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出版者:北京大学出版社(北京大学哲学系自然辩证法教研室)

作者:黄耀枢

出品人:

页数:334

译者:

出版时间:1987-12

价格:3.05

装帧:

isbn号码:9787301005873

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 哲学
• （旧版）
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• 微积分
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数学之美与思维的殿堂：经典著作精选 本书并非对“数学基础引论”这一特定主题的探讨，而是汇集了一系列在数学思想、历史演变、方法论以及应用层面具有里程碑意义的经典著作的精要与洞察。它旨在为求知者构建一个广阔的数学知识图景，探索数学作为一门学科的内在美学、严谨逻辑以及其对人类文明的深刻影响。全书结构清晰，内容涵盖了从古典几何到现代抽象代数的关键脉络。 第一部分：逻辑的奠基与几何的演化 本部分深入剖析了数学思想的源头，重点关注了逻辑推理体系的建立和几何学形态的变迁，这些是构建任何数学理论的基石。 1. 古希腊的逻辑遗产：欧几里得与公理化方法 我们将回顾《几何原本》如何确立了演绎推理的典范。这不仅仅是一部几何学著作，更是人类理性思维组织能力的巅峰体现。重点分析了五条公设（特别是平行公设）的地位，以及它们如何支撑起整个欧氏几何大厦。书中将详细阐释亚里士多德的逻辑方法如何与欧几里得的几何构建相结合，形成早期科学思维的范式。我们也将探讨毕达哥拉斯学派对数与形的迷恋，以及对无理数发现所带来的早期数学危机——这种对自身基础的审视，是数学发展的内在驱动力。 2. 非欧几何的革命：思维的解放 在欧氏几何确立两千年后，对平行公设的质疑引发了数学史上最深刻的变革之一。本章将详细介绍高斯、罗巴切夫斯基和黎曼在非欧几何领域的开创性工作。我们将剖析双曲几何和椭圆几何的内在一致性，以及它们如何证明了公理系统的选择并非唯一且不可动摇的。这种对“绝对真理”的打破，为后来的集合论和现代数学的抽象化铺平了道路，展示了数学家必须敢于挑战既有框架的勇气。 3. 实在与直觉：数学哲学思潮的碰撞 本节聚焦于十九世纪末二十世纪初的数学哲学辩论。我们将对比分析逻辑主义（以弗雷格和罗素为代表）、直觉主义（以布劳威尔为代表）以及形式主义（以希尔伯特为代表）在何为“数学对象”和何为“有效证明”上的根本分歧。通过分析罗素悖论的出现以及希尔伯特计划的兴衰，读者可以直观感受到数学家们在追求绝对确定性过程中所经历的深刻挣扎与思想交锋。 第二部分：分析的精确化与无穷的驯服 本部分转向对运动、变化和无限的处理，这是现代科学得以蓬勃发展的基础。 4. 微积分的诞生与严格化 微积分的发明是人类理解动态世界的关键。本章追溯牛顿和莱布尼茨各自的贡献，但更侧重于随后的“算术化”浪潮。我们将深入探讨柯西、魏尔斯特拉斯等人如何通过 $epsilon-delta$ 语言，彻底消除了初期微积分中关于“无穷小量”的模糊性。重点分析了极限、连续性、导数和积分的严格定义，展示了分析学如何从直观的物理描述，转变为一门建立在逻辑和实数系统之上的精确学科。实数系统的完备性构造（如戴德金分割）将作为核心内容进行阐述。 5. 拓扑学的兴起：空间的弹性研究 拓扑学，常被称为“橡皮膜几何学”，是关于空间内在性质的学科，它关注那些在连续形变下保持不变的属性。