Elliptic Functions pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Serge Lang

出品人:

页数:355

译者:

出版时间:1987-5-26

价格:USD 98.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387965086

丛书系列:

图书标签:

数学
解析数论7
椭圆曲线
数论
number_theory
数学
椭圆函数
复分析
高等数学
函数论
数学分析
代数几何
数论
应用数学
数学物理

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具体描述

Elliptic functions parametrize elliptic curves, and the intermingling of the analytic and algebraic-arithmetic theory has been at the center of mathematics since the early part of the nineteenth century. The book is divided into four parts. In the first, Lang presents the general analytic theory starting from scratch. Most of this can be read by a student with a basic knowledge of complex analysis. The next part treats complex multiplication, including a discussion of Deuring's theory of l-adic and p-adic representations, and elliptic curves with singular invariants. Part three covers curves with non-integral invariants, and applies the Tate parametrization to give Serre's results on division points. The last part covers theta functions and the Kronecker Limit Formula. Also included is an appendix by Tate on algebraic formulas in arbitrary charactistic.

椭圆函数：解析数学的璀璨明珠引言在数学的浩瀚星空中，椭圆函数以其独特的魅力和深远的意义，占据着不可忽视的地位。它们不仅是数论、代数几何、复分析等多个数学分支的核心工具，更是连接理论研究与实际应用（如物理学、工程学）的重要桥梁。本书《椭圆函数》旨在带领读者深入探索这一迷人领域，从基础概念出发，逐步揭示椭圆函数背后深刻的数学结构与优美性质。本书并非对已有研究成果的简单堆砌，而是力求以清晰的逻辑、严谨的证明和富有启发性的视角，帮助读者建立起对椭圆函数完整的理解体系。第一部分：椭圆函数的基础与起源本书的开篇，我们将回顾椭圆函数产生的历史背景。许多重要的数学概念往往诞生于解决具体的数学问题。椭圆函数也不例外，它们最初源于计算椭圆周长的积分——一个看似简单的几何问题。我们将详细介绍这一历史进程，包括早期数学家们在处理这类积分时遇到的困难，以及最终催生出椭圆函数的关键洞察。