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出版者:科学出版社

作者:李德家

出品人:

页数:179

译者:

出版时间:2006-8

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030176752

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
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《微积分的基石：从极限到应用的精深探索》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的微积分学习体验，重点在于夯实理论基础，并展示其在现代科学与工程中的广泛应用。我们摒弃了对单一“一元”框架的局限性描述，而是构建了一个更宏大、更具通用性的微积分知识体系，涵盖了从最基本的概念过渡到高阶函数分析的全部核心内容。 第一部分：极限与连续性——微积分的哲学基础 本部分是构建整个微积分大厦的基石。我们不满足于对极限的直观理解，而是深入探讨了 $epsilon-delta$ 语言的严谨性，这是理解现代数学分析的必经之路。 第一章：极限的精确定义与计算技巧 本章详细阐述了函数的极限概念，从单侧极限到双侧极限的推导过程。重点分析了数列极限与函数极限之间的内在联系。我们引入了夹逼定理（Squeeze Theorem）和单调有界定理，并展示了如何利用这些工具来处理复杂的极限形式，特别是那些涉及无穷大或不定型的例子。我们特别关注了三角函数、指数函数以及多项式函数的极限行为。 第二章：连续性与不连续点 连续性是微积分中处理“平滑”变化的核心概念。本章首先给出了函数在一点连续和在区间上连续的严格定义。随后，我们深入剖析了不同类型的间断点，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。通过大量的几何和代数实例，读者将理解为什么连续性在保证求导和积分存在性方面扮演着至关重要的角色。我们还探讨了闭区间上连续函数的性质，如最大值-最小值定理和介值定理，这些定理是后续理论推导的有力工具。 第二部分：导数的本质与动力学——变化率的度量 本部分聚焦于导数这一核心工具，它是描述瞬时变化率的数学语言。 第三章：导数的定义与几何意义 导数被清晰地定义为极限，并与曲线的切线斜率联系起来。本章详细讨论了可导性与连续性的关系——可导必连续，但反之不成立。我们通过实例解释了导数的物理意义，例如瞬时速度和加速度。 第四章：微分法则的系统构建 本章系统地推导和应用了所有的微分法则，包括和、差、积、商的法则。重点在于对链式法则的深刻理解和熟练运用，这是进行复杂函数求导的关键。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数的求导规则被一一详细呈现。 第五章：隐函数求导与相关变化率 为了处理那些不显式表达的函数关系，我们引入了隐函数求导法。本章通过实际问题，如气球膨胀、水箱注水等场景，展示了“相关变化率”的应用，强调了时间或某个变量变化率已知时，如何求出其他相关变量的变化率。 第六章：高阶导数与函数性态分析 高阶导数揭示了函数弯曲的程度。本章利用二阶导数分析函数的凹凸性（Concavity），并引入拐点（Inflection Points）的概念。我们详细讲解了利用一阶和二阶导数来确定函数的增减区间、局部极值点以及函数图像的完整描绘过程。 第三部分：积分的累积与面积——量化的实现 本部分将视角从瞬时变化转向累积效应，引出定积分和不定积分的概念。 第七章：黎曼和与定积分的严谨定义 我们从几何问题——求解曲线下面积——出发，逐步引入了黎曼和的概念。本章严格定义了定积分，讨论了可积性的条件，以及定积分的线性性质和区间可加性。 第八章：微积分基本定理的贯穿 微积分基本定理是连接微分学和积分学的桥梁。本章分为两部分，详细阐述了微积分基本定理的两个部分，并展示了如何利用它将复杂的定积分计算转化为求解反导数的问题。这是将微分和积分联系起来的核心洞察。 第九章：积分技巧的精进 本章专注于掌握求解不定积分的各种策略和技巧，包括：换元积分法（Substitution Rule，作为链式法则的积分对应）、分部积分法（Integration by Parts，作为乘积法则的积分对应），以及处理有理函数、三角函数和含有根式的积分。 第十章：积分的应用拓展 定积分的应用远超求面积。本章拓宽了读者的视野，包括：求解由曲线围成的平面区域的面积、计算旋转体的体积（圆盘法、垫片法和壳层法）、计算弧长以及物理学中的功和质心计算。 第四部分：级数与收敛性——无穷的分析艺术 本部分超越了有限维度的分析，进入了无穷序列和无穷和的世界，为更高级的分析打下基础。 第十一章：无穷序列与级数的收敛性判据 本章区分了序列（数列）和级数（无穷和）。我们系统地介绍了检验级数收敛性的各种判别法，包括：比较试验、比值检验（Ratio Test）、根值检验（Root Test）和积分检验。此外，我们还深入探讨了绝对收敛与条件收敛的区别，这是理解狄利克雷判别法的关键。 第十二章：幂级数与泰勒展开 幂级数是表示函数的一种强大工具。本章详细介绍了如何确定幂级数的收敛半径和收敛区间。重点是泰勒级数和麦克劳林级数的构造，展示了如何用多项式来逼近任意光滑函数，并分析了泰勒多项式的误差界限。 结语：走向多维空间的展望 本书的结构设计旨在使读者建立一个坚实、连贯且功能强大的微积分知识框架，为未来深入学习多元微积分、微分方程以及更抽象的数学领域做好充分准备。我们通过严谨的证明、丰富的实例和贴近实际的应用场景，确保读者不仅学会“如何算”，更能理解“为什么算”和“算来能做什么”。

