Foundations of Galois Theory (Dover Books on Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:M. M. Postnikov

出品人:

页数:128

译者:

出版时间:2004-02-02

价格:USD 10.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486435183

丛书系列:

图书标签:

• Galois Theory
• Abstract Algebra
• Field Theory
• Mathematics
• Dover Books
• Polynomials
• Groups
• Algebraic Extensions
• Number Theory
• Classical Mathematics

域的基石：经典代数结构与抽象的探戈 书名：域的基石：经典代数结构与抽象的探戈 内容简介 本书旨在为读者提供一个坚实而深刻的基础，用以理解代数结构中最核心、最基础的元素——群、环与域。它并非简单地罗列定义和定理，而是侧重于概念的内在逻辑、历史演变，以及它们之间错综复杂的相互联系。全书结构紧凑，逻辑严密，旨在引导读者从具体的代数运算过渡到高度抽象的数学思维模式。 第一部分：群论的基石——对称性与变换的语言 本书的开篇聚焦于群论，这是现代代数的核心支柱。我们从对“对称性”的直观理解出发，逐步构建出群的严格代数定义。 第一章：从置换到群的初识 本章详细考察了有限置换群，特别是对称群 $S_n$ 和交错群 $A_n$。我们不仅计算了它们的阶数和子群，更深入探讨了共轭类、中心以及正规子群的概念。通过对卡莱循环的分析，我们展示了如何用置换的乘积来刻画群的内部结构。本章强调了 $S_3$ 和 $S_4$ 的重要性，作为理解更一般群结构的具体模型。 第二章：同态、同构与结构分解 在建立了群的基本操作之后，我们转向研究群之间的映射关系。同构理论是代数研究的灵魂，它允许我们将不同表象下的数学实体视为本质相同的结构。本章详细阐述了同态的性质，特别是核（Kernel）与像（Image）的关系，从而推导出第一同构定理——这一在整个数学中都占据核心地位的定理。随后，我们引入了商群（Factor Groups）的概念，将其视为通过“模去”一个正规子群而获得的“简化”结构。这部分内容将为读者理解模运算在数论和几何中的应用打下坚实基础。 第三章：Sylow 定理与有限群的分类 对于有限群的研究，Sylow 定理是不可或缺的工具。本章系统地介绍了 $p$-群的概念，并以严谨的篇幅论证了 Sylow 第一、第二和第三定理。这些定理为我们提供了一种强大的机制，用以确定一个有限群中具有特定 $p$ 阶子群的存在性和数量。通过应用 Sylow 定理，我们能够对特定阶数的群（如阶为 $p^2q$ 的群）进行初步的分类，揭示了有限群结构中潜藏的规律性。 第二部分：环与理想——代数运算的推广 跨越群论的单目运算，我们进入环的世界，在这里，加法和乘法这两种基本运算得以共存，并遵循分配律的约束。 第四章：环的定义与基本性质 本章从交换环（Commutative Rings）的定义开始，详细讨论了单位元、零因子、整环（Integral Domains）以及域（Fields）的区分。我们重点分析了多项式环 $F[x]$，它不仅是研究域扩张的天然场所，也是理解抽象环结构的重要实例。通过对 $mathbb{Z}$ 的深入分析，我们引入了唯一因子分解整环（UFD）和主理想整环（PID）的概念。 第五章：理想与模——结构分解的代数视角 如果说群论中的正规子群是商群的基石，那么在环论中，理想（Ideals）就扮演了核心角色。本章区分了左、右、双边理想，并着重研究了素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）的性质。我们展示了商环 $R/I$ 的构造，以及它们与理想之间的清晰对应关系。对于 PID，我们证明了素理想恰好是极大理想，这极大地简化了对这些特定环的结构分析。 第六章：域的扩张：代数与超越 本部分是全书的高潮之一，它直接关联到传统的方程求解问题。我们从域的扩张 $E/F$ 出发，引入了代数元（Algebraic Elements）和超越元（Transcendental Elements）的概念。本章详尽地分析了最小多项式、代数扩张的性质，并阐述了有限扩张的阶数乘法公式。通过构造性地建立 $F(alpha)$，我们展示了如何从一个基本域出发，构造出包含特定根的更复杂的域。 第七章：正规扩张与伽罗瓦理论的引子 本章为正式进入伽罗瓦理论搭建了必要的桥梁。我们定义了域的同构映射及其在扩张上的作用，并引入了正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions）的概念。通过对分裂域（Splitting Fields）的讨论，我们证明了每个有限代数扩张都拥有一个正规扩张作为其“紧密闭合”的框架。这为理解伽罗瓦群——域扩张自同构群——如何控制扩张的代数性质奠定了坚实的基础。 结论：代数的统一性 全书的最终目标并非停留在伽罗瓦理论的表面，而是要展示这些看似分离的概念——群的对称性、环的运算律、域的根的求解——是如何在抽象代数这一统一框架下完美融合的。本书旨在培养读者在面对复杂数学结构时，能够识别出潜在的群论、环论或域论的影子，从而运用已掌握的工具，洞察数学真理的内在联系。阅读本书后，读者将具备深入探索数论、代数几何乃至表示论的坚实数学素养。

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