随后，我们将正式引入椭圆函数的定义。与我们熟悉的三角函数（如正弦、余弦）不同，椭圆函数是周期函数的一种更一般形式，它们具有两个独立的周期。我们将从定义出发，详细探讨椭圆函数的几个基本类型，例如雅可比椭圆函数（Jacobi elliptic functions）及其与传统三角函数和双曲函数的关系。我们将精确地定义这些函数，并通过几何直观和代数计算来理解它们的性质，例如它们的周期性、对称性以及它们在复平面上的分布。本部分还将深入讨论椭圆积分（elliptic integrals）。这些积分是椭圆函数的天然“原型”，理解它们的性质是理解椭圆函数的关键。我们将介绍第一类、第二类和第三类不完全椭圆积分，并探讨它们与椭圆函数之间的相互关系。通过对这些积分的分析，读者将能够更深刻地理解椭圆函数的“起源”和“本质”。第二部分：椭圆函数在复数域中的行为椭圆函数的真正力量在复数域中得以充分展现。本书将详细研究椭圆函数在复平面上的性质。我们将引入“周期平行四边形”的概念，并以此来理解椭圆函数的周期性。通过绘制函数在复平面上的图像，读者将直观地感受到椭圆函数的周期性以及它们在复平面上的“网格状”分布。一个至关重要的工具是“魏尔斯特拉斯椭圆函数”（Weierstrass elliptic functions），通常记作 $wp(z; g_2, g_3)$。我们将详细阐述魏尔斯特拉斯函数是如何构造出来的，以及它与雅可比椭圆函数之间的转换关系。魏尔斯特拉斯函数在数学和物理学中扮演着核心角色，我们不仅会研究它的基本性质（如极点、一阶导数、傅里叶展开），还会深入探讨它与模形式（modular forms）的深刻联系。本部分还将重点关注椭圆函数的加法定理。这些定理揭示了椭圆函数在函数值相加或相减时的运算规律，它们是椭圆函数最精妙的性质之一，也是其在各种数学应用中发挥作用的关键。我们将提供严谨的证明，并展示加法定理在解决代数方程、研究微分方程等问题中的实际应用。第三部分：椭圆函数的进阶理论与应用在掌握了椭圆函数的基础理论后，本书将进一步深入探讨更高级的主题。我们将会接触到“复乘”（complex multiplication）的概念。这是一个关于椭圆曲线与其自身模形式之间关系的深刻主题，它连接了数论和代数几何。我们将解释复乘的含义，并探讨其在构造特殊数的代数性质以及在数论中的应用。接着，我们将探讨椭圆函数在代数几何中的应用。椭圆函数是研究椭圆曲线（elliptic curves）的重要工具。椭圆曲线是满足特定三次方程的平面曲线，它们在密码学、整数分解等领域有着革命性的应用。本书将介绍椭圆曲线的基本概念，并详细阐述椭圆函数如何被用来参数化椭圆曲线上的点，以及如何利用椭圆函数的性质来研究椭圆曲线的群结构。本书还会涉及椭圆函数与其他数学领域（如theta函数、模方程）的联系。theta函数是与椭圆函数紧密相关的另一类重要函数，它们在数学物理和数论中都有广泛应用。我们将展示theta函数与椭圆函数的相互转换，以及它们在数论中的一些经典结果，例如平方和问题。在应用方面，本书将展示椭圆函数在物理学中的出现，例如在研究周期性势能中的运动、在解决一些积分问题时。虽然本书的侧重点在于数学理论，但适当的物理学背景介绍将有助于读者理解椭圆函数的实际意义和应用价值。结论《椭圆函数》力求成为一本全面、严谨且富有启发性的著作。我们相信，通过对本书内容的深入学习，读者将能够深刻理解椭圆函数这一数学工具的强大力量，并为进一步探索数论、代数几何、复分析以及相关应用领域打下坚实的基础。椭圆函数的美妙之处不仅在于其复杂的数学结构，更在于它们所揭示的数学世界中深刻的统一性和内在联系。本书希望能够点燃读者对这一璀璨数学明珠的探索热情。

