具体描述
This graduate-level text offers a comprehensive account of the general theory of stationary processes, with special emphasis on the properties of sample functions. The text develops the foundations of the general theory of stochastic processes, examines processes with a continuous-time parameter, and applies the general theory to procedures key to the study of stationary processes. 1967 edition.
《瞬时与相关随机过程》图书简介 导论：时空演化中的随机性 本书旨在为读者提供一个关于“瞬时与相关随机过程”的全面而深入的探讨，聚焦于在时间维度上展现出复杂、非确定性演化行为的系统建模。我们所处的物理、金融、生物乃至社会系统，无不充斥着随机波动。理解这些过程的内在结构、演化规律及其相互关联性，是现代科学与工程领域面临的核心挑战之一。 本书的构建，旨在跨越纯粹的理论数学与高度应用化的工程实践之间的鸿沟。我们不将随机过程视为孤立的数学对象，而是将其视为描述真实世界中动态变化的强大工具。重点将放在那些其状态在任意给定时刻都依赖于过去历史，并且不同时间点或不同空间位置上的观测值之间存在显著依赖关系的系统。 第一部分：基础理论的夯实与随机演化的刻画 本部分着重于建立理解更复杂过程所必需的数学框架。 第一章：概率论基础的回顾与随机变量的动态视角 虽然概率论是理解随机过程的基石，但本章将从动态演化的角度重新审视基础概念。我们探讨随机变量在时间序列中的演化，引入测度论在描述无限次试验空间中的必要性。关键在于理解随机变量的联合概率分布如何随着时间的推移而变化。我们将深入讨论条件期望和条件概率在刻画信息积累对未来预测影响中的核心地位。 第二章：马尔可夫过程：记忆的限制与状态空间 马尔可夫性，即“无后效性”，是随机过程理论中最重要、应用最广泛的假设之一。本章将细致区分离散时间马尔可夫链（DTMC）和连续时间马尔可夫链（CTMC）。我们将详细分析状态空间的结构——连通性、常返性、瞬时性，并探讨平稳分布的收敛性。对于CTMC，过渡速率矩阵的建立与求解是重点，这直接关系到系统在长时间尺度上的稳态行为。此外，我们还会讨论马尔可夫性在实际模型中的局限性，并为此后的非马尔可夫过程做铺垫。 第三章：鞅论基础：公平性与信息流 鞅论是处理金融数学和最优停止问题等领域不可或缺的工具。本章将介绍鞅、次鞅（Submartingale）和超鞅（Supermartingale）的概念，它们分别对应于“公平赌博”、“有利赌博”和“不利赌博”的数学表达。重点在于理解Doob上界和鞅收敛定理，这些工具为分析随机过程的依概率收敛性和几乎必然收敛性提供了强大的分析手段。我们还将探讨鞅在信息过滤和信号处理中的应用，即如何利用已观测到的信息对过程进行最优估计。 第二部分：相关性的建模与连续时间过程的精细描述 本部分聚焦于那些具有连续时间演化和内在相关结构的随机过程。 第四章：平稳性与遍历性：时间平均与概率平均的统一 对于许多物理和通信系统，我们更关心其长期行为，而非某一特定路径的细节。本章将深入探讨宽弱平稳（WSS）和严平稳（SSS）的定义及其相互关系。遍历性定理（Ergodic Theorem）的引入，使得我们可以用时间平均来估计概率平均，这在工程实践中具有至关重要的意义。我们将分析平稳过程的功率谱密度与自相关函数之间的傅里叶变换关系，为后续的谱分析奠定基础。 第五章：布朗运动与维纳过程：随机漫步的极限 作为最基本的连续时间、连续状态空间随机过程，标准布朗运动（维纳过程）是后续所有连续时间随机过程（如随机微分方程）的构建块。本章将详细阐述布朗运动的构造、独立增量、平稳增量以及二次变差的确定性结果。我们还将讨论布朗运动的路径性质，如路径不可微性、自相似性，并引入几何布朗运动（GBM）作为描述金融资产价格变动的初步模型。 第六章：平稳过程的谱表示与时间相关性 本章将重点分析平稳随机过程的时间相关性结构。通过维纳-辛钦定理，我们将自相关函数与谱密度函数联系起来。对于广义平稳过程（如加性噪声过程），谱密度是描述过程频率特性的核心指标。本章将通过傅里叶分析的视角，解释不同频率分量如何贡献于过程的整体方差和相关性。 第三部分：高级过程：随机演化的驱动力与耦合 本部分将深入研究那些更具复杂性和非线性特征的过程，以及它们在特定应用场景中的体现。 第七章：随机微分方程（SDEs）与伊藤微积分 当系统的演化速率本身是随机的时，我们需要随机微分方程来描述。本章将全面介绍伊藤积分的定义、性质及其与普通勒贝格-斯蒂尔切斯积分的根本区别，特别是伊藤恒等式。我们将求解一些经典的SDEs，如Ornstein-Uhlenbeck过程和几何布朗运动，并探讨其数值模拟方法（如Euler-Maruyama方法）。本章是连接连续时间随机过程与实际动态系统建模的关键桥梁。 第八章：泊松过程与计数过程：事件的随机发生 计数过程是描述离散事件发生速率的随机过程。本章重点分析泊松过程的性质，包括其独立增量和指数到达时间间隔。我们将区分齐次泊松过程和非齐次泊松过程。更进一步，我们将讨论更一般的纯跳过程，以及如何利用其到达时间间隔和跳跃大小来构建更复杂的随机模型，例如在排队论和可靠性工程中的应用。 第九章：随机场的空间相关性与多维耦合 将一维时间扩展到多维空间，我们进入随机场的领域。本章探讨具有空间相关性的随机场，例如高斯随机场，其核心在于其协方差函数或核函数如何描述空间中不同位置点之间的依赖程度。我们将讨论克里金（Kriging）插值方法，这是一种基于最优线性无偏估计的随机场应用，在地球科学和空间统计中扮演重要角色。 结论：建模的艺术与挑战 本书最后将总结随机过程理论在现代科学中的地位，并展望未来的研究方向，包括随机非线性动力学、随机场在机器学习中的应用，以及高维复杂系统中的精确模拟挑战。理解瞬时与相关随机过程，不仅是掌握一套分析工具，更是培养一种在不确定性中洞察规律的思维方式。 目标读者： 本书适合具有微积分、线性代数和概率论基础的工程师、物理学家、金融分析师、应用数学研究生以及对动态系统建模感兴趣的高级本科生。对每一概念的推导都力求严谨，同时配以丰富的实例和应用案例，以确保理论的有效性和可操作性。
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