高等代数与解析几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787563620319

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• 解析几何
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• 方程

《微积分基础：理论与应用》 图书简介 本书旨在为读者构建坚实的微积分学基础，深入浅出地阐述极限、导数和积分的核心概念及其在自然科学和社会科学中的广泛应用。不同于传统的、侧重于繁复公式推导的教材，本书更加强调数学思想的内在逻辑和实际问题的建模能力。全书内容组织严谨，逻辑清晰，力求在保证理论深度的同时，提升读者的直观理解和解决实际问题的能力。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本部分是理解微积分所有后续概念的起点。我们从直觉出发，逐步精确地定义极限的概念。 第一章：极限的精确定义与计算 本章首先介绍了数列的极限，并严格定义了 $varepsilon - N$ 语言，帮助读者理解极限的本质。随后，我们过渡到函数的极限，详细探讨了左极限、右极限以及极限存在的充要条件。着重分析了如何利用洛必达法则（在后续章节中证明其正确性）处理未定式，以及无穷极限和在无穷远处极限的几何意义。我们特别设置了“极限在误差分析中的作用”这一小节，展示极限如何成为精确测量的理论保障。 第二章：连续性与不连续点 连续性是微积分中描述函数行为“平滑性”的关键概念。本章首先定义了函数在一点的连续性，并扩展到闭区间上的连续性。我们深入证明了介值定理和极值定理（又称魏尔斯特拉斯定理）的严谨性，这些定理是应用微积分解决存在性问题的基础。对于不连续点，我们系统分类讨论了可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点，并探讨了它们在实际系统中的物理意义，例如物理量突变或系统失稳的临界点。 第二部分：微分学——变化率的度量 微分学是研究瞬时变化率的数学工具。本部分将从平均变化率过渡到瞬时变化率，并探究导数的几何和物理含义。 第三章：导数的定义与基本求导法则 本章以切线斜率和瞬时速度这两个经典问题引入导数的概念。我们详细阐述了导数的四则运算法则，并给出了三角函数、指数函数和对数函数的求导公式。特别地，本章花大力气剖析了复合函数的求导法则（链式法则），并通过多层嵌套的实例强调其重要性，指出链式法则在构建复杂模型时的不可替代性。 第四章：高阶导数与隐函数求导 高阶导数是描述曲率和加速度等更深层次变化特征的工具。我们定义了二阶导数和 $n$ 阶导数，并探讨了它们在物理学中与加速度和角加速度的关系。隐函数求导法被详细介绍，用于处理那些不易或无法明确表达为 $y=f(x)$ 形式的关系式，例如圆锥曲线的方程，这对于理解多变量函数（在后续内容中提及）的微分至关重要。 第五章：导数的应用与中值定理 这是理论与实践结合最紧密的一章。我们从几何角度证明了罗尔定理，并以此为基础推导出拉格朗日中值定理（均值定理）。中值定理是理解导数平均值与瞬时值之间关系的核心。随后，我们应用导数研究函数的单调性、极值点和凹凸性，并利用洛必达法则解决极限问题。本章的实践部分包括：使用导数进行函数图像的精确描绘，以及在物理学和经济学中建立优化模型（如最小成本、最大利润问题）。 第三部分：积分学——累积与求和 积分学是与微分学相对立的概念，它关注的是积累总量。本部分从黎曼和的直观概念出发，建立定积分和不定积分的理论框架。 第六章：定积分的构造与性质 本章首先介绍定积分的几何意义——曲边梯形的面积。我们严格定义了黎曼和，并阐述了定积分存在的条件（如连续函数的可积性）。定积分的线性性质、保序性以及区间可加性被详细阐述。我们着重讨论了牛顿-莱布尼茨公式的推导过程，该公式揭示了微分学与积分学的深刻联系，是微积分学的核心定理。 第七章：积分的计算方法 计算积分是应用微积分的关键技能。本章系统性地介绍了积分学的“工具箱”，包括：换元积分法（反向应用链式法则）、分部积分法（反向应用乘法定律）以及有理函数的积分（通过部分分式分解）。本章提供了大量结构复杂的例题，旨在训练读者识别并选择最有效的积分技巧。 第八章：积分的应用 本章展示了定积分在求解几何量和物理量中的强大威力。我们不仅计算了平面图形的面积，还扩展到更复杂的应用，如旋转体的体积（圆盘法和壳层法）、曲线的弧长，以及物理学中功、质心和转动惯量的计算。这些应用案例旨在强化读者将实际问题转化为积分表达式的能力。 第九章：反常积分与级数初步 本章是对积分学领域的扩展。我们介绍了反常积分（广义积分），处理积分区间无限或被积函数存在奇点的积分，并讨论了其收敛性判据。最后，我们引入了无穷级数的概念，作为连接积分学与后续更高级数学分析的桥梁，初步探讨了级数的收敛性问题，为理解泰勒展开式埋下伏笔。 本书的特色在于大量的几何解释和跨学科的实例分析，确保读者不仅“知道如何计算”，更能“理解为何如此”。我们避免了在初级阶段引入多变量函数或向量微积分的复杂性，专注于夯实一元函数微积分的理论基础和应用深度。

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