Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Wolfgang Wasow

出品人:

页数:402

译者:

出版时间:1987

价格:723.00元

装帧:

isbn号码:9780486495187

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• ODE
• 2011秋
• Asymptotic analysis
• Ordinary differential equations
• Perturbation methods
• Singular perturbations
• Boundary layer theory
• Matched asymptotic expansions
• WKB method
• Differential equations
• Mathematical analysis
• Applied mathematics

深入探索：非线性动力学与解析方法的新视界 本书旨在为数学物理、应用数学及工程科学领域的研究人员和高年级研究生提供一套全面而深刻的工具集，用于解析处理那些在传统意义上难以用初等函数精确描述的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）。我们聚焦于超越纯粹的数值模拟，探索在特定区域或参数限制下，系统行为的内在结构和渐近规律。 本书的核心价值在于对奇异摄动理论（Singular Perturbation Theory, SPT）及相关匹配方法（Matching Techniques）的系统性梳理和创新性应用。我们不局限于教科书式的标准例子，而是将这些强大的解析工具置于复杂物理背景之下，揭示其在跨尺度现象（multiscale phenomena）中的决定性作用。 第一部分：基础框架与渐近分析的基石 本部分奠定了理解复杂ODE系统的分析基础，重点阐述了展开式（expansions）的构建逻辑和有效性条件。 第一章：解析处理的必要性与挑战 我们首先讨论为什么许多描述自然界和工程系统的ODE模型（如流体力学、化学反应动力学、电路理论）在面对小参数（$epsilon o 0$）时，其精确解无法通过标准方法（如幂级数展开）获得。引入“奇异性”的概念，区分常规摄动与奇异摄动问题。讨论了何为“渐近有效”的解，强调其依赖于参数 $epsilon$ 趋近于零的特定路径和区域。 第二章：多重尺度分析与慢/快变子系统 本章深入探讨了多尺度方法（Multiple Scales Method）在时间或空间依赖的ODE系统中的应用。我们将详细介绍如何通过引入多个独立的“尺度变量”——例如，慢变量 $ au = t$ 和快变量 $xi = t/epsilon$——来系统地消除解中的“不正当”振荡或非物理的增长。关键在于构造新的展开形式，确保解在所有尺度上都是平滑且物理合理的。我们将展示如何利用这些技巧来识别系统内部潜在的快速弛豫过程和慢演化路径。 第三章：边界层理论的几何解释 边界层是奇异摄动的核心特征。本章从几何和拓扑角度解释了边界层为何产生——即解的导数在参数 $epsilon$ 趋近于零时表现出剧烈的变化。我们将详尽分析直立层（Interior Layers）和边缘层（Corner Layers）的特性，并引入匹配原理（Principle of Matching）的严格化概念。重点讨论如何通过定义“外解”（Outer Solution）和“内解”（Inner Solution），并在重叠区域（Seam Region）内进行匹配，来获得一个全局一致的渐近展开。 第二部分：关键解析技术及其推广 本部分转向对具体、高阶的解析技术进行深入探讨，这些技术是解决非线性、非自治系统的利器。 第四章：WKB近似的局限性与改进 虽然WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）方法是线性二阶ODE的经典工具，但其在处理临界点（Turning Points）附近时会失效。本章将详细分析临界点处的渐近行为，并介绍费舍尔-里德尔方法（Fischer-Riedel Method）和米勒代入法（Miller’s Method）等技术，用以在这些区域构造解析连接公式。我们将展示如何利用复变量分析来准确捕捉量子力学或波传播模型中的隧穿效应。 第五章：平均化原理与振荡系统 对于含有高频或快速周期性驱动项的系统，直接积分是不可行的。本章聚焦于平均化原理（Method of Averaging）。我们将严格推导一阶和高阶平均化方法，证明在去除高频项后，系统的慢演化由一个“平均”的、低维度的ODE系统所支配。尤其关注共振现象的识别与处理，即外部驱动频率与系统固有频率接近时，平均化方法如何被修改以捕获能量的长期积累。 第六章：定性分析与极限定律 本章将渐近分析与动力系统理论相结合。在 $epsilon o 0$ 的极限下，高维系统通常会“退化”为低维的约化系统（Reduced Systems）。我们关注如何利用渐近分析来确定这些约化系统的吸引子、极限环或不动点的存在性与稳定性。引入慢流形（Slow Manifolds）的概念，解释在快时间尺度上系统如何迅速收敛到这个低维子空间，而其长期行为则完全由慢流形上的动力学决定。 第三部分：前沿应用与新兴模型 最后，本书将焦点从理论工具转移到当前研究热点，展示这些方法在复杂系统建模中的前沿应用。 第七章：非线性振荡器与滞后现象 我们将研究受弱阻尼和弱驱动影响的非线性振荡系统（如范德波尔（Van der Pol）方程或Liénard系统）。利用渐近方法分析稳态振幅的精确解析表达式，而非仅仅是定性描述。重点讨论软激发（soft excitation）和硬激发（hard excitation）的阈值分析，以及在强非线性下解中出现的弛豫振荡（Relaxation Oscillations）的精确结构。 第八章：反应扩散系统中的层结构 虽然本书主要关注ODE，但我们将简要探讨如何利用ODE的渐近技巧来理解反应扩散方程（Reaction-Diffusion Equations）中形成的驻波（Traveling Waves）和脉冲解（Pulses）。这些解通常可以被分解为一系列连接不同稳态的层结构，其速度和形态的分析高度依赖于局部ODE的奇异摄动分析。我们将展示如何利用“旅行波变换”将PDE简化为一类具有边界层特性的ODE系统。 第九章：数值稳定性与渐近校正 理论分析的最终目的是指导高效的数值求解。本章讨论了传统数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法）在处理奇异摄动问题时可能遇到的刚性（Stiffness）问题。我们将展示如何利用第一、二部分的渐近结果来设计适应性时间步长策略，或构建高精度渐近匹配积分器，从而在保持计算效率的同时，准确捕捉到由小参数控制的快速变化特征。 --- 通过对上述主题的系统性、深入的阐述，本书旨在培养读者识别、形式化并最终解析解决复杂常微分方程问题的能力，为处理现实世界中的跨尺度、非线性动力学问题提供坚实的解析基础。内容侧重于技术细节的严谨性和物理图像的清晰性，而非仅仅是概念的罗列。

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