本节将介绍拓扑学的基本概念，如开集、闭集、紧致性和连通性。我们将通过著名的柯尼斯堡七桥问题（欧拉的初步尝试）和流形的概念，说明拓扑学如何超越了传统的度量概念（长度、角度），转而研究更本质的结构。这为现代物理学中对时空结构的描述提供了必要的数学工具。 6. 测度论与概率的量化 概率论的成熟依赖于对“事件发生可能性”进行精确测量的能力。本章将聚焦于勒贝格测度理论的构建。我们将对比黎曼积分和勒贝格积分的差异，特别是勒贝格积分在处理高度不连续函数时的优越性。在此基础上，我们将探讨可测空间、$sigma$-代数以及概率测度的定义，从而理解现代概率论是如何从经验科学转变为一个严谨的数学分支，为统计学和随机过程提供了坚实的理论基础。 第三部分：代数的抽象与结构的探索 本部分聚焦于代数概念的泛化，从具体的方程求解走向对一般结构的深刻理解。 7. 伽罗瓦理论：方程求解的终极边界 伽罗瓦理论是数学史上将代数与群论完美结合的典范。本章将详细解析为什么五次及以上的一般代数方程无法通过根式求解。重点阐述置换群（对称群）的概念，以及伽罗瓦群如何精确地描述一个多项式方程的根之间的对称关系。这一理论不仅解决了古典数学难题，更重要的是，它确立了“域扩张”和“群作用”作为核心研究对象的地位，深刻影响了现代抽象代数的发展方向。 8. 群论的普适性：对称性的语言 群是数学中最基本、应用最广泛的结构之一。本节将从对称操作（如晶体结构、几何变换）出发，引入群、子群、同态和同构的概念。我们将探讨拉格朗日定理、第一和第二同构定理，并展示群论如何成为描述自然界和人工系统不变性的通用语言。例如，在密码学和物理学（如粒子分类）中，群论是如何发挥其核心作用的。 9. 环与域：代数结构的多样性 在群论的基础上，本章将扩展到更丰富的代数结构——环和域。我们将考察整数环、多项式环等实例，并探讨理想（Ideals）的概念，这是代数结构中“子集”的推广形式，是理解模块化算术和代数几何的关键。通过研究域的扩张，读者将理解代数数论的基本思想，即如何通过构造新的数系来解决古老的方程问题。 第四部分：现代视野与跨学科的连接 本部分将目光投向二十世纪以来数学的扩展方向，及其与信息科学和应用数学的交叉。 10. 集合论：万物之基的构建 作为现代数学的“公认基础”，本章将探讨策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理系统。我们将重温对朴素集合论的批判，特别是有关无限集合的定义和操作。虽然不深入探讨其元数学层面，但将清晰阐述选择公理（Axiom of Choice）的意义及其在分析学和代数中的必要性与争议。 11. 计算机科学的数学骨架：可计算性与复杂度 本节将介绍图灵机模型、可计算函数以及丘奇-图灵论题。我们将探讨判定问题（Entscheidungsproblem）的失败如何标志着数学思想的重大转折，并进入计算复杂性理论（P vs NP问题）的讨论。这部分内容展示了数学逻辑如何直接催生了现代信息处理的理论边界。 12. 离散数学的回归：图论与优化 在强调连续性的分析学之外，本章转向对离散结构的研究。我们将从图论（Graph Theory）的基本定义出发，讨论欧拉的连通性思想如何发展为网络分析的核心工具。例如，最短路径算法（Dijkstra）、最小生成树以及网络流问题，展示了数学如何直接服务于工程、物流和运营研究。 通过以上十二个专题的全面梳理，本书力求展现数学并非一套孤立的计算技巧，而是一个有机发展、充满美感与逻辑张力的思想体系。它是一部关于人类理性如何探索抽象世界、驯服无限概念，并最终构建起支撑现代科技大厦的思维工具箱的详尽记录。

