计算几何

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出版者:上海科学技术出版社
作者:苏步青
出品人:
页数:296
译者:
出版时间:1980
价格:1.40
装帧:简装
isbn号码:
丛书系列:现代数学丛书
图书标签:
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具体描述

动态规划的精妙结构:优化问题的通用策略 图书名称:动态规划的精妙结构:优化问题的通用策略 作者:[此处可虚构一位资深算法专家或学者的姓名] 出版社:[此处可虚构一家专业技术出版社的名称] --- 内容简介 本书深入剖析了动态规划(Dynamic Programming, DP)这一强大且优雅的算法范式。它不仅仅是一本算法书籍,更是一份关于系统性、结构化地解决复杂优化问题的思维导图。动态规划的核心思想——通过将大问题分解为相互重叠的子问题,并存储子问题的解以避免重复计算——是计算机科学乃至运筹学中的基石之一。 本书旨在为读者,无论是初次接触算法的本科生,还是寻求巩固和深化理解的专业工程师和研究人员,提供一个全面、透彻且极具操作性的指南。我们力求超越简单的LeetCode例题复述,着重于构建“DP思维链”——如何识别问题的最优子结构、如何定义状态空间、以及如何构建精确的递推关系。 第一部分:奠基与直觉——理解DP的本质 本部分从最基础的概念入手,建立读者对动态规划必要性的直觉理解。 第1章:优化问题的谱系与DP的定位 我们首先将优化问题划分为几大类,包括贪心、回溯搜索、分治与动态规划。重点阐述为什么在某些问题中,贪心策略会失效,而分治法会因子问题重复计算而效率低下,从而凸显DP在处理“最优子结构”与“重叠子问题”交集时的不可替代性。我们将通过斐波那契数列的计算效率对比,直观展示记忆化(Memoization)与自底向上(Tabulation)的效率差异。 第2章:最优子结构与重叠子结构的严格定义 这是DP的灵魂所在。本章将用严谨的数学语言阐述“最优子结构”的定义,即一个问题的最优解可以由其子问题的最优解构成。我们不会停留于口头描述,而是引入Bellman方程的思想框架,尽管这更多见于强化学习,但其对状态转移的描述是DP递推关系的最本质抽象。同时,详细讨论如何通过反证法来证明一个问题不具备最优子结构,从而避免将错误的模型应用于DP。 第3章:状态的艺术——维度与表示法 DP的成败往往取决于状态的定义。本章将核心讨论如何设计“状态”来捕获问题所需的所有必要信息。 1. 一维状态:如最长递增子序列(LIS)的长度。 2. 二维状态:如背包问题的“容量”与“物品数量”。 3. 多维状态与约束编码:如何将复杂的上下文信息(如时间、空间、剩余资源)编码到状态索引中。我们将引入“无用状态”的概念,探讨如何剪枝以优化状态空间,防止“维度灾难”。 第二部分:核心范式与经典应用 本部分将动态规划的核心应用场景系统化,深入剖析每种范式的核心转移方程。 第4章:线性DP的精细化处理 线性DP是最基础也是应用最广泛的形态。我们将覆盖以下经典问题,并侧重于状态的细节处理: 背包问题系列(0/1、有界、无界):重点分析“容量”维度上循环顺序对物品选择的影响,解释为什么0/1背包需要逆序遍历容量维度以保证每个物品只被使用一次。 最长公共子序列(LCS)与编辑距离:状态转移方程中对“匹配”与“不匹配”的三种选择路径的权重分配,以及如何利用DP表来重构出实际的序列或编辑操作路径。 第5章:区间DP与断点划分 区间DP用于处理具有天然区间结构的问题,例如矩阵链乘法、最优二叉搜索树。本章的关键在于断点(Split Point)的选择。我们探讨如何定义区间 $[i, j]$ 的解,并通过枚举所有可能的中间断点 $k in [i, j-1]$,将区间分解为 $[i, k]$ 和 $[k+1, j]$,并结合合并成本来确定最优断点。我们将详细分析矩阵链乘法中,乘法顺序对计算复杂度的巨大影响。 第6章:树形DP的递归与自顶向下 当问题结构天然是树形时,DP需要适应这种层级结构。树形DP通常采用后序遍历(Post-order Traversal)或递归的记忆化方法。 树上最大独立集:定义节点 $u$ 的两个状态:包含 $u$ 及其子树的最优解,以及不包含 $u$ 及其子树的最优解。 树上依赖关系问题:处理具有父子约束的资源分配问题,重点在于如何聚合子树的信息来更新父节点的状态。 第7章:数位DP的概率与组合计数 数位DP是处理“在给定区间 $[L, R]$ 内,满足特定数字属性(如数字和、特定数字出现次数)的数的数量”的专门工具。本章将重点讲解如何将问题转化为前缀计数 $Count(R) - Count(L-1)$,以及状态设计中必须包含的“紧约束(Tight Constraint)”和“前导零(Leading Zero)”标志位,以精确控制数字的生成过程。 第三部分:进阶技巧与优化 本部分探讨如何对基础DP模型进行加速和变形,以应对更严苛的时间或空间复杂度要求。 第8章:DP的优化:凸包优化与WQS二分 对于一些具有特殊性质的递推关系,如四边形不等式(Knuth 优化)或凸性,可以极大地减少状态转移的时间。 Knuth 优化:介绍四边形不等式 $W(a, c) + W(b, d) le W(a, d) + W(b, c)$ 如何保证最优分割点 $K(i, j)$ 满足 $K(i, j-1) le K(i, j) le K(i+1, j)$,从而将 $O(N^3)$ 优化到 $O(N^2)$。 WQS 二分(Chao 树优化/Alien 技巧):处理“恰好使用 $K$ 个资源”的问题。通过引入一个“惩罚系数” $lambda$ 改变目标函数,将原始问题转化为在任意资源下求最优解,利用斜率二分来逼近恰好使用 $K$ 个资源的解。 第9章:状态压缩与轮廓DP 当问题的状态只依赖于相邻行或列的信息时,状态压缩DP是关键。 状压DP基础:使用位掩码(Bitmask)来表示一行的状态。经典应用如“哈密顿路径的最小成本”或“最大团问题”的某些变体。 轮廓DP(Plug DP/Broken Profile DP):针对网格图或二维结构,状态不再是整行的信息,而是“轮廓线”上的连接信息。我们将详细解析如何用小整数(如 0, 1, 2, 3 代表不同的连接类型)来编码轮廓线上的“插头”,实现从一个单元格到下一个单元格的状态转移。 第10章:DP的演进与现代算法的交汇 本章将动态规划置于更广阔的算法背景下。讨论DP如何与随机化算法结合(如使用期望DP解决随机过程问题),以及DP状态空间如何与图论的某些特定结构(如DAG上的最长路径)紧密关联。最后,展望未来,探讨在处理大规模数据和流式计算中,DP模型面临的挑战与可能的演变方向。 --- 本书特色: 1. 侧重建模思维:大量篇幅用于解释“为什么”选择这种状态和转移,而非仅仅“如何”计算。 2. 图解与可视化:复杂的状态空间转移路径通过流程图和结构图清晰展示。 3. 从朴素到高效:每种经典模型都从最基础的、可能指数级的递归版本开始,逐步迭代优化至多项式时间复杂度。 通过研读本书,读者将掌握一套强大的优化问题解决工具箱,能够自信地将复杂的实际问题抽象为精确、高效的动态规划模型。