作者简介

Serge Lang (May 19, 1927 – September 12, 2005) was a French-born American mathematician. He is known for his work in number theory and for his mathematics textbooks, including the influential Algebra. He was a member of the Bourbaki group.

Lang was born in Paris in 1927, and moved with his family to California as a teenager, where he graduated in 1943 from Beverly Hills High School. He subsequently graduated from the California Institute of Technology in 1946, and received a doctorate from Princeton University in 1951. He held faculty positions at the University of Chicago and Columbia University (from 1955, leaving in 1971 in a dispute). At the time of his death he was professor emeritus of mathematics at Yale University.

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实让人眼前一亮，那种深邃的墨蓝色调配上烫金的书名，散发出一种古典而又严谨的气息，拿在手里沉甸甸的，仿佛能感受到其中蕴含的数学真理的厚重感。我本来是抱着一种探寻纯粹数学之美的期待翻开它的，特别是对那些优美的函数图形和复杂的积分表达式充满好奇。然而，深入阅读后，我发现它并非是那种直白易懂的科普读物，它更像是为已经掌握了微积分和基础复变函数知识的同行准备的“内行读物”。作者在引入概念时，步伐略显仓促，许多关键的定义和引理之间的逻辑跳跃性很大，常常需要我频繁地查阅后文或前文的补充材料才能勉强跟上思路。特别是关于模函数的部分，公式的推导过程非常精炼，省略了大量中间步骤，这对于初学者来说无疑是巨大的挑战，我花了整整一个下午，才勉强理解了某个特定的拉马努金恒等式的几何意义。总的来说，这是一部内容深度足够，但对阅读者的预备知识要求极高的作品，它更适合作为进阶研究的参考手册，而非入门教程。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，更像是一场严酷的智力马拉松，它要求读者不仅要理解每一个符号的含义，更要能在脑海中构建出高维空间的几何直觉。作者的论证风格极其严谨，几乎找不到任何可以被挑剔的逻辑漏洞，每一步的推导都像是经过了最精密的原子级校准。我特别喜欢其中关于狄利克雷级数与椭圆函数之间关系的论述，那段文字的优雅程度，简直可以媲美一篇上佳的散文诗。然而，这种极致的严谨也带来了一个副作用：语言的表达有时显得过于晦涩和形式化。许多重要的结论在被正式证明之前，常常被包裹在厚厚的符号运算之下，使得读者很难一眼洞察其核心思想。我不得不承认，在尝试理解某些涉及复平面映射的定理时，我不得不借助外部的动态可视化工具辅助理解，否则仅凭书中的静态图示，实在难以把握函数沿着路径变化的细微差别。这可能意味着，这本书更偏向于纯数学证明的完备性展示，而非直观性的教学辅助。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量可以说达到了教科书级别的水准，纸张的选择很有质感，即便是长时间在灯下阅读，眼睛的疲劳感也相对较轻。我尤其欣赏作者在章节安排上的匠心独属，它将理论的建立过程组织得如同建筑的骨架搭建，层层递进，环环相扣。比如，它从雅可比的椭圆函数讲起，逐步过渡到魏尔斯特拉斯的函数，这种对比性的叙述方法，让读者能够清晰地辨识出不同数学体系下的同一类问题的处理路径和各自的优劣势。不过，我必须指出，书中对某些历史背景的介绍略显不足，虽然数学本身是抽象的，但理解这些函数是如何在物理学或几何学中被“发现”并“催生”出来的，对于激发学习热情至关重要。例如，关于椭圆函数的起源，仅仅用了几句话带过，让人感觉像是缺少了灵魂的躯壳，虽然公式是完备的，但其背后的驱动力却被淡化了。期待未来再版时能增加一些精选的历史侧注或应用实例的深度剖析。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受是其内容覆盖的广度令人印象深刻。它不仅详尽讨论了椭圆函数的传统方面，比如傅里叶级数展开和周期性，还大胆地触及了一些更前沿或更偏向应用的主题，例如与数论中某些L-函数的联系，以及在现代物理中某些特定模型下的隐式应用。这种跨领域的连接处理得相当巧妙，显示出作者深厚的学术积淀。我发现自己不断地在不同学科的知识之间来回跳转，这种感觉既令人兴奋，又略感疲惫。遗憾的是，在涉及到这些前沿联系时，篇幅往往受限，很多地方点到为止，没有提供足够的细节供读者深入挖掘。比如，关于椭圆函数在模空间理论中的作用，书中仅仅提供了一个简短的脚注，如果能有专门的章节来阐述这些联系，这本书的价值将得到极大的提升，它将不再仅仅是一本纯数学著作，而会成为连接多个学科的桥梁。

评分☆☆☆☆☆

总的来说，这本书是一部需要时间去“消化”的经典之作，它绝非那种可以轻松读完并声称“已掌握”的教材。它的价值在于其内容的密度和论证的彻底性。我个人在研读过程中，发现自己对“什么是数学之美”有了更深层次的体会——那种源于简洁定义所涌现出的无限复杂性的结构，着实令人着迷。然而，对于希望快速解决特定工程问题或者仅仅想了解椭圆函数基本概念的读者来说，这本书可能过于“烧脑”了。它更像是一位学识渊博的导师，用一种近乎不容置疑的口吻讲述着他毕生的研究成果，你需要带着极大的专注和敬畏之心去跟随他的步伐。对于那些准备在代数几何或解析数论领域深耕的人来说，这本书无疑是书架上不可或缺的镇馆之宝，但请务必准备好迎接一场硬仗。

评分☆☆☆☆☆