Foundations of Combinatorics with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Edward A. Bender

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:2006

价格:$22.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486446035

丛书系列:

图书标签:

• 计算机科学
• 组合离散
• 组合数学
• 离散数学
• 数学基础
• 算法
• 图论
• 编码理论
• 博弈论
• 数学建模
• 计算机科学
• 应用数学

数学分析的基石：深入理解极限、连续性与积分的经典著作 《数学分析的基石：极限、连续性与积分的严谨论述》 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面、严谨且富有洞察力的数学分析基础。我们专注于解析微积分学赖以建立的那些核心概念：极限、连续性、导数和定积分。本书的编写严格遵循实数系统（$mathbb{R}$）的公理化基础，确保每一步推理都建立在坚实逻辑之上，避免了传统微积分教学中常见的“直觉驱动”的跳跃。 本书的结构被精心设计，以引导读者从最基本的集合论和拓扑概念出发，逐步构建起微积分的宏伟殿堂。我们深知，对于初学者而言，理解 $epsilon-delta$ 语言的精髓是掌握分析学的关键，因此，本书在引入这些概念时投入了大量的篇幅进行细致的阐述和丰富的实例解析。 第一部分：实数系统与初步拓扑 本书的第一部分着眼于构建分析学的“地基”。我们首先回顾了自然数、整数、有理数的构造过程，然后重点探讨了实数系统的完备性公理。我们不仅陈述了这些公理（如戴德金截面或柯西序列的收敛性），更深入探讨了完备性在证明许多基本定理，例如中间值定理和极值定理中的关键作用。 在此基础上，我们引入了拓扑学的初步概念。这包括开集、闭集、邻域、聚点（极限点）和紧致性。对紧致性的严谨讨论贯穿全书，它被视为连接序列收敛性和函数性质的关键桥梁。我们详细论证了实数子集上的紧致性等价于“有界且闭”，并通过反例展示了在非完备空间中这些性质的分离性。 第二部分：序列、级数与极限的严格定义 本部分是全书的核心，专注于极限的定义及其应用。我们用大量的篇幅来训练读者掌握 $epsilon-N$ 语言和 $epsilon-delta$ 语言。书中包含了大量由浅入深的例题和反例，用以辨析收敛、局部性质与全局性质之间的微妙关系。 序列收敛性： 不仅讨论一般序列的极限，还深入分析了单调收敛定理和柯西收敛准则。 级数理论： 对正项级数、任意项级数的敛散性判定（如比值判别法、根值判别法、积分判别法）进行了详尽的论证。特别地，本书对绝对收敛与条件收敛的区分进行了深入探讨，并引入了黎曼重排定理，展示了条件收敛序列的敏感性。 第三部分：连续性与一致收敛性 函数概念的深化建立在对连续性的严格理解之上。我们从点态连续的概念出发，扩展到函数序列的一致收敛性。一致收敛性是分析学中处理“极限操作的可交换性”问题的核心工具。我们通过清晰的图示和数学论证，揭示了点态收敛与一致收敛在保持连续性、可积性和可微性方面的本质区别。 书中详细分析了魏尔斯特拉斯函数（处处连续处处不可导）的构造，用以反驳人们对连续函数的一般直觉。紧致集上的连续函数性质，如最大值定理和一致性，被视为本部分的重要结论。 第四部分：导数与微分 导数的定义被严格限制在增量比的极限上。本书详细讨论了导数的四则运算法则、链式法则的严格证明。我们区分了导数存在性与函数连续性的关系，并深入探讨了中值定理（罗尔定理、拉格朗日均值定理、柯西均值定理）的几何意义和分析意义。 更进一步，我们引入了高阶导数的概念，并详细分析了泰勒定理。本书特别强调了泰勒公式的余项（拉格朗日余项和佩亚诺余项）的精确形式，并利用它们来精确估计函数的局部行为，为后续的函数逼近和级数展开打下坚实基础。 第五部分：黎曼积分与反导数 本书的最后部分转向对定积分的严格构造。我们详细阐述了黎曼可积性的充要条件（有界函数在闭区间上可积等价于其不连续点集的勒贝格测度为零）。积分的定义是基于上下达布尔和的极限，本书用图解的方式阐明了这些“逼近”过程的收敛性。 核心内容包括：积分的线性性质、牛顿-莱布尼茨公式的严格证明。我们深入探讨了反导数的概念，并严格区分了不定积分与定积分的关系。我们还简要介绍了广义积分（无穷区间或不连续点处的积分）的概念及其敛散性判据，为读者向更高级的分析领域过渡做好准备。 本书特色： 1. 强调逻辑严谨性： 每一个定理的证明都遵循从公理到结论的完整推导链条。 2. 丰富的分析实例： 包含大量用于检验理解力的“陷阱”函数和序列，如狄利克雷函数、有理函数序列等。 3. 理论与几何的结合： 尽管数学分析是高度抽象的，本书仍力图通过几何直观来辅助理解极限和导数的本质。 本书适合于数学、物理、工程及计算机科学专业本科生作为核心教材，或作为研究生进行专业基础复习的参考资料。通过对本书的学习，读者将能够真正掌握现代数学分析的语言和思维方式，为后续的泛函分析、微分方程等高级课程打下不可动摇的基础。

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