作者简介

苏步青(1902-2003)浙江平阳人。1927年毕业于日本东北帝国大学数学系,后入该校研究院,获理学博士学位。回国后,受聘于浙江大学数学系。1952年全国院系调整,到复旦大学任教,任教务长、副校长、校长等职,1983年起任复旦大学名誉校长。历任第七、八届全国政协副主席,第五、六届全国人大常委,民盟中央副主席。 1955年当选为中国科学院数学物理学部委员,兼任学术委员会常委,专长微分几何,创立了国内外公认的微分几何学派。撰有《射影曲线概论》、《射影曲面概论》等专著10 部。研究成果“船体放样项目”、“曲面法船体线型生产程序”分别荣获全国科学大会奖和国家科技进步二等奖。

苏步青是中国现代数学家,中国数学会的发起人之一,担任过中国数学会学报的主编,参与筹建中国科学院数学研究所,后又创办复旦大学数学研究所,创办《数学年刊》杂志并任主编。

苏步青中学毕业后去日本求学,1927年毕业于日本东北帝国大学数学系,随后进入该校研究院,1931年获理学博士,同年回国。

他的主要研究领域为微分几何学。

早期对仿射微分几何学和射影微分几何学作出了突出贡献。他建立了独到的方法,用几何构图来表现曲线和曲面的不变量和协变图形,取得了丰富的成果,如仿射曲面论中的锥面、射影曲线的一般的协变理论、射影曲面论中的Q1伴随曲面、主切曲线属于一个线性丛的曲面、射影极小曲面和闭拉普拉斯序列等方面的研究,得到了国际上的高度评价。

四、五十年代开始研究一般空间微分几何学,特别是一般面积度量的二次变分的计算和 K展空间。

60年代又研究高维空间共轭网理论,获得系统而深入的成果。

70年代以来,苏步青又注意把微分几何运用于工程中的几何外型设计,在中国开创了新的研究方向——计算几何。

苏步青历任浙江大学教授、数学系主任;历任复旦大学教授、教务长、数学研究所所长、研究生部主任、副校长、校长和名誉校长。中华人民共和国成立后任该校教务长。他和陈建功教授共同把浙江大学和复旦大学的数学系建成一个具有相当高水平的教学和科学研究的基地,为国家培养出许多优秀的数学人才。在他的领导下,形成了具有特色的微分几何研究集体。

