具体描述
Concise text introduces numerical analysis as a practical, problem-solving discipline, focusing on fundamentals of functional analysis and approximation theory, the major results of theoretical numerical analysis; and specific topics that illustrate the power and usefulness of theoretical analysis. A knowledge of advanced calculus is assumed. 1979 edition.
《计算方法与现代科学计算》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的计算方法基础，重点关注现代科学计算领域中最为核心、应用最为广泛的数值算法及其背后的数学原理。全书内容组织严谨，逻辑清晰，理论推导详实，并辅以大量实际算例和程序实现思路，力求在理论深度与工程实用性之间取得完美的平衡。 第一部分：误差分析与基本计算技巧 本部分首先从计算的本质出发，系统阐述了在有限精度浮点运算环境下，误差的来源、类型及其量化方法。我们详细讨论了截断误差（来自泰勒级数展开或近似方法的局限性）和舍入误差（来自计算机有限存储能力的限制）的累积效应。通过对病态问题的分析，读者将深刻理解数值稳定性在实际计算中的关键地位。随后的章节将介绍高效的多项式插值技术，包括拉格朗日插值、牛顿前向/后向差值公式，并深入探讨了样条插值的优势，特别是三次样条在保证光滑性和局部控制方面的优越性。此外，我们还将覆盖Hermite插值，用于处理同时包含函数值和导数值信息的插值需求。 第二部分：线性系统的数值求解 线性代数方程组的求解是科学计算的基石。本卷首先回顾了矩阵理论中的关键概念，如矩阵的范数、特征值分解和奇异值分解（SVD）。随后，重点转向直接法：详细推导并分析了高斯消元法、LU分解（包括Doolittle和Crout分解）、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）的计算复杂度和数值稳定性。本书强调了主元选择（部分选主元与完全选主元）对防止数值失稳的决定性作用。 针对大规模稀疏线性系统，本书深入探讨了迭代法。这包括雅可比（Jacobi）迭代、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代及其过松弛/欠松弛（SOR）方法。为了提高收敛速度，我们详细介绍了Krylov子空间方法的基础，特别是针对对称正定系统的共轭梯度法（CG），以及针对一般线性系统的最小残量法（MINRES）和广义最小残量法（GMRES）。理论分析将侧重于收敛速度的分析，并讨论如何选择合适的预处理技术（如代数预处理或基于区域分解的预处理）以加速迭代过程。 第三部分：特征值问题的数值计算 特征值问题在振动分析、量子化学和数据降维（如主成分分析）中扮演核心角色。本书从理论上梳理了相似变换和合同变换对特征值的影响。直接法方面，我们详细介绍了赫申伯格（Hessenberg）简化，并阐述了QR算法的原理，包括其与相似变换和本征值分解的联系。特别地，对于对称矩阵，我们将重点分析基于Jacobi旋转和Lanczos迭代的算法，它们在保证稳定性的同时，具有极高的效率。对于非对称矩阵，将介绍Arnoldi迭代和Lanczos迭代的推广形式，以及它们在求解大型稀疏特征值问题中的应用。 第四部分：非线性方程与优化 求解单变量非线性方程 $f(x)=0$ 是数值分析的经典问题。本书系统比较了诸如二分法、割线法和牛顿法等方法的收敛特性。我们着重分析了牛顿法的二次收敛性及其对初始猜测的敏感性，并介绍了欠阻尼牛顿法和拟牛顿法（如BFGS算法）在处理导数难以获取或计算成本高昂时的优势。 在多变量非线性方程组方面，本书将牛顿法的思想推广至高维空间，并探讨了如何利用雅可比矩阵的有效构造和求解策略。优化问题的求解占据了重要篇幅，包括无约束优化（如最速下降法、牛顿法和拟牛顿法）和约束优化。约束优化部分将重点介绍拉格朗日乘数法、KKT条件，并详细解析序列二次规划（SQP）算法，该算法是解决中小型非线性规划问题的强大工具。 第五部分：常微分方程的数值解法 常微分方程（ODE）的数值积分是工程和科学模拟的基础。本章从理解局部截断误差和全局误差的概念开始，系统介绍了一步法：欧拉方法（前向、后向）及其稳定性区域分析。随后，本书深入探讨了更高阶的方法，特别是龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，包括经典的四阶RK方法。对于需要处理刚性（Stiff）系统的应用，本书专门开辟章节讨论隐式方法（如后向欧拉法）和线性多步法（如Adams-Bashforth和Adams-Moulton方法），并分析了它们各自的稳定性和精度要求。对ODE问题的刚性检测和选择合适积分器的策略将作为实践指导穿插其中。 第六部分：数值积分与傅里叶分析基础 本部分涵盖了定积分的数值近似。我们从牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式出发，推导了复合梯形法则和辛普森法则，并分析了它们的误差项。重点将放在高精度的Gauss-Legendre求积公式上，解释其基于正交多项式的优越性。 在与现代信号处理和数据分析紧密相关的领域，本书简要介绍了傅里叶级数和傅里叶变换的数值实现。重点讨论了快速傅里叶变换（FFT）算法的原理和计算优势，这对于处理周期性数据和频谱分析至关重要。 本书的特点在于其对算法背后理论依据的坚持，强调如何从数学角度评估算法的效率和可靠性，为读者打下坚实的计算科学基础，使其能够适应未来计算工具和领域的发展需求。
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