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《计算方法基础与应用》图书简介 作者： 王晓明，李明 出版社： 科学技术出版社 出版时间： 2023年10月 --- 内容概述 本书系统地介绍了数值计算领域的核心概念、基本算法及其在工程和科学研究中的实际应用。全书内容涵盖了从最基础的误差分析到高级的偏微分方程数值解法等多个方面，旨在为读者提供一套扎实且全面的计算方法理论框架和实践技能。本书特别注重理论与实践的结合，每一章节均配有丰富的算例和基于主流编程语言（如Python和MATLAB）的实现示例，确保读者能够真正掌握算法的精髓并应用于解决实际问题。 本书共分为九个章节，结构清晰，逻辑递进： 第一部分：基础理论与误差分析 第一章：引言与计算基础 本章首先阐述了计算科学在现代科学研究和工程实践中的重要地位，明确了数值计算与解析计算的本质区别。随后，重点引入了有限精度浮点数表示（IEEE 754标准），详细讨论了舍入误差、截断误差的来源、性质及量化方法。通过对误差传播的深入分析，读者将建立起对计算稳定性的初步认识。本章还回顾了必要的线性代数预备知识，如矩阵范数、特征值分解等，为后续章节的算法分析奠定基础。 第二章：非线性方程的求解 本章聚焦于寻找函数 $f(x)=0$ 的根的问题。首先介绍了一系列隔离根区间的辅助方法，如二分法（Bisection Method），分析其可靠性但收敛速度较慢的特点。随后，深入探讨了局部收敛的加速方法，包括牛顿法（Newton's Method）及其欠线化（Damped Newton）策略，以及割线法（Secant Method）和假位法（Regula Falsi）。对于涉及多个变量的非线性方程组，本章引入了多维牛顿法，并讨论了其在实际应用中的计算挑战，如雅可比矩阵的求解。章节末尾，通过分析迭代法的收敛速度（线性、超线性、二次收敛），指导读者选择最合适的求解策略。 第二部分：插值与函数逼近 第三章：插值法 插值是函数逼近的基石。本章系统地介绍了多项式插值的理论。从拉格朗日插值多项式出发，推导了牛顿插值公式及其均差概念，这种形式更便于增量计算。重点分析了插值余项，揭示了高次插值可能带来的“龙格现象”（Runge's Phenomenon），并引出了避免此现象的关键——分段插值。 第四章：样条插值 为克服高次多项式插值的缺陷，本章专门探讨了样条函数。详细介绍了分段线性插值和分段二次插值，并着重阐述了三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）的构建过程，包括自然边界条件和钳位边界条件。通过最小化曲率的性质，展示了三次样条如何在保证连续性和光滑性的前提下，实现对复杂函数的精确逼近。 第五章：最小二乘拟合 本章处理数据拟合问题，尤其是在存在测量误差或噪声的情况下。介绍了线性最小二乘法（Linear Least Squares）的基本原理，并通过正规方程组求解。对于非线性模型，则将其线性化，或直接应用高斯-牛顿法进行非线性最小二乘优化。本章还简要介绍了正交多项式在最小二乘逼近中的应用，例如切比雪夫逼近。 第三部分：数值积分与微分 第六章：数值积分 本章致力于用有限的函数值来近似定积分 $int_a^b f(x) dx$。从最直观的矩形法和梯形法则起步，系统推导了复合求积公式，以提高精度。随后，深入介绍高斯求积公式（Gaussian Quadrature），展示了它在固定区间上具有极高代数精度和最优收敛性的原因。最后，探讨了自适应步长求积（Adaptive Quadrature）的思想，以高效处理被积函数变化剧烈的区间。 第七章：数值微分 本章讨论如何利用函数值来近似函数的导数。基于牛顿插值公式的余项，推导了前向差分、后向差分和中心差分的公式，并分析了它们各自的截断误差。本章还展示了更高阶导数的数值逼近方法，并讨论了数值微分相较于数值积分在误差控制上的内在困难，强调了对误差来源的细致区分。 第四部分：线性代数方程组的求解 第八章：直接法 线性代数方程组 $Ax=b$ 是工程计算的核心。本章首先分析了直接求解的稳定性和效率。重点讲解了高斯消元法（Gaussian Elimination），并详细阐述了LU分解（包括Doolittle和Crout分解）在解决多组右端项问题时的优势。此外，还介绍了Cholesky分解在求解对称正定系统中的应用，以及对病态矩阵（Ill-Conditioned Matrices）的敏感性分析。 第九章：迭代法 对于大规模、稀疏的线性系统，直接法往往计算量过大或存储效率低下。本章引入了迭代求解方法。详细讨论了雅可比迭代（Jacobi Method）和高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel Method），并分析了其收敛性的充要条件（如对角占优）。随后，介绍了更高效的迭代方法，包括逐步构造的SOR（Successive Over-Relaxation）方法，以及基于 Krylov 子空间方法的预处理共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）在求解对称正定系统中的威力。 适用对象 本书适合于高等院校理工科专业（如计算机科学、数学、物理学、工程力学、电子电气工程等）的本科高年级学生、研究生，以及需要掌握计算方法解决实际工程和科研问题的工程师与研究人员。 本书特色 1. 理论深度与实践广度的平衡： 每一算法的推导都基于严格的数学原理，同时辅以大量的C++/Python/MATLAB代码示例，帮助读者理解算法的工程实现细节。 2. 误差分析贯穿始终： 从第一章开始便强调计算的可靠性，后续章节均对所提算法的稳定性和收敛性进行了深入分析。 3. 现代方法涵盖： 不仅限于经典算法，还引入了如三次样条、共轭梯度法等现代数值计算中不可或缺的技术。 4. 丰富的案例研究： 章节末尾提供了多个贴近实际的案例，涵盖了结构分析、信号处理、参数估计等多个应用领域，增强了学习的趣味性和实用性。
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