苏步青一共发表论文 168篇,出版了《苏步青论文选集》、《射影曲线概论》、《射影曲面论》、《一般空间微分几何学》、《计算几何》等专著,有的已在国外翻译出版。

苏步青同志因病于2003年3月17日16时45分在上海逝世,享年101岁。

目录信息

读后感

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用户评价

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插图的质量和数量是衡量一本优秀几何类书籍的重要标准,而这本书在这方面做得堪称典范。它不仅仅是简单地画出图形,每一张插图似乎都经过了深思熟虑的布局和设计。它们不仅仅是辅助文字理解的工具,更是深化理解、直观感受几何直觉的关键。作者非常擅长利用色彩和线条的粗细变化来突出重点,例如在展示某个区域的划分或某个点的运动轨迹时,高亮和阴影的运用把握得恰到好处。更棒的是,很多复杂的空间关系和三维结构,都通过巧妙的二维投影和剖面图得到了完美的表达,让人能够轻松地在大脑中重建立体模型。我发现自己时不时会停下来,仔细端详那些图例,因为它们本身就蕴含着丰富的几何信息,远胜于干巴巴的文字描述。这种图文并茂的精妙结合,极大地降低了理解高维空间概念的学习门槛,让抽象的数学概念变得触手可及。

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初读几章,我立刻被作者叙述问题的角度所吸引。他没有采取那种枯燥的、直接堆砌定理的传统方式,而是巧妙地从实际的几何问题出发,引导读者一步步构建起理论的框架。比如,在讲解凸包算法时,作者首先描绘了一个现实世界中需要解决的场景——如何用最小的周长围住一群散落的点,然后再引入旋转卡尺等高级技巧,这种“问题驱动”的教学方法,极大地激发了我继续探索下去的欲望。更令人称赞的是,作者对于不同算法之间的内在联系有着深刻的洞察。他会时不时地穿插一些对比分析,比如剖析两种看似相似的平面扫描算法在处理边缘情况时的细微差别和性能取舍。这些对比非常精辟,让我清晰地认识到,数学工具的选择往往取决于具体应用场景的约束条件,这远比单纯背诵公式要来得有价值得多。整个阅读过程就像是跟随一位经验丰富的向导,在复杂的数学迷宫中,有条不紊地找到了最优雅的路径。

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这本书的包装设计简直是视觉享受,那种深邃的蓝色背景配上烫金的几何图形,散发出一种沉稳而又充满智慧的气息。我一拿到手,就迫不及待地翻开了扉页,一股淡淡的油墨香气扑鼻而来,瞬间将我拉入了一个对数学和空间充满敬畏的境界。封面设计本身就像是一个精妙的数学证明,每一个线条的交汇都恰到好处,暗示着内容中蕴含的严谨性与美感。装帧质量非常扎实,纸张的手感温润厚重,即便是长期翻阅,想必也能保持得很好。我特别喜欢它在字体选择上的考究,正文排版疏密得当,即便是面对那些复杂的公式和图表,眼睛也不会感到疲劳。这绝不仅仅是一本工具书的包装,更像是一件可以收藏的艺术品,体现了出版方对知识本身的尊重。从第一印象来看,它给人的感觉是专业、大气,绝对不是那种轻薄的入门读物,而是面向真正有志于深入钻研的读者的严肃著作。光是看着它陈列在书架上,都会让人心头一振,仿佛置身于一个由精确计算构筑的殿堂之中。

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这本书在对证明过程的详述上,展现了令人敬佩的细致程度。很多高等数学教材在引入关键定理时,往往会略过一些中间步骤,美其名曰“读者可以自行推导”,但这对于初学者来说往往是巨大的障碍。然而,这本书的作者似乎深知这一点,他对每一个关键引理的证明都进行了详尽的、不跳跃的展开。我尤其欣赏他使用多种不同的视角来阐述同一个概念,比如,对于某些拓扑性质的证明,他既给出了代数上的推导,又配上了直观的图形解释,确保了从不同认知偏好的人都能理解其核心逻辑。这使得即便是那些理论性较强的章节,读起来也不会感到晦涩难懂。我甚至发现,在某些我过去学习中感到困惑的证明环节,通过本书的重述,瞬间茅塞顿开。这种对教学细节的极致追求,使得这本书不仅是一本参考书,更像是一本私人定制的高强度辅导材料,真正做到了“手把手”地引导读者掌握知识的精髓。

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对于专业读者而言,参考书目和习题设置的水平往往是判断其价值的试金石。这本书的习题部分,设计得极富层次感和挑战性。开篇的练习主要用于巩固基础概念的理解和基本运算的熟练度,通常是直接应用某一特定公式或算法即可解决。但随着章节深入,习题的难度和综合性急剧增加,它们不再是简单的套用,而是要求读者将本章内容与前几章的知识点进行深度融合与创新应用。我注意到,有几道难题的描述本身就像是一个小型的研究课题,需要读者自己去判断该采用哪种数据结构、如何优化时间复杂度等实际工程问题。更不用说它那份详尽的参考文献列表了,覆盖了从经典文献到最新会议论文的广泛领域,为后续的深入研究指明了清晰的进阶路径。这本书的习题不是为了难倒人而存在,而是真正旨在培养读者独立分析和解决复杂几何问题的能力,这一点是市面上很多同类书籍所欠缺的宝贵特质。

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