A Course in Mathematical Analysis Volume 1 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Edouard Goursat

出品人:

页数:560

译者:Earle Raymond Hedrick

出版时间:2006-1-3

价格:USD 85.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780486446509

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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好的，这是一本关于数学分析的图书的简介，内容详实，旨在吸引对高等数学有深入学习需求的读者。 --- 书名：《微积分的精深探究：解析学基础与严谨推导》 简介 《微积分的精深探究：解析学基础与严谨推导》是一本面向数学、物理、工程及相关学科高年级本科生和研究生的教材或参考书。本书的宗旨在于为读者建立起坚实、严谨的数学分析基础，超越传统微积分课程中侧重计算技巧的教学模式，深入探究微积分理论背后的逻辑结构与分析思想。全书结构清晰，内容全面，力求在提升读者分析思维能力的同时，提供必要的计算工具。 本书共分为三大部分，共计十二章，旨在循序渐进地构建起一个完整的实数域上的数学分析理论框架。 第一部分：实数系统与极限的严谨构建 本部分是全书的基石，重点在于对传统微积分预设的直觉概念进行严格的数学化定义与论证。 第一章：实数系统的完备性与拓扑基础 本章首先回顾了有理数系的代数结构，随后引入了构建实数系统的关键——戴德金截（Dedekind Cuts）或柯西序列（Cauchy Sequences）等方法，论证了实数域 $mathbb{R}$ 的唯一性（在同构意义下）及其完备性。完备性是后续所有极限理论成立的根本保证。在此基础上，详细讨论了 $mathbb{R}$ 的拓扑性质，包括开集、闭集、紧集的概念及其在 $mathbb{R}$ 上的具体表现（如Heine-Borel定理）。对邻域、内点、聚点等基本拓扑概念的引入，为后续讨论序列和函数的收敛性奠定了精确的语言基础。 第二章：序列的收敛性与布尔查诺-魏尔斯特拉斯理论 本章将分析序列的极限概念，从 $epsilon-N$ 语言出发，探讨有界序列、单调序列的性质。重点在于证明单调收敛定理，并将其应用于求解各种极限问题。随后，本书深入探讨了序列的收敛性与子序列之间的关系，详细阐述了柯西序列的完备性判据。最为关键的是，本章将详尽证明和应用布尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（Bolzano-Weierstrass Theorem），该定理表明任何有界序列都存在收敛子序列，这是后续诸多分析结论的强大工具。本章还会初步介绍收敛的等价刻画——柯西准则在序列上的应用。 第三章：函数序列与函数项级数的收敛 本章将研究从自然数集到实值函数的映射序列。我们区分了逐点收敛（Pointwise Convergence）和一致收敛（Uniform Convergence）。一致收敛的概念被赋予了重要的地位，因为它是保证极限运算与基本分析运算（如连续性、可积性、可微性）之间顺序可以互换的关键。本章详细讨论了 Weierstrass M-判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法等，并利用一致收敛的性质，讨论了函数项级数在特定区间上的收敛性，为幂级数展开打下基础。 第二部分：连续性、微分与积分的严格化 在建立了坚实的极限和收敛理论后，本部分将重新审视和深化初等微积分中的核心概念：连续性、导数和定积分。 第四章：连续函数的性质与拓扑应用 本章从严格的 $epsilon-delta$ 语言重新定义函数连续性，并推广到序列的极限形式。重点分析了连续函数在特定集合上的性质：如有界性定理、最大值最小值定理（依赖于紧集概念），以及介值定理。此外，本章还将连续性推广到函数序列的一致极限上，强调一致连续性在区间上的重要性。 第五章：导数与微分中值定理的深层结构 本章考察了函数在单变量下的导数概念。重点不在于计算，而在于理解导数的几何意义和分析意义。我们将详细证明微分中值定理，包括罗尔定理（Rolle's Theorem）、均值定理（Mean Value Theorem）。均值定理的应用部分将深入讨论导数的保序性、L'Hôpital 法则的严格证明和适用条件。此外，本章还将引入高阶导数和泰勒定理的精确表述及其余项的精确估计（拉格朗日余项和柯西余项）。 第六章：黎曼积分的理论基础 本章致力于构建经典黎曼积分的严谨理论。我们将从上和与下和的概念出发，定义黎曼可积性。关键在于证明一个函数可积的充要条件（即不连续点的集合测度为零）。本章详细讨论了积分的线性性质、比较性质，以及微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）的两个核心部分——牛顿-莱布尼茨公式的严格证明及其理论意义。 第七章：黎曼可积性的推广与反常积分 在经典黎曼积分的基础上，本章探讨了积分理论的扩展。首先讨论了有界区间上不可积函数的性质。随后，引入反常积分（Improper Integrals），即积分区间为无限长或被积函数在区间内存在不致有界点的情况。本章将严格分析反常积分的敛散性判别法，包括比较判别法、极限比较判别法以及狄利克雷判别法和阿贝尔判别法在反常积分中的应用。 第三部分：幂级数与函数近似 本部分将分析级数理论应用于函数逼近，并将分析的工具扩展到更广阔的函数空间。 第八章：幂级数的收敛性与分析性质 本章专门研究形如 $sum_{n=0}^{infty} a_n (x-c)^n$ 的幂级数。核心内容是确定幂级数的收敛半径和收敛区间，并证明比值判别法和根值判别法的适用性。更重要的是，本章将利用一致收敛的理论，证明幂级数在其收敛区间（端点除外）上可以逐项求导和逐项积分，从而建立起函数解析性的初步概念。 第九章：泰勒级数与函数展开 本章将泰勒定理应用于函数逼近。详细讨论了初等函数（如指数函数、三角函数、对数函数）的泰勒级数展开式，并严格证明了这些展开在各自的收敛区间内的有效性。本章还会讨论函数的解析性概念，探究何时一个函数可以被其泰勒级数精确表示。 第十章：勒贝格积分的初步介绍（可选性深化） 为拓宽读者的视野，本章简要引入了勒贝格测度（Lebesgue Measure）的基本概念，并以此为基础，概述了勒贝格积分（Lebesgue Integration）相较于黎曼积分的优势和区别。本章旨在提供一个概念性的框架，而非深入测度论的细节，为未来学习泛函分析和高级概率论做准备。 第十一章：均匀收敛的应用：傅里叶级数 本章利用第三部分建立起来的一致收敛理论，引入周期函数的傅里叶级数。我们讨论了三角级数的收敛性，重点阐述了狄利克雷条件（Dirichlet Conditions），并证明了在满足特定条件下，傅里叶级数可以在区间上一致收敛于原函数。这为信号处理和偏微分方程的求解提供了重要的分析工具。 第十二章：级数与积分的交换问题 本章探讨了数学分析中一个核心且复杂的问题：积分号和求和号（或微分号）的交换顺序。我们利用一致收敛的工具，精确界定在何种条件下可以交换这些运算的顺序。本章还将简要提及更强大的工具，如法图定理（Fatou's Lemma）和占主导地位收敛定理（Dominated Convergence Theorem）在解决此类问题中的威力（如果第十章涉及勒贝格积分）。 --- 本书的特点在于其对概念的绝对严谨性，每一个定理的证明都力求完整和清晰。它要求读者具备扎实的代数背景，并鼓励读者在理解核心分析思想的基础上，将理论应用于解决复杂的数学建模和推导问题。本书的深度和广度，使其成为从计算微积分迈向实分析的理想桥梁。

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