Orthogonal functions--正交函数(英文原版进口) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:G. Sansone ; translated from the Ital

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-01-01

价格:587.59998

装帧:

isbn号码:9780486438016

丛书系列:

图书标签:

• 正交函数
• 数学
• 函数
• 傅里叶分析
• 线性代数
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• 数学分析
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深入探索经典数学的基石：一本关于抽象代数与群论的深度导论 书名： 抽象代数与群论导论 (A Concise Introduction to Abstract Algebra and Group Theory) 作者： 约翰·D·史密斯 (John D. Smith) 出版社： 环球学术出版社 (Global Academic Press) 页数： 约 680 页 --- 内容提要 本书旨在为数学、物理学、计算机科学及工程学领域的学生和研究人员提供一个全面且深入的视角，探讨抽象代数的核心分支——群论。不同于侧重于函数空间和微分方程的传统教材，本书坚定地立足于代数结构本身，详细阐述了如何通过集合、运算和特定公理来构建和理解数学系统。 全书分为四个主要部分，层层递进，从最基础的代数概念过渡到复杂群结构的深入分析。 第一部分：代数结构的基础 (Foundations of Algebraic Structures) 本部分首先回顾了读者可能熟悉的初等代数概念，并迅速将其提升至集合论的严格框架下。重点在于定义和辨析代数系统 (Algebraic Systems)，如半群（Semigroups）、独异点（Monoids）以及最重要的——群 (Groups)。 我们详细考察了群的四大公理——封闭性、结合律、单位元和逆元——并用大量的具体例子（如整数集在加法下的群、非零有理数集在乘法下的群、矩阵群GL(n, R)等）来巩固理解。本章深入探讨了子群 (Subgroups) 的概念，引入了陪集 (Cosets) 及其在判断子群性质中的关键作用。对于陪集分解 (Coset Decomposition) 的分析，为后续引入正规子群和商群奠定了必要的计算基础。 第二部分：群论的核心理论 (The Core Theory of Group Structures) 在奠定了基础之后，第二部分聚焦于对群结构进行分类和分解。核心内容包括同态 (Homomorphisms) 和同构 (Isomorphisms) 的严格定义与性质。我们探讨了核 (Kernel) 与像 (Image) 在保持或破坏代数结构中的作用，并详细论证了第一同构定理 (The First Isomorphism Theorem)，这是连接群结构与其商结构的桥梁。 本部分花费大量篇幅讨论正规子群 (Normal Subgroups) 的特征及其重要性。随后，引入了商群 (Quotient Groups) 或因子群 (Factor Groups) 的构造过程，并通过具体实例展示了如何利用商群来简化对原群的分析。此外，循环群 (Cyclic Groups) 的结构被彻底解析，证明了所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$，这是对群结构分类的初步胜利。 第三部分：有限群的结构与应用 (Structure of Finite Groups and Applications) 有限群的理论是群论中最精美和最成熟的部分之一。本部分的核心在于拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem) 及其直接推论，例如子群阶数必须整除群的阶数。 随后，我们转向$p$-群 (p-Groups) 的研究，并详尽阐述了柯西定理 (Cauchy's Theorem)。群作用 (Group Actions) 的概念被引入，它提供了一种将抽象群论与具体集合联系起来的强大工具。通过研究群作用，我们推导出了至关重要的Sylow 定理 (Sylow Theorems)。这些定理被视为有限群理论的巅峰，它们精确地描述了具有素数阶数 $p$ 的子群的存在性和数量。本部分还包括对直积 (Direct Products) 和半直积 (Semidirect Products) 的构造，用以构建更复杂的群。 第四部分：经典群与更广泛的代数视野 (Classical Groups and Broader Algebraic Context) 最后一部分将理论应用于具体的经典数学对象。我们深入分析了对称群 ($S_n$) 和交错群 ($A_n$)，特别是对 $n geq 5$ 时的 $A_n$ 的简单性（Simplicity）进行了证明，这一结果与伽罗瓦对五次及以上方程不可解性的证明有着深刻的联系。 此外，本部分还扩展了视野，简要介绍了环论 (Ring Theory) 的基本概念，如环、理想（Ideals）、整环（Integral Domains）和域（Fields）。虽然本书的主线是群论，但这种过渡旨在帮助读者理解抽象代数体系的整体结构，并为未来学习更高级的代数分支（如域论和模块论）做好准备。 --- 本书特色与学习价值 本书的编写风格严谨而清晰，侧重于数学证明的逻辑完整性和概念的精确性。它避免了对特定应用场景（如傅里叶分析或数值方法）的过度侧重，而是致力于构建一个坚实的理论框架。 1. 强调证明的深度： 每个关键定理都附有详细、可跟随的证明过程，旨在培养读者严密的逻辑思维。 2. 丰富的例子与反例： 为了区分相似概念（如子群与正规子群，同态与同构），书中穿插了精心挑选的例子和反例。 3. 结构化学习路径： 内容的组织遵循从具体到抽象、从简单结构到复杂定理的自然路径，确保读者在没有预备知识的情况下也能有效掌握。 本书是那些寻求全面、深入理解代数结构本质的数学专业人士和高年级本科生的理想选择。它构建的代数基础，是理解现代数学许多其他领域，包括拓扑学、代数几何和数论的必备阶梯。

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