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（第二段） 这本书的排版和装帧设计，透露出一种低调的匠心。内页的留白处理得非常到位，使得长篇的公式和证明在视觉上不会显得拥挤和压抑。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的“模块化”结构。每一个章节都不是简单地堆砌定理，而是先提出一个实际背景下的问题，然后循序渐进地构建出解决问题的数学工具，最后再总结归纳，这种教学设计极大地增强了学习的代入感。不同于市面上那些动辄引用晦涩文献的参考书，这里的例题选择非常巧妙，它们既能充分检验对概念的掌握程度，又不会让读者感到无端的挫败感。比如，在讲到积分的应用时，它没有局限于传统的面积和体积计算，而是拓展到了物理学中的功和质心计算，将理论与实际的连接做得非常自然流畅。对于自学者而言，这种结构上的清晰度，是保证学习效率的关键因素，它就像一张精确导航的地图，指引着你稳步前行，绝不至于迷失在知识的丛林中。

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（第四段） 从练习题集的设置来看，这本书明显是为有志于深入研究的读者精心准备的。习题的难度梯度分布非常合理，前部是基础巩固型，旨在巩固对基本运算的熟练度；中段开始出现了一些需要巧妙结合多个定理才能解决的综合题，开始考验读者的综合分析能力；而章节末尾的几道“思考题”，则明显带有研究性质，它们往往需要读者跳出既定的框架，尝试对某些证明进行变体或拓展。我花了大量时间在那些思考题上，虽然过程充满挣扎，但最终的每一次成功解答，都带来了巨大的成就感。这些题目不像某些考试导向的习题那样只是为了刷分而存在，它们更像是为读者准备的“小型研究项目”，鼓励你去探索边界之外的可能性。对于那些未来打算从事数学、物理或工程领域，需要扎实理论基础的人来说，这本书提供的训练价值是无可估量的。

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（第五段） 这本书的叙事节奏控制得极佳，张弛有度，让人在长时间的深度阅读后依然保持着专注度。作者在引入复杂概念前，总会穿插一些轻松的数学小故事或小插曲，这些“调味剂”有效地缓解了大脑在高强度运算下的疲劳感。例如，在讲解泰勒级数时，作者没有直接展示无穷级数求和，而是先用有限项的多项式去逼近一个复杂函数，展示其逼近过程的几何意义，这种“先感性认识，后理性升华”的路径，使得学习过程非常平顺。此外，书中对于一些历史上的数学“误区”的澄清，也处理得非常得体，它不是简单地指出错误，而是通过分析当时人们思维的局限性，来反衬现代数学体系的优越性。这种人性化的叙事手法，极大地拉近了作者与读者的距离，让冰冷的数学知识充满了温度和人情味，读完后留下的不仅仅是知识的沉淀，更是一种对科学探索精神的由衷敬佩。

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（第一段） 这本书的文字风格真是让人耳目一新，仿佛不是在阅读一本枯燥的数学教材，而是在听一位经验丰富、充满热情的老师娓娓道来。作者对于微积分概念的阐述，总是能精准地抓住问题的核心，却又丝毫不失趣味性。尤其是在处理那些初学者常常感到困惑的极限和导数定义时，作者采用了非常直观的比喻和生动的例子，让抽象的数学符号瞬间变得鲜活起来。我记得有一段讲解洛必达法则的部分，作者竟然引用了交通堵塞的场景来比喻不定式极限的求解，那种豁然开朗的感觉，是很多传统教材望尘莫及的。阅读过程中，我几乎不需要频繁地查阅参考资料，因为每一步推导都铺垫得十分扎实，逻辑链条清晰得像是精心编织的艺术品。对于那些渴望真正理解微积分背后的思想，而非仅仅停留在公式记忆上的读者来说，这本书无疑是打开了一扇通往数学美妙世界的大门。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的培养，引导读者去探索数学的内在联系和优雅结构。

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（第三段） 这本书在处理“为什么”比“怎么做”更重要的哲学思辨上，做得非常出色。许多微积分书籍只是机械地告诉我们如何计算，但这本书却花费了相当的篇幅去探讨微积分思想的诞生背景——牛顿和莱布尼茨时代面临的根本性难题。这种历史的纵深感，使得读者能够体会到每一个数学符号和定义的建立，都凝聚了人类智慧的巨大飞跃。我尤其喜欢作者在讨论无穷小量和无穷大时的严谨态度，它没有回避这些概念在发展初期所引发的争议，反而将其作为探讨数学严密性演变的一个绝佳案例。通过这种方式，读者不仅学会了微分和积分的运算技巧，更重要的是，培养了对数学严谨性要求的敬畏之心。它让我意识到，微积分并非一蹴而就的完美体系，而是在不断的修正和完善中成型的科学体系，这种对知识生成过程的尊重，是任何速成手册都无法给予的宝贵财富。

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