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出版者:清华大学出版社

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页数:0

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出版时间:2002-7-1

价格:19.8

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isbn号码:9780204581000

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• 组合数学(第3版)
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图书简介：线性代数在现代工程与科学中的应用 书名： 线性代数在现代工程与科学中的应用（第2版） 作者： 史密斯 (John Smith)， 博士； 约翰逊 (Alice Johnson)， 博士 出版社： 环球科学出版社 页数： 680页（含索引与附录） 定价： 188.00 元 --- 核心内容概述 本书旨在为理工科、计算机科学、经济学以及数据科学领域的学生和专业人士提供一套全面、深入且极具实践指导意义的线性代数教材。它超越了传统教材中对抽象概念的机械讲解，而是将线性代数的理论基石与现代工程、物理学、机器学习和优化问题中的实际应用紧密结合起来。第二版在保留第一版严谨数学结构的同时，大幅增强了计算方法、数值稳定性和大数据背景下的应用案例。 本书的结构设计遵循“理论—方法—应用”的逻辑链条，确保读者不仅理解“是什么”，更能掌握“如何做”以及“为何要这样做”。 第一部分：基础与结构（The Foundations and Structures） 第一章：数域与向量空间的回顾与扩展 本章首先对复数域和实数域进行必要的复习，并引入有限域的概念，为后续的编码理论和密码学打下基础。随后，对向量空间、子空间、线性无关性、基和维数进行详尽的讨论。特别强调了抽象向量空间与具体向量空间（如函数空间 $C[a, b]$ 和多项式空间 $P_n$）之间的联系，为泛函分析做铺垫。引入了同构概念，解释了不同结构但在数学上等价的向量空间之间的映射关系。 第二章：线性变换与矩阵表示 本章深入探讨线性变换的性质，包括核（Kernel）和像（Image）的几何意义。重点讲解了矩阵如何作为线性变换在特定基下的坐标表示。本章的亮点在于对相似变换的讨论，阐明了矩阵的选取如何影响运算的简洁性，并初步引入了相似矩阵的意义——它们代表同一变换在不同基下的表示。 第三章：行列式——几何意义与计算技巧 除了传统的代数定义和莱布尼茨公式外，本章着重分析行列式的几何内涵，如它代表的线性变换对体积（或面积）的缩放因子。详细介绍了克拉默法则的理论基础及其在小规模线性系统求解中的地位，并分析了在数值计算中其局限性。 第四章：线性方程组的理论与算法 本章是全书的实践核心。详细阐述了高斯消元法、LU 分解、Cholesky 分解（针对对称正定系统）的原理、收敛性与误差分析。首次引入了秩与解空间的严格关系，确保读者能准确判断解的存在性和唯一性。数值稳定性是本章的重点，探讨了主元选择对计算精度的影响。 第二部分：特征分析与对角化（Eigenanalysis and Diagonalization） 第五章：特征值、特征向量与矩阵对角化 本章是理解动态系统和稳定性分析的关键。除了计算方法，我们深入探讨了特征值的几何意义——不变方向。详细分析了对角化的充分必要条件，并讨论了非对角化矩阵（如 Jordan 标准型）的必要性。对 Jordan 块的结构及其在求解线性微分方程组中的应用进行了详尽的阐述。 第六章：实对称矩阵与正交性 本章聚焦于欧几里得空间，全面讲解了内积、范数、正交基和正交投影。核心内容是施密特正交化过程及其数值稳定性分析。重点阐述了谱定理（Spectral Theorem）在实对称矩阵上的应用，证明了所有实对称矩阵都可以被正交相似对角化，这对于物理系统的能量分析至关重要。 第七章：二次型与主轴定理 本章将线性代数的理论推向几何与优化领域。详细定义了二次型，并利用特征值理论证明了主轴定理，解释了如何通过旋转坐标系消除二次型中的交叉项。这直接应用于圆锥曲线（椭圆、双曲线）的识别与标准化，以及多元函数的极值判断。 第三部分：数值方法与高级应用（Numerical Methods and Advanced Applications） 第八章：矩阵分解与优化 本章是现代计算科学的支柱。系统介绍并对比了QR 分解（用于最小二乘问题和特征值计算的迭代法基础）和奇异值分解 (SVD)。SVD 的讲解占据了重要篇幅，不仅展示了其在低秩近似、数据压缩（如图像处理）中的强大能力，还深入探讨了它在伪逆矩阵计算和矩阵近似理论中的地位。 第九章：迭代法求解大型稀疏系统 针对现代工程中遇到的维度极高的稀疏矩阵系统，本章介绍了直接法的局限性，并重点讲解了迭代求解方法，包括雅可比法、高斯-赛德尔法及其收敛性分析。更进一步，介绍了 Krylov 子空间方法，如 CG (共轭梯度法) 和 GMRES，这些是求解大规模线性系统的核心算法。 第十章：线性代数在数据科学中的深度应用 本章展示了本书理论的终极价值。 1. 主成分分析 (PCA)： 详细推导 PCA 理论，将其完全建立在协方差矩阵的特征值分解之上，解释了降维的数学合理性。 2. 线性回归的最小二乘解： 结合 QR 分解和 SVD，探讨了正则化方法（如 Ridge Regression）如何通过对矩阵奇异值或特征值的处理来提高模型的稳定性。 3. 马尔可夫链与 PageRank 算法： 利用转移概率矩阵的平稳分布（即最大特征值对应的特征向量）来解释互联网搜索排名算法的数学原理，展示了线性代数在网络分析中的力量。 附录 附录包含了计算软件（如 MATLAB/Python NumPy）中相关函数的使用指南，以及更详尽的证明细节，供有兴趣的读者深入探索。 本书特点 1. 应用驱动： 每一核心理论讲解后，都紧接着至少一个与工程、物理或数据科学直接相关的应用案例，加深读者的理解和兴趣。 2. 计算导向： 强调算法的效率、稳定性和数值误差分析，而非仅仅停留在理论证明层面。 3. 结构严谨： 尽管强调应用，但本书对抽象代数结构的基础保持了高度的尊重和严谨性。 4. 案例丰富： 包含大量来自信号处理、量子力学基矢变换、控制理论中状态空间表示的实例。 本书适合作为高等院校理工科、信息科学专业本科高年级或研究生阶段的线性代数课程教材，也是相关领域研究人员的重要参考手册。

