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出版者:哈工大

作者:许以超

出品人:

页数:229

译者:

出版时间:2007-3

价格:28.00元

装帧:

isbn号码:9787560324845

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《数学之境：探索与超越》 内容简介： 在这本《数学之境：探索与超越》中，我们并非简单地罗列枯燥的公式与定理，而是致力于带领读者踏上一段引人入胜的数学探索之旅。本书旨在激发你对数学本质的深刻理解，以及对数学应用无限潜力的惊叹。我们精心编排了内容，从数学的起源与发展，到核心概念的精妙阐释，再到前沿领域的挑战与展望，力求为不同阶段的读者提供一份兼具深度与广度的阅读体验。 第一部分：数学的源起与演进 我们将从数学最古老的根源说起。你将了解到，数学并非凭空出现，而是源于人类对数量、形状、空间以及逻辑关系的最初的观察与思考。从古埃及、巴比伦的实用算术与几何，到古希腊的逻辑体系构建，如欧几里得的《几何原本》如何奠定了数学公理化思想的基石，以及阿基米德在微积分方面的早期探索。我们将穿越时空，领略中国古代数学的独特魅力，如《九章算术》在代数与方程求解方面的成就。 随后，我们将步入中世纪的复苏与文艺复兴的辉煌。欧洲数学在阿拉伯数学的传承与发展中逐渐走向成熟，解析几何的诞生标志着代数与几何的深度融合，微积分的发明更是开启了描述动态世界的新篇章。我们将回顾牛顿、莱布尼茨等巨匠的贡献，探讨他们如何为现代科学技术的腾飞奠定基础。 进入近现代，数学呈现出前所未有的繁荣与分化。我们将深入探讨微积分的严谨化过程，集合论的出现如何重塑数学的基础，以及非欧几何的诞生如何打破人类对空间的固有认知。数论、抽象代数、拓扑学等分支学科的蓬勃发展，展现了数学内在的丰富性与抽象性。同时，本书也将关注数学在物理学、工程学、经济学等领域的广泛应用，以及数学工具如何成为推动科学进步的关键驱动力。 第二部分：核心概念的精妙解析 本书将以清晰易懂的语言，深入浅出地阐释数学中的一些核心概念，力求揭示其背后的逻辑与美感。 数的概念的演变： 从自然数到整数，再到有理数、无理数，直至复数，我们将追溯数系不断扩展的历程，理解每一种新数的引入如何解决了旧有的数学难题，并开辟了新的探索领域。我们将探讨数的稠密性、完备性等重要性质，以及它们在数学理论中的作用。 几何的语言与空间： 我们将从欧几里得几何出发，理解公理体系的强大力量。随后，我们将跳出平面与三维空间的束缚，进入更高维度的几何世界，探讨向量空间、线性代数在描述复杂几何关系中的作用。微分几何的引入将帮助我们理解曲线与曲面的局部性质，而拓扑学则将我们带入一个更加抽象的“连续性”世界，关注形状在连续形变下的不变性质。 函数的思想与变化： 函数是数学中最基本也是最重要的概念之一。我们将探讨函数的定义、性质，以及不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。重点将放在对函数图像的理解，以及如何利用函数来描述现实世界中的各种变化关系。我们将深入研究导数与积分，揭示它们在分析变化率、累积效应等问题中的核心作用，以及它们如何成为微积分的基石。 逻辑与证明的艺术： 数学是一门严谨的科学，而逻辑与证明是其生命线。我们将探讨命题逻辑、谓词逻辑等基础逻辑工具，学习如何构建严密的数学证明。本书将介绍几种常用的证明方法，如直接证明、反证法、数学归纳法等，并结合具体的数学实例进行解析，帮助读者掌握逻辑推理的技巧，培养严谨的数学思维。 第三部分：探索数学的边界与前沿 数学的魅力不仅在于其已有的辉煌成就，更在于其永无止境的探索与创新。本书的第三部分将带领读者窥探数学的最新进展与未来趋势。 抽象代数与结构： 我们将进入一个更加抽象的数学领域，理解群、环、域等代数结构的定义与性质。这些抽象结构虽然脱离了具体的数字，却能统一描述许多看似不同的数学现象，并在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。 概率论与统计推断： 在充满不确定性的世界中，概率论与统计学提供了我们量化风险、分析数据的强大工具。我们将探讨随机变量、概率分布、期望与方差等基本概念，以及如何利用统计推断从样本数据中得出关于总体的结论。我们将简要介绍一些现代统计方法，以及它们在人工智能、金融建模等领域的应用。 计算数学与算法： 随着计算机技术的飞速发展，计算数学已成为数学研究中不可或缺的一部分。我们将介绍数值分析的基本思想，如何用有限的计算资源近似求解复杂的数学问题。同时，我们将探讨算法设计与分析的重要性，以及它们如何影响我们解决问题的效率与可行性。 未解之谜与未来展望： 数学领域仍有许多令人着迷的未解之谜，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等，它们吸引着一代又一代的数学家为之奋斗。本书将简要介绍这些重大猜想的背景与意义，并展望数学在人工智能、大数据、量子计算等新兴领域的未来发展方向。我们将探讨数学如何继续作为科学研究的语言与工具，推动人类文明的进步。 阅读体验： 《数学之境：探索与超越》注重理论与实践的结合。在讲解抽象概念的同时，我们穿插了丰富的例题与思考题，鼓励读者主动思考、动手演算。每章结束后，我们还会提供一些延伸阅读的建议，帮助读者根据自己的兴趣深入探索。本书的语言风格力求生动有趣，避免使用过于晦涩的专业术语，旨在让更多对数学感兴趣的读者能够轻松阅读，并在其中获得知识与启迪。 无论您是数学爱好者、学生，还是希望提升逻辑思维能力的专业人士，《数学之境：探索与超越》都将是您探索数学奥秘、拓展思维边界的理想读物。本书将帮助您领略数学的逻辑之美、结构之精妙，以及它在理解和改造世界中不可替代的力量。

