理論力學（上冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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isbn號碼:9787560822365

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高級應用數學與計算方法 —— 深入解析現代科學與工程中的核心工具 本書特色： 本書旨在為理工科高年級本科生、研究生以及科研人員提供一套全麵、深入且具有前瞻性的高級數學與計算方法基礎。內容涵蓋瞭構建現代科學理論和解決復雜工程問題所必需的數理工具箱，重點強調理論的嚴謹性與實際應用的有效性相結閤。不同於側重於基礎概念的入門教材，本書將理論推導與前沿計算技術緊密融閤，旨在培養讀者獨立分析和解決復雜科學問題的能力。 --- 第一部分：泛函分析基礎與算子理論 (Fundamentals of Functional Analysis and Operator Theory) 本部分為深入理解無窮維空間中問題提供瞭必要的數學框架。我們將從嚴格的拓撲綫性空間齣發，逐步建立巴拿赫空間和希爾伯特空間。 第一章：拓撲嚮量空間與度量空間迴顧 1.1 拓撲結構與收斂性：濾子、序列收斂與拓撲的等價性。 1.2 賦範嚮量空間：範數的性質、等距同構。 1.3 完備性： ബ拿赫空間 (Banach Spaces) 的構建，不動點定理（巴拿赫不動點定理）的嚴格證明及其在微分方程中的應用（如存在性與唯一性證明）。 1.4 希爾伯特空間 (Hilbert Spaces)：內積的引入，正交性在函數空間中的重要性，Riesz 錶示定理的詳述。 第二章：綫性算子與有界性 2.1 有界綫性算子：算子範數、連續性與有界性的等價性。 2.2 閉圖像定理（Closed Graph Theorem）與開映射定理（Open Mapping Theorem）：在函數空間上的精確應用與物理意義的探討。 2.3 Hellinger-Toeplitz 定理及其在邊界條件分析中的作用。 2.4 譜理論的初步介紹：算子的譜集的定義，譜半徑公式的推導。 第三章：測度論與勒貝格積分（為深入理解 $L^p$ 空間做準備） 3.1 $sigma$-代數與可測集：構造性方法與反例。 3.2 勒貝格測度的定義與性質：與長度、麵積、體積測度的關係，可測函數的定義。 3.3 勒貝格積分：單調收斂定理、有界收斂定理、Fatou 引理的嚴格證明及其在概率論和泛函分析中的核心地位。 3.4 $L^p$ 空間：Minkowski 不等式，Riesz-Fischer 定理（完備性證明）。 --- 第二部分：偏微分方程的變分法與正則性 (Variational Methods and Regularity for PDEs) 本部分聚焦於使用能量最小化原理（變分法）來處理和求解描述物理係統的偏微分方程 (PDEs)，這是現代物理學和工程仿真（如有限元法基礎）的核心方法。 第四章：Sobolev 空間與弱解 (Sobolev Spaces and Weak Solutions) 4.1 弱導數的引入：動機與定義，與經典導數的對比。 4.2 Sobolev 空間的構造：$W^{k,p}$ 空間，嵌入定理（如 Sobolev 不等式）的細緻推導。 4.3 跡定理（Trace Theorems）：函數在邊界上的定義與分析。 4.4 橢圓型方程的弱形式：拉普拉斯方程 ($Delta u = 0$) 和泊鬆方程 ($Delta u = f$) 的變分錶述。 第五章：變分原理與能量最小化 5.1 泛函的變分：Gâteaux 導數與 Fréchet 導數。 5.2 歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equations）：從最小作用量原理齣發的推導。 5.3 橢圓型算子的基本模型：Dirichlet 問題的變分結構分析。 5.4 Lax-Milgram 定理：確保弱解存在性和唯一性的核心工具，詳細分析其所需的條件（一緻性、連續性、強製性）。 第六章：正則性理論 6.1 強解與弱解的關係：在何種條件下，弱解是經典意義上的光滑解。 6.2 內在正則性：解的內部行為分析，Schauder 估計的概述。 6.3 邊界正則性：邊界光滑性對解的影響。 6.4 實例分析：穩態傳熱問題（Poisson 方程）和彈性力學中的位移問題。 --- 第三部分：數值分析與計算方法 (Numerical Analysis and Computational Methods) 本部分將理論基礎轉化為可操作的數值算法，重點關注現代科學計算中處理連續問題的離散化技術。 第七章：綫性係統的數值求解 7.1 矩陣分解與穩定性：LU、Cholesky 分解的誤差分析。 7.2 迭代法：雅可比（Jacobi）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）方法的收斂性分析。 7.3 Krylov 子空間方法：Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代的原理，GMRES 和共軛梯度法 (CG) 的深入剖析及其在大型稀疏係統中的優勢。 第八章：函數逼近與插值 8.1 多項式插值：牛頓插值、Lagrange 插值的局限性。 8.2 分段插值：樣條插值（Cubic Splines）的構造與最優性。 8.3 最佳一緻逼近：Chebyshev 多項式在最小化最大誤差中的作用。 8.4 傅裏葉級數與快速傅裏葉變換 (FFT)：在周期性問題和信號處理中的應用。 第九章：微分方程的數值方法 9.1 常微分方程 (ODEs) 的離散化：單步法（歐拉法、Runge-Kutta 法）的穩定性和收斂性（A-穩定性、$B$-穩定性概念）。 9.2 偏微分方程的離散：有限差分法 (FDM) 的網格剖分、截斷誤差分析，處理非結構化網格問題的挑戰。 9.3 有限元方法 (FEM) 概述：形函數（Basis Functions）的選擇，剛度矩陣和載荷嚮量的構建，與變分法的內在聯係。 --- 目標讀者： 本書要求讀者已具備紮實的微積分、綫性代數和經典力學基礎（如經典力學中對力、位移、能量的概念掌握）。通過本書的學習，讀者將能夠熟練運用高級分析工具來處理從量子力學到流體力學、從材料科學到金融工程中遇到的復雜數學模型，並理解其背後的數值穩定性與計算效率問題。本書內容深度接近研究生的專業基礎課程，適閤作為深入研究或工程應用的橋梁。

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