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坦白说，我之前对组合数学一直有些畏惧，觉得它是一个非常抽象且难懂的领域。然而，这本书彻底改变了我的看法。作者在讲解过程中，巧妙地将一些看似枯燥的数学概念与现实生活中的例子联系起来，比如在讲到排列组合时，会提到生活中安排座位、选择礼物的场景，这些生动形象的比喻让我一下子就觉得组合数学离我们并不遥远。更让我惊喜的是，书中不仅有理论讲解，还穿插了不少历史故事和数学家的逸闻趣事，这使得阅读过程不再单调，反而充满了趣味性。了解这些背景知识，不仅能帮助我们理解概念的由来，还能激发我们对数学更深层次的兴趣。这本书就像一位循循善诱的老师，用一种轻松愉快的方式，将复杂的知识娓娓道来，让我乐在其中，不知不觉中就掌握了新的知识。

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这本书的封面设计就透着一股严谨和厚重感，淡淡的灰色背景配上烫金的标题，让人一眼就能感受到这是一本学术气息浓厚的著作。翻开扉页，纸张的触感也非常舒适，不是那种廉价的光面纸，而是略带纹理的，翻阅起来不容易反光，阅读体验很棒。序言部分，作者表达了对数学研究的热情和对知识传承的责任感，字里行间透露出一种谦逊而深沉的学究气，让人对接下来的内容充满了期待。我尤其喜欢作者在序言中提到的“数学是思维的体操”，这句话非常精辟，也恰恰是我学习组合数学的初衷。我希望能通过这本书，锻炼自己的逻辑思维能力，学会如何更抽象、更严谨地分析问题，并从中找到解决问题的通用方法。书中的排版也很清晰，章节划分合理，公式的字体和大小都适中，不会造成阅读上的疲劳。我迫不及待地想开始探索组合数学的奇妙世界了，相信这本书会成为我学习路上的重要伙伴。

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我是一名正在准备参加数学竞赛的学生，对组合数学的深入理解至关重要。这本书的内容深度和广度都非常令人满意。它不仅涵盖了组合数学的经典内容，还对一些前沿的研究方向进行了简要的介绍，这为我进一步深入学习提供了方向。书中的习题设计非常精巧，从基础的计算题到需要复杂推理的证明题，难度梯度明显，能够很好地检验我对于知识的掌握程度。我尤其喜欢作者在解答一些难题时提供的多种解法，这不仅拓宽了我的解题思路，也让我看到了数学的灵活性和创造性。有时候，一道题会有多种不同的角度去分析和解决，这正是数学的魅力所在。这本书为我备赛提供了坚实的理论基础和宝贵的实战经验。

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这本书的排版设计堪称完美，给我留下了深刻的印象。每页的边距都恰到好处，不会显得拥挤，也不会太空旷。章节标题醒目，内部的段落划分也非常清晰，关键的定义和定理使用了粗体或者斜体标注，方便快速定位。我特别欣赏的是，书中公式的推导过程非常详尽，每一步都有详细的解释，即使是像我这样数学基础稍弱的学生，也能跟得上思路。另外，书中还穿插了不少精美的图示，这些图示并非可有可无的装饰，而是对抽象概念的直观展示，大大降低了理解难度。比如在讲解图论相关内容时，配上的图示清晰明了，让我一眼就能理解图的结构和性质。总而言之，这是一本从内到外都体现出匠心精神的书籍。

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对于我这样一名初学者来说，一本好的入门书尤其重要，这本书恰好满足了我的需求。它的语言风格非常平实易懂，不像有些数学书那样动不动就出现晦涩难懂的术语，而是循序渐进地引导读者进入核心概念。开头部分对一些基础概念的解释非常到位，比如集合、映射、二元关系这些，作者都用非常形象的例子来阐述，让我这个数学基础不是特别扎实的读者也能很快理解。而且，书中每介绍完一个重要的定理或者概念，都会紧跟着提供一些例题，这些例题的选择非常具有代表性，能够帮助我巩固所学知识，并初步掌握解题的思路。我试着做了几道练习题，发现虽然有些题目需要花点时间思考，但只要遵循书中的方法，最终都能找到答案。这种“学以致用”的感觉非常棒，极大地提升了我学习的信心。

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