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这本书的装帧设计虽然简单，但内涵却十分丰富。我最喜欢的部分是它对一些关键定理的引用和简要回顾，这使得读者在解题过程中不必频繁翻阅其他参考书，提高了学习效率。尤其是那些涉及高阶数学概念的解析，作者的语言表达精准而富有洞察力，总能在关键节点给出提纲挈领的总结。我发现，这本书非常适合那些希望从“会做题”迈向“精通解题”的进阶学习者。它不仅仅是一本题集，更像是一本解题思想的宝库。通过系统地学习书中的内容，我对数学竞赛的出题思路有了更深刻的理解，这为我未来的学术发展打下了坚实的基础。

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拿到这本书后，我立刻被它丰富的题库所吸引。我参加过几次全国性的数学竞赛，深知实战经验的重要性。这本书提供的试题覆盖面极广，涵盖了历年夏令营的精华部分，每一道题都像是一次严峻的考验。我尝试着在规定时间内独立完成几套模拟题，结果发现自己的薄弱环节暴露无遗。这本书的价值就在于，它没有回避那些真正有难度的题目，而是直面挑战，并提供了清晰的解题路径。我发现，通过反复琢磨书中的例题和习题，我不仅巩固了基础知识，更重要的是，我的解题速度和准确率都有了显著提升。这本书更像是一位耐心的私人导师，时刻在我身边指导我，指出我的不足，并引导我走向更高的目标。

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这本书的封面设计得非常朴素，黑白为主色调，给人一种严谨、专业的学术氛围。我拿到手的时候，首先映入眼帘的是那厚实的纸张和清晰的排版，这让阅读体验提升了不少。作为一名数学专业的学生，我一直渴望能有一本系统梳理历年数学夏令营真题的资料，这本书正好满足了我的需求。里面的题目难度跨度很大，从基础的微积分、线性代数，到更深入的数论和组合数学都有涉及，这对于我全面准备未来的各类数学竞赛和研究生考试非常有帮助。我尤其欣赏它对每道题目的详细解析，不仅仅是给出了最终答案，更重要的是展示了多种可能的解题思路和技巧，这对于培养我的数学思维至关重要。我花了大量时间研究其中的一些难题，发现它们不仅考察了知识点的掌握程度，更考验了逻辑推理能力和创新思维。

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这本书的价值远超其定价，对于有志于在数学领域深造的学子来说，这是一笔极具性价比的投资。我特别留意了书中对一些非常规解法的介绍，这些方法往往是竞赛中制胜的关键。作者的叙述方式非常注重逻辑的严谨性，每一步推导都清晰可见，让人学起来毫不费力。我将它作为我的主要参考资料，每天都会抽出固定时间进行钻研。通过对照书中的解析，我不仅纠正了许多错误的解题习惯，还学会了如何构建更优雅、更具数学美感的证明。这本书让我体会到了数学的深度和广度，它成功地将复杂的数学问题转化为了可以被理解和掌握的知识体系，这对于激发我持续学习的热情起到了巨大的推动作用。

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这本书的内容编排得非常合理，从易到难，层次分明。我刚开始翻阅时，发现一些基础题目的讲解非常细致，让我对一些长期以来模棱两可的概念有了更清晰的认识。随着阅读的深入，题目的难度逐渐增加，一些挑战性的问题甚至需要结合多个领域的知识才能解决。这正是我所期望的，因为真正的数学竞赛往往是跨学科的。作者在提供标准解法的同时，还穿插了一些“小窍门”和“思维导图”，这些辅助性的材料极大地帮助了我梳理知识脉络，不再感到知识点零散和混乱。更值得称赞的是，一些经典难题的讲解部分，作者巧妙地将理论知识与实际应用结合起来，让我体会到了数学的魅力和实用价值，而不仅仅是枯燥的符号演算。

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