Foundations of Galois theory--伽罗瓦理论基础(英文原版进口) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:M.M. Postnikov ; translated Ann Swinf

出品人:

页数:0

译者:Ann Swinfen

出版时间:2004-01-01

价格:104.1

装帧:

isbn号码:9780486435183

丛书系列:

图书标签:

• Galois Theory
• Abstract Algebra
• Field Theory
• Mathematics
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《抽象代数导论：群、环与域的探索》 作者： 艾米莉亚·V·罗伯茨，约翰·K·哈里森 译者： [待定] 出版社： [虚构出版社名称] 版次： 第一版 页数： 约 780 页 定价： [虚构定价] ISBN： [虚构 ISBN] --- 内容简介 《抽象代数导论：群、环与域的探索》 是一部全面且深入的教材，旨在为数学系本科高年级学生和初级研究生提供坚实的抽象代数基础。本书从清晰的动机和丰富的例子出发，逐步构建起群论、环论和域论这三大核心支柱，为读者理解现代数学的深层结构打下坚实的基础。 本书的编排兼顾了理论的严谨性与教学的直观性。我们深知，抽象代数概念的掌握需要大量的实践和对结构的深刻洞察。因此，书中不仅包含了所有标准定理的详尽证明，更辅以精心挑选的、跨越多个数学分支的应用实例。 第一部分：群论——对称性的语言 本部分专注于群的结构与分类。我们从集合论的预备知识和代数结构的基本概念入手，迅速过渡到群的定义、子群、陪集和拉格朗日定理。我们着重探讨了群的同态与同构，特别是规范子群和商群的构造，这是理解结构分解的关键步骤。 核心议题包括： 1. 基本群结构： 循环群、二面体群、对称群的详细分析。我们通过几何模型和置换的角度，帮助读者建立对有限群的直观理解。 2. 群的分类： 介绍柯西定理、西洛夫定理（Sylow Theorems）的完整证明及其在分析有限群结构中的强大应用。西洛夫定理部分内容详实，辅以大量的计算示例，确保读者能够熟练运用这些工具来判断群是否为简单群或幂零群。 3. 群作用： 对群在集合上作用（Group Action）的系统性介绍，包括轨道-稳定子定理、利用作用证明群论结果（如西洛夫定理的另一种证明框架）以及可解群的概念。 4. 无限群： 讨论自由群、矩阵群（如一般线性群 $ ext{GL}_n(F)$）以及一些具有重要意义的无限群的构造。 特色： 针对群论部分，我们设计了一系列关于“如何识别”群结构的练习题，鼓励学生不仅仅记住定义，更要学会通过观察元素性质来推断群的内部结构。 第二部分：环论——代数运算的统一框架 进入环论部分，本书将焦点从单目运算（群）扩展到双目运算（加法和乘法）。我们首先定义了环、交换环、整环以及域，并详尽讨论了子环、理想（Ideals）和商环。 关键概念的深入探讨： 1. 理想与模： 我们花费大量篇幅讲解理想的性质，特别是主理想、素理想和极大理想之间的层次关系。通过商环的构造，我们强调了模运算如何将复杂环的结构简化为更易处理的结构。 2. 整环的特殊结构： 深入研究主理想整环（PID）、唯一因子化整环（UFD）和欧几里得整环。我们通过具体的例子（如 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$）来区分这些环类的异同，并证明了例如 $F[x]$ 是 PID 的重要结果。 3. 因子分解理论： 详细分析了多项式环上的因子分解，探讨了不可约多项式的概念，并为域扩张做铺垫。 特色： 在环论中，本书强调了“对偶性”的概念，即理想与模之间的联系，这对于后续学习代数几何和代数数论至关重要。 第三部分：域论——代数方程的根 域论是抽象代数的高级应用之一，它直接关联到解方程的可行性问题。本部分建立在环论的基础上，侧重于域的扩张、代数元和超越元。 域论的核心内容： 1. 域扩张： 定义域扩张 $[E:F]$ 的次数，探讨扩张域 $E$ 作为 $F$ 上的向量空间的概念。 2. 代数扩张与超越扩张： 识别哪些元素是代数的，哪些是超越的（如 $e$ 和 $pi$ 的超越性在历史背景下的讨论）。我们提供了构造有限扩张的精确方法。 3. 分裂域与最小多项式： 讨论多项式在域上的分解情况，引入了最小多项式的唯一性。 4. 可分扩张与正规扩张： 对特征为零的域和特征为 $p$ 的域进行区分，并引入了伽罗瓦理论的先决条件——可分性和正规性。 对伽罗瓦理论的引入（非深入）： 本书在域论的结尾部分，以一种启发性的方式简要介绍了伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$ 的概念，并展示了二次方程和三次方程的根式解是如何通过域扩张的性质来解释的。虽然本书并未深入探讨伽罗瓦理论的全部深度（如可解性与五次方程无根式解的证明），但它为读者提供了理解该理论所需的所有必要工具和背景知识，是进入专业伽罗瓦理论著作的完美跳板。 --- 本书的教学特色 1. 几何直觉与代数严谨性的平衡： 每一部分都始于几何或组合学的直观动机，随后进行严格的代数论证。 2. 丰富的计算示例： 书中穿插了数百个计算实例，涵盖了从初等群到复杂矩阵群的计算过程，帮助读者将抽象概念具体化。 3. “深入探索”附加章节（Optional Sections）： 部分章节（如有限域的结构、韦德尔定理的初步讨论）被标记为可选内容，供基础扎实或希望进一步深造的学生使用。 4. 强调结构分解： 本书始终围绕“分解”这一主题展开：群分解为商群，环分解为理想，域分解为多项式的根，旨在培养读者对结构之间相互作用的宏观视角。 目标读者： 本书是为那些已经完成微积分和线性代数学习，并希望系统学习代数结构，特别是为未来目标涉及代数几何、代数数论、拓扑学或理论物理学的学生量身定制的教材。它也是自学者掌握抽象代数核心概念的理想资源。通过对群、环和域的全面梳理，读者将获得一个强大的数学思维工具箱。

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