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出版者:

作者:任志鸿 编

出品人:

页数:88

译者:

出版时间:2009-10

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787501550814

丛书系列:

图书标签:

• 高中语文
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启航：高中数学进阶探秘 图书定位： 本书旨在为即将步入高三或已完成基础高中数学学习的同学提供一个系统、深入、富有挑战性的进阶学习平台。它并非对现有高中课程的简单重复或延伸，而是侧重于培养学生运用数学思维解决复杂问题的能力，为未来更高层次的数学学习（如大学预科或竞赛入门）打下坚实的基础。 内容结构与核心理念： 本书打破了传统教材按章节顺序讲解知识点的线性结构，采用“主题驱动，融会贯通”的模式。全书共分为五大核心模块，每个模块都紧密围绕一个关键的数学思想或应用场景展开深入探讨。 第一模块：函数与变换的深度解析 (Deep Dive into Functions and Transformations) 本模块超越了初识函数的阶段，重点聚焦于函数的本质特性、高级变换技巧及其在实际问题中的建模应用。 1.1 复合函数与反函数的精细化处理： 定义域与值域的动态分析： 探讨在多层复合函数结构下，如何通过分层思想精确锁定定义域的临界点，并利用图像的伸缩、平移等变换来预测和验证值域的范围。特别是对于分段函数复合后的新函数的性质分析。 反函数的构造与性质保持： 深入研究“可逆性”的充分必要条件，不仅仅是判断单调性，更引入“局部可逆”的概念。探讨反函数图像的对称性本质，以及 $f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 图像交点只存在于直线 $y=x$ 上的严格证明及其例外情况的分析。 1.2 函数图像的非线性变换： 代数变换到几何映射的桥梁： 详细解析 $y = f(x)$ 到 $y = A f(B(x-h)) + k$ 的每一步操作（水平/垂直的拉伸、压缩、反射）对函数图像上任意点 $(x_0, y_0)$ 的精确影响。 参数影响的敏感性分析： 探讨当参数 $A, B$ 取不同范围值（如负值、零值）时，函数图像的周期性、奇偶性、单调性发生的变化规律，并配有大量可视化案例。 1.3 周期函数与傅里叶级数雏形： 周期性的严谨定义与应用： 如何利用 $f(x+T) = f(x)$ 的性质来简化复杂表达式的计算，特别是处理涉及三角函数和指数函数的混合周期问题。 非标准周期函数的构造： 探索如“取整函数”与三角函数结合后形成的周期函数的最小正周期判定方法。 第二模块：数列的极限思维与收敛性判定 (Limit Thinking in Sequences) 本模块将数列的学习从简单的递推公式求解提升到对“无穷”概念的理解和极限思想的初步运用。 2.1 数列极限的直观理解与 $epsilon-N$ 思想的初探： “无限接近”的数学描述： 引入极限的直观定义，理解数列收敛的真正含义——“最终可以任意接近”。 构造性证明示例： 通过几个典型的有理项数列（如 $frac{an+b}{cn+d}$ 类）的例子，展示如何构造一个 $N$ 来使得当 $n>N$ 时， $|a_n - L| < epsilon$，为后续微积分中的严格定义做铺垫。 2.2 递推数列的稳定性分析： 不动点与收敛性关联： 对于形如 $x_{n+1} = g(x_n)$ 的数列，分析其不动点 $x^ = g(x^)$ 的稳定性。如果 $|g'(x^)| < 1$，数列倾向于收敛于 $x^$。本部分将用图像法和导数思想解释这一现象。 单调有界原理的深度应用： 不仅是证明数列存在极限，更要探讨如何利用该原理证明更复杂的递推关系（如涉及平方根或对数运算）的收敛性。 2.3 级数求和的模式识别： 错位相减法与裂项求和的拓展： 深入探讨等差与等比交替数列的求和技巧，并引入更复杂的项式结构，要求学生识别出可以裂项的关键因式。 第三模块：空间几何的向量化建模 (Vector Modeling in Solid Geometry) 本模块彻底摒弃繁琐的传统几何证明方法，全面采用空间向量坐标系来解决立体几何中的所有核心问题。 3.1 空间直角坐标系的建立与策略选择： 最优基底的选取原则： 详细讲解如何根据待求关系的几何体特征（如正方体、棱锥、斜二面体），选择最能简化运算的三个互相垂直的基向量。 点、线、面的向量表示法： 明确点坐标、方向向量（对应直线）、法向量（对应平面）的精确含义及相互转化关系。 3.2 角度与距离的向量计算： 二面角的向量求解： 重点攻克二面角的求解，即通过计算两个平面法向量的夹角来确定二面角。探讨锐角、钝角与向量点积正负的对应关系。 点到线、点到面的精确距离： 利用向量投影（数量积）的几何意义，推导出点到直线和点到平面的距离公式，并证明其比传统公式更具普适性。 3.3 空间直线与平面的交、平行关系： 判定定理的向量化： 利用方向向量和法向量的平行、垂直关系，高效判定两条直线是相交、平行还是异面；判断直线与平面是平行还是相交（或在内）。 第四模块：概率与统计的条件推理 (Conditional Reasoning in Probability and Statistics) 本模块强化学生对随机性、不确定性的理性认识，侧重于条件概率的实际应用和统计推断的严谨性。 4.1 条件概率的贝叶斯思维： 逆向推理的建立： 详细剖析全概率公式和贝叶斯公式的实际意义，理解它们如何将“已知结果，反推原因”这一过程数学化。 真实世界案例分析： 结合医学诊断、设备故障率等实际场景，要求学生能够准确划分“事件A”和“事件B”，并建立正确的概率模型。 4.2 随机变量的联合分布与期望： 离散型随机变量的联合分布表： 学习如何处理两个或多个随机变量之间的相互依赖关系，计算边缘分布。 期望的线性性质与方差的意义： 证明 $E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)$，并探讨方差如何衡量数据的集中程度，而非简单地理解为“离散程度”。 第五模块：解析几何的动点与轨迹 (Locus and Dynamics in Analytic Geometry) 本模块将解析几何从静态的求方程提升到动态的考察，要求学生掌握“代数转化+几何洞察”相结合的方法。 5.1 焦点弦与参数范围的极值问题： 椭圆/双曲线焦点弦的长度公式推导： 不再直接套用公式，而是要求学生利用定义（距离和）或向量法推导出与焦点位置相关的弦长公式。 参数的取值范围限制： 结合判别式或韦达定理，分析当直线通过特定点或满足特定角度要求时，其与圆锥曲线相交的弦所产生的参数（如斜率、截距）的取值范围。 5.2 曲线的对称性与旋转变换的初步接触： 对称性的代数体现： 探讨如何通过坐标代换（如 $(x, y) o (-x, y)$ 或 $(x, y) o (y, x)$）来验证曲线的对称性，并利用对称性简化求轨迹方程的过程。 平移与旋转坐标系的代数效应： 简要介绍坐标系旋转对二次曲线标准方程的影响，理解为何旋转可以“去耦” $xy$ 项，为未来学习高次曲线提供视角。 本书特点总结： 强调证明的严谨性： 每一核心结论都提供清晰的逻辑推导，而非仅是公式罗列。 注重思维方法的训练： 引导学生将几何问题向量化、将复杂函数问题拆解为分步变换。 难度适中偏上： 题目选材既有对基础概念的深入检验，也有大量源自真实数学竞赛题目的变式，确保学习者能够跨越“会做题”到“有思路”的鸿沟。 辅助阅读材料： 每章末尾设有“思想碰撞”栏目，简要介绍相关知识在更高等数学分支中的应用方向。

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