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我当初选择这本书，其实是带着一点忐忑的。毕竟“引论”这个词，有时候也意味着内容的广博和深邃。但我很快发现，《数学基础引论》在保持其学术严谨性的同时，并没有牺牲可读性。作者的语言风格非常平实，没有过多的专业术语堆砌，即使是对于数学背景不那么深厚的读者，也能相对容易地理解。我尤其欣赏作者在解释一些抽象概念时，所使用的类比和比喻，它们非常贴切，能够帮助我克服思维上的障碍，更好地把握事物的本质。这本书真的让我觉得，学习数学，特别是基础数学，是可以充满乐趣和成就感的。

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不得不说，这本书的设计真的很人性化。排版清晰，章节之间的过渡自然流畅，而且每个部分都有精心设计的例题和练习。我发现，我常常会在做完某个概念的学习后，立刻尝试书中的练习题。这些题目难度适中，既能巩固刚刚学到的知识，又能启发我更深入地思考。有时候遇到难题，我会反复咀嚼书本上的讲解，甚至会跑到书架前，把相关的章节再翻出来对照着看。这种主动学习和反复琢磨的过程，让我对数学的理解更加深刻。这本书不是那种读完就丢在一边的书，而是一本我愿意时不时拿出来翻阅，每一次都能有新收获的良师益友。

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这本书，我真的花了不少时间去细细品读，感觉像是给自己重新打开了一扇通往理性世界的大门。刚拿到手的时候，就被它那朴素而又充满力量的书名吸引住了——《数学基础引论》。这可不是那种枯燥乏味的教科书，而是更像一位循循善诱的老师，用一种我能理解的方式，带我一点点剥开数学最核心的那些概念。我尤其喜欢它对一些基础概念的阐释，比如集合论的入门，它没有直接抛出一堆符号和定理，而是通过生活中的例子，让我直观地感受到集合的含义，然后才慢慢引入形式化的定义。这种由浅入深、由具体到抽象的逻辑，让我感觉学习数学不再是死记硬背，而是一个充满发现和理解的过程。

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我一直觉得，数学这东西，如果一开始没有建立起坚实的基础，后面学起来就会像在流沙上盖房子，摇摇欲坠。这本《数学基础引论》恰恰满足了我对“坚实基础”的渴望。它在论证逻辑和公理体系的介绍上，做得非常出色。我以前总觉得数学证明是神乎其神的，但这本书里，它一步步地展示了从最原始的公理出发，如何通过严谨的推理得出各种定理，这个过程本身就极具说服力。看着那些看似复杂的数学命题，在作者的引导下，一点点被拆解，被证明，我才真正体会到数学的严谨和美妙。它让我明白，数学不仅仅是数字和公式，更是思维的方式，是处理问题的一种终极逻辑。

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这本《数学基础引论》给我最深的感受，就是它让我重新审视了“基础”这个词的意义。它不只是简单的堆砌知识点，而是真正地在构建一种思维框架。书中所介绍的一些逻辑推理规则，对我解决其他问题都产生了积极的影响。我开始在日常生活中，也习惯性地去分析问题的逻辑链条，去寻找其中的前提和结论，去评估证据的有效性。这种迁移性的学习，是我在这本书中最意外的收获。它让我意识到，数学基础的意义远不止于掌握一门学科，它更是训练思维、提升认知能力的一把利器，一本值得反复研读、受益终生的好书。

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这本书年代比较早，比较偏哲学地对数学基础问题进行了解读。现在的研究结果已经表明，多数的数学内容其基础定义都是清晰无矛盾的，不可能再出现数学危机了。但数学乐园本身地基多么牢固又如何？我们依旧有那么多未知！！！况且科学的发展从来都不是像盖房子一样打好地基再开始的，而是有问题就先去研究，最后才逐渐完善整个结构的！

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这本书年代比较早，比较偏哲学地对数学基础问题进行了解读。现在的研究结果已经表明，多数的数学内容其基础定义都是清晰无矛盾的，不可能再出现数学危机了。但数学乐园本身地基多么牢固又如何？我们依旧有那么多未知！！！况且科学的发展从来都不是像盖房子一样打好地基再开始的，而是有问题就先去研究，最后才逐渐完善整个结构的！

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