何影响偏差-方差的权衡。 经验过程与Kolmogorov-Smirnov检验： 介绍非参数检验的理论基础，以及如何衡量观测到的经验分布与理论分布的差异。 --- 第四部分：推断的进阶主题——时间与空间 本部分专注于处理具有内在结构（时间依赖性或空间相关性）的数据集。 第九章：时间序列分析的平稳性与谱分析 本章关注序列数据的动态依赖性。 平稳性与遍历性： 定义平稳性对推断的重要性，并介绍 Durbin-Watson 检验等初步检验方法。 自回归移动平均模型（ARMA/ARIMA）： 重点在于通过偏自相关函数（PACF）和自相关函数（ACF）识别模型结构，以及如何进行最小二乘拟合和残差白噪声检验。 谱密度函数： 从频域视角理解时间序列的结构，解释周期性是如何在频率上体现的。 第十章：贝叶斯推断的实践方法 本章引入贝叶斯范式，将其视为一种在先验信息和观测数据之间进行系统性融合的方法。 共轭先验与后验分布的解析求解： 针对特定分布（如正态、Beta、Gamma）展示解析计算的优势。 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）的必要性： 重点讲解 Metropolis-Hastings 算法和 Gibbs 采样，说明当后验分布无法解析求解时，如何利用 MCMC 进行高效抽样。 模型评估： 介绍后验预测检验（Posterior Predictive Checks）和 WAIC (Widely Applicable Information Criterion) 在贝叶斯模型选择中的作用。 --- 总结与展望 本书的最终目标是培养读者对统计推断的批判性思维：知道何时应用某个工具，理解其理论基础，并能评估其在特定数据集上的稳健性。它将为致力于数据科学、量化金融、工程优化及应用数学研究的专业人士提供必要的理论深度和实践广度。

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不得不说，这本书的编排设计实在是很用心。我之前接触过一些数学书籍，常常因为晦涩的语言和跳跃的逻辑而感到沮丧，但《概率论与数理统计》在这方面做得非常出色。每章的开头都会概述本章的学习目标，并简要介绍本章内容在整个课程中的地位，这让我对学习有一个清晰的整体认识。章节中间穿插的“思考题”和“例题分析”更是点睛之笔，它们不仅帮助我巩固了刚刚学到的知识，还能引导我思考更深层次的问题。我特别欣赏作者在讲解复杂概念时，会先给出直观的解释，然后再引入数学定义和推导，这种方式大大降低了理解的难度。书中的图表也绘制得清晰明了，很多时候一张图就能胜过千言万语。我是一个喜欢通过实践来学习的人，这本书提供的丰富练习题，涵盖了从简单到复杂的各种难度，让我能够有效地检验自己的掌握程度，并且在解题过程中不断发现自己的不足，及时调整学习策略。

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我一直是个对数据分析充满好奇的人，但总觉得缺乏系统性的知识。《概率论与数理统计》就像一座桥梁，将我带入了数据世界的深邃殿堂。这本书最吸引我的地方在于它能够将抽象的数学理论与现实世界的应用紧密结合。我尤其喜欢书中关于“回归分析”的章节，它让我明白了如何用数学模型来描述变量之间的关系，并进行预测。比如，我想了解广告投入和销售额之间的关系，通过学习回归分析，我不仅能量化这种关系，还能预测在不同广告投入下可能达到的销售额。这种能力对于任何需要做决策的领域都至关重要。此外，书中还介绍了一些非常实用的统计软件的应用指导，这让我觉得学到的知识可以直接落地，而不是停留在理论层面。我已经迫不及待想要动手实践，用这些工具去解决一些我一直感兴趣的问题。

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这本《概率论与数理统计》真是打开了我新世界的大门！我一直以为统计学是那些枯燥乏味的数字和图表堆砌，但这本书完全颠覆了我的认知。从最基础的概率概念讲起，作者用非常生动形象的比喻，比如抛硬币、摸球游戏，让我这个数学基础薄弱的人也能轻松理解。一开始，我对“随机变量”、“期望”、“方差”这些词汇感到头疼，但作者循序渐进地讲解，并通过大量的例子辅助，让我逐渐掌握了这些核心概念。尤其喜欢的是关于“大数定律”和“中心极限定理”的解释，它们揭示了看似混乱的随机现象背后隐藏的规律，那种豁然开朗的感觉真是太棒了！我开始尝试用学到的知识去分析生活中的一些现象，比如股票市场的波动、天气预报的准确性，甚至彩票的中奖概率，都变得更有意思了。这本书不仅仅是学习理论，更重要的是教会我一种思考问题的方式，一种用概率和统计的眼光去看待世界的方法。我真的迫不及待想继续深入学习，探索更多精彩的统计模型和应用。

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这本书的内容深度和广度都让我感到惊叹。我原本以为概率论和数理统计是两个相对独立但又比较初级的学科，但这本书让我看到了它们之间错综复杂的联系，以及它们在现代科学研究中的核心地位。作者在介绍每一个统计概念时，都会追溯其背后的概率论基础，使得我对统计方法的理解更加深刻，而不是停留在“知其然，不知其所以然”的层面。书中关于“贝叶斯统计”的介绍，更是让我领略到了另一种统计推断的哲学，它与传统的频率学派有着截然不同的视角，为我打开了新的思考维度。而且，书中还涉及了一些关于统计推断可靠性、统计模型选择的讨论，这些内容对于一个想要真正掌握这门学科的人来说，是非常宝贵的。我感觉自己不仅仅是在学习一门技术，更是在学习一种科学精神和严谨的治学态度。

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老实说，在翻开这本《概率论与数理统计》之前，我对“数理统计”这个词的印象还停留在中学时代模糊的“平均数”、“中位数”这些概念上。这本书彻底刷新了我的三观！它不仅仅是教我怎么计算，更重要的是让我理解了统计思维的强大之处。从样本推断总体，如何从有限的数据中提取有用的信息，如何对不确定性进行量化和描述，这些都是我从未深入思考过的问题。书中关于“假设检验”、“置信区间”的讲解，让我第一次真正理解了科学研究中“证伪”和“量化不确定性”的重要性。我开始能够理解新闻报道中关于民意调查、新药疗效的统计解读，不再是被动接受信息，而是能带着批判性的眼光去分析。我甚至开始考虑如何将这些统计工具应用到我的工作中，比如分析用户行为数据，评估产品改进的效果等等，这让我感到非常兴奋和充满动力。

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