Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Princeton University Press

作者:Elias M. Stein

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:1971-11-1

价格:USD 110.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691080789

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• analysis
• Fourier分析
• Fourier
• 数学分析7
• 数学分析
• 分析
• stein
• Fourier Analysis
• Harmonic Analysis
• Euclidean Spaces
• Mathematical Analysis
• Functional Analysis
• Partial Differential Equations
• Probability
• Signal Processing
• Wavelets
• Orthogonal Functions

欧几里得空间上的傅里叶分析导论 这是一本为数学、物理、工程以及其他需要深入理解波动现象、信号处理和偏微分方程的领域的研究者和学生量身定制的入门读物。它旨在为读者提供一个坚实的基础，理解傅里叶分析这一强大而普适的数学工具在欧几里得空间中的应用。本书不局限于单一的视角，而是融合了实变函数论、泛函分析以及几何学的思想，力求展现傅里叶分析的丰富内涵与深刻洞察。 本书的结构设计精巧，层层递进，从最基本的概念出发，逐步深入到更复杂的理论和应用。我们首先会从傅里叶级数在紧凑群，尤其是周期性函数上的概念入手，这为理解傅里叶变换奠定了直观的基础。读者将学习到如何将周期性信号分解为一系列简单的正弦和余弦波的叠加，理解其在信号分析、热传导等问题中的直接联系。 随后，我们将视角从离散的周期性函数拓展到整个欧几里得空间，引入傅里叶变换的概念。读者将深入理解傅里叶变换如何将一个函数从时域（或空间域）转换到频域，揭示其内在的频率成分。本书将详细探讨傅里叶变换的基本性质，包括线性性、平移不变性、尺度变换、卷积定理以及帕塞瓦尔定理等。这些定理是傅里叶分析的核心，它们使得许多原本难以处理的问题变得更加简洁和直观。例如，卷积定理在信号滤波和系统响应分析中扮演着至关重要的角色，它表明在频域中，两个函数的卷积等价于它们在频域上对应函数简单相乘。 本书的一个重要特色在于，它不仅仅停留于抽象的数学定义，而是通过大量的例子和应用来阐释理论。读者将看到傅里叶变换如何在解决偏微分方程，如热方程、波动方程和拉普拉斯方程等问题中发挥关键作用。通过傅里叶变换，这些偏微分方程可以被转化为更易于求解的常微分方程或代数方程，极大地简化了分析过程。此外，本书还将触及傅里叶分析在图像处理中的应用，例如图像的傅里叶变换可以揭示图像的纹理和结构信息，进而实现滤波、去噪和压缩等操作。 为了使读者对傅里叶分析的数学结构有更深刻的认识，本书还借鉴了泛函分析的语言。我们将引入 $L^1$ 和 $L^2$ 空间的定义，并探讨傅里叶变换在这些空间中的行为。特别是，我们将详细研究傅里叶变换如何将 $L^2$ 空间中的函数映射到另一个 $L^2$ 空间，并证明其酉性。这不仅加深了对傅里叶变换性质的理解，也为更高级的傅里叶分析理论，如傅里叶积分的收敛性、以及在抽象群上的傅里叶分析打下了基础。 本书的另一亮点在于对欧几里得空间性质的充分利用。我们将利用多维欧几里得空间的几何特性来推广一维傅里叶分析。例如，我们将详细讨论多维傅里叶变换的定义、性质以及与张量代数、球谐函数等概念的联系。这对于理解在三维空间中的物理现象，如电磁波的传播、声波的散射等至关重要。 在讨论理论的同时，本书也十分注重数学的严谨性。我们将提供详细的证明，引导读者理解每一个结论的来源。对于初学者可能遇到的困难，我们会提供额外的解释和提示。例如，在引入傅里叶变换的定义时，我们会详细讨论积分的收敛性问题，并介绍一些重要的性质，如下降条件（decay condition），以保证傅里叶变换的良好定义。 除了标准的傅里叶变换，本书还将探讨一些相关的概念，如傅里叶级数的收敛性（逐点收敛、平均收敛、一致收敛），以及傅里叶变换的逆变换。我们会讨论不同条件下逆变换存在的充分必要条件，并展示如何利用逆变换从频域信息恢复原始信号。 本书还可能涉及一些更高级的主题，例如： 分布理论（Distribution Theory）：这是理解某些广义函数，如狄拉克 $delta$ 函数的傅里叶变换的数学框架。例如，狄拉克 $delta$ 函数的傅里叶变换是一个常数，这在物理学中有着重要的应用。 卷积定理的进一步应用：除了基础信号处理，卷积定理在概率论（特征函数）、统计学（卷积分布）等领域也有着广泛的应用。 采样理论：介绍奈奎斯特-香农采样定理，解释在离散化信号时，如何避免混叠（aliasing）失真，并重建原始连续信号。这对于数字信号处理至关重要。 傅里叶分析在某些特定函数空间中的性质：例如，在 Schwartz 空间（缓增函数空间）上，傅里叶变换是保持这个空间闭合的一个重要算子。 为了方便读者学习，本书将包含大量的例题和习题。例题将详细展示如何运用所学的知识解决具体问题，而习题则旨在巩固读者的理解并鼓励他们独立思考。这些习题的难度会从易到难，覆盖了从基本概念的检验到更具挑战性的证明和应用。 本书的最终目标是让读者能够自信地运用傅里叶分析的工具来分析和解决实际问题。通过掌握傅里叶分析，读者将获得一种全新的视角来审视数学、物理和工程中的各种现象，并能够更深入地理解它们的内在结构和规律。这本书将是一次充满启发的学习旅程，为读者打开通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

我最欣赏这本书的一点，在于其对几何直观的强调，这在通常偏向代数推导的分析著作中是比较少见的。当读到关于傅里叶级数在$L^2$空间上的收敛性时，作者并没有止步于抽象的范数收敛证明，而是花了相当大的篇幅去探讨狄利克雷核（Dirichlet Kernel）的性质，特别是它在“吉布斯现象”（Gibbs Phenomenon）中所扮演的角色。那种对局部性质的深刻洞察，让我对傅里叶展开的“局限性”有了更清晰的认识——它不是万能的，但其局限性本身也蕴含着深刻的数学信息。阅读过程中，我常常停下来，拿起笔在一旁的草稿纸上试图重现书中的图示，想象那些三角函数如何像乐高积木一样，精确地拼凑出不连续的方波，而每当“过冲”出现时，那种视觉上的冲击力远胜于任何纯粹的数学符号推导。这本书真正做到了“形神兼备”，让读者不只是记住公式，而是真正“看到”了数学的运动轨迹。

评分☆☆☆☆☆

从装帧和排版的角度来看，这本书也体现了出版方的专业态度。纸张的选择偏向哑光，长时间阅读下来眼睛的疲劳感明显低于那些使用高光纸的教材。更重要的是，公式的排版极其清晰，字体选择和间距处理都非常合理，这在处理复杂的积分符号和上下标时尤为重要，大大减少了阅读时的误读风险。在提及特定的例子或定理时，作者经常会用小小的脚注或旁注来引用相关的前沿文献或历史背景，这为那些希望继续深挖特定主题的读者提供了宝贵的线索。总而言之，这是一本真正为数学学习者精心打磨的作品，它不仅是一门学科的入门指南，更像是一份严谨而优美的数学探险地图，指引着我们在欧氏空间上，探索傅里叶分析的深邃奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计绝对是教科书级别的典范，它们绝非简单的公式代换练习，而是真正考验理解深度的“试金石”。许多习题都是巧妙地将理论知识点与实际应用场景相结合，比如关于卷积在扩散方程求解中的作用，或者如何利用傅里叶逆变换来分析一些周期性边界条件下的物理问题。有些挑战性的习题，如果没有彻底理解前文的某个关键引理，是根本无法下手的。我花了大量时间在攻克那些带有星号标注的难题上，虽然过程充满挫折，但每次最终得出结论时，那种智力上的满足感是无与伦比的。这种设计迫使读者必须主动地去“创造性地”使用所学知识，而不是被动地接收信息。它有效地将“学习”转化为了“掌握”，真正培养了独立解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

对于那些已经有一定基础，希望深入研究调和分析方向的研究者来说，这本书的价值同样不可估量。它在后半部分对$R^n$上的傅里叶变换的推广，特别是索伯列夫空间（Sobolev Spaces）的引入和相关的嵌入定理的讨论，处理得极为精炼和有力。很多教材在涉及到这些高阶概念时，往往会显得仓促，公式堆砌，缺乏必要的背景铺垫。但本书在这里展现了极高的学术水准，它清晰地阐明了为什么我们需要更广义的导数概念，以及它们如何帮助我们解决更复杂的偏微分方程问题。我特别喜欢它在证明过程中所展现出的数学美感——每一步逻辑的衔接都如同精密的机械咬合，没有丝毫冗余。阅读这些章节时，我感到自己仿佛站在一个高处，俯瞰着整个欧氏空间上分析工具的全景图，那些原本分散的知识点此刻完美地汇聚成了一个统一的理论体系。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是点睛之笔，深邃的蓝色调中隐约可见一些抽象的数学图形，一下子就把人带入了一种既严谨又充满探索欲的氛围。我是在一位数学系教授的推荐下翻开它的，当时我对傅里叶分析的直观理解还停留在信号处理的层面，总觉得那些复杂的积分和变换符号高高在上，遥不可及。然而，这本书的开篇并没有急于抛出那些令人望而生畏的定理，而是用一种非常平易近人的方式，从欧几里得空间这一坚实的基础出发，细致地搭建起了分析的脚手架。特别是关于内积空间和希尔伯特空间的引入，它不像其他教材那样冷冰冰地罗列定义，而是巧妙地融入了物理学的直觉，比如波函数的正交性，这让抽象的概念瞬间变得鲜活起来。作者在讲解基础概念时的耐心程度令人印象深刻，仿佛身边有一位经验丰富的导师，随时准备解答你每一个“为什么”。对于初学者而言，这种由浅入深的引导至关重要，它极大地降低了进入高等数学殿堂的心理门槛，让人在不知不觉中，就已经掌握了构建后续复杂理论所必需的全部“砖块”。

评分☆☆☆☆☆

这辈子活在Stein的阴影中！

评分☆☆☆☆☆

这辈子活在Stein的阴影中！

评分☆☆☆☆☆

这辈子活在Stein的阴影中！

评分☆☆☆☆☆

这辈子活在Stein的阴影中！

评分☆☆☆☆☆

这辈子活在Stein的阴影中！