基本拓扑学及应用ELEMENTARY TOPOLOGY AND APPLICATIONS pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Borges, Carlos R.

出品人:

页数:201

译者:

出版时间:2000-12

价格:280.00元

装帧:HRD

isbn号码:9789810242404

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 一般拓扑
• 数学分析
• 实分析
• 集合论
• 连续性
• 紧致性
• 连通性
• 应用数学

好的，这是一份关于一本名为《高级微分几何与流形理论》的图书简介。 --- 书名：高级微分几何与流形理论 (Advanced Differential Geometry and Manifold Theory) 内容概要 本书深入探讨了现代微分几何的核心概念、理论框架及其在数学物理、拓扑学和几何分析中的广泛应用。全书结构严谨，内容覆盖面广，旨在为具有一定基础的读者提供一个全面且深入的视角，以理解和掌握微分几何的精髓。 第一部分：基础与预备知识 本部分着重于为后续章节奠定坚实的数学基础。首先，我们回顾并深化了对拓扑空间和连续映射的理解，重点讨论了紧致性、连通性和分离公理在更广阔背景下的表现。随后，本书引入了光滑流形的基本概念，包括拓扑流形、坐标图集、光滑结构的定义与性质。详细阐述了切空间的构造，通过向量场和微分形式引入了张量场的概念，并探讨了张量代数在线性代数与几何之间的桥梁作用。 特别地，本部分对微分形式的定义、楔积运算以及德拉姆上同调的初步介绍进行了详尽的阐述，强调了其在全局几何信息捕捉中的重要性。 第二部分：联络与曲率 本部分是微分几何的核心内容之一，重点研究流形上的微分结构如何允许我们进行“微分”和“测量”。首先，我们引入了仿射联络和线性联络的概念，并详细分析了平行移动的机制。通过对协变量导数的严格定义，解释了向量场在流形上如何进行“导向”。 紧接着，本书深入探讨了曲率的概念。我们详细推导了黎曼曲率张量的定义，并分析了其代数性质，例如比安基恒等式。黎曼几何的基础——黎曼度量——被引入，并阐述了度量如何诱导出联络（如列维-奇维塔联络）。本部分还探讨了测地线的概念，将其定义为流形上“最短路径”的推广，并讨论了测地线方程的性质。曲率的几何意义，包括截面曲率和体积形变，在实例中得到了清晰的阐释。 第三部分：微分形式、积分与拓扑 本部分致力于连接微分结构与拓扑结构，重点聚焦于德拉姆上同调的完全建立及其与拓扑学的深刻联系。我们首先详细分析了微分形式在复杂流形上的积分，包括流形边界的定义和定向。 核心内容是斯托克斯定理 (Stokes' Theorem)的推广形式。本书从一维的格林定理、二维的高斯公式，系统地推导并证明了在高维流形上，边界上的积分与微分形式的微分（外导数）在流形上的积分之间的关系。这一定理是连接局部微分计算与全局拓扑性质的关键工具。 基于此，本书对德拉姆上同调群 $H^k(M)$ 进行了严谨的构建，包括精确序列、长精确序列和上同调环结构的探讨。我们利用上同调理论分析了流形的拓扑不变量，例如贝蒂数，并通过实例展示了如何利用这些工具来区分不同拓扑结构的流形。 第四部分：流与动力系统 本部分将微分几何的工具应用于动力系统的研究。我们定义了流形上的向量场及其生成的流 (Flow)，并讨论了向量场的可积性。 详细分析了李导数 (Lie Derivative)，它衡量了向量场对其他几何对象（如张量场、微分形式）的影响，是理解流形上对称性的重要工具。本部分还探讨了李群与李代数的结构，特别是当流形本身具有对称性时，李代数在切空间上如何作用。最后，我们简要介绍了哈密顿系统在辛流形上的几何表述，展示了微分几何在理论物理中的前沿应用。 第五部分：几何分析与应用 本部分探讨了微分几何在分析领域的前沿进展。重点关注椭圆算子在流形上的推广，特别是拉普拉斯-德拉姆算子 ($Delta_M$)。我们详细分析了该算子的基本解和谱性质，并讨论了霍奇理论 (Hodge Theory)，阐明了德拉姆上同调群与调和微分形式之间的同构关系，这是几何分析中的一个里程碑。 此外，本书还涵盖了极值曲面理论的几何背景，并简要讨论了规范场论中纤维丛与联络的应用，展示了微分几何作为现代物理学数学骨架的强大力量。 适用对象 本书适合于数学、理论物理及相关工程学科的高年级本科生、研究生以及需要深入了解现代微分几何基础的科研人员。读者应具备扎实的实分析、线性代数和基础拓扑学知识。 本书特色 深度与广度兼备： 既有对黎曼几何核心概念的细致推导，也涵盖了高阶拓扑不变量和几何分析的最新进展。 严谨的数学论证： 所有的定义和定理均经过严格的逻辑证明，保证了理论的可靠性。 丰富的实例分析： 通过对欧几里得空间、球面、环面等经典流形的分析，帮助读者直观理解抽象概念。

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这本书的选材和编排顺序，透露着一股不妥协的学术气息，这既是优点也是对初学者的挑战。它似乎默认读者已经对基础的实分析和集合论有一定的了解，对“数学证明”的严谨性有起码的心理准备。如果你想找一本“友好型”的入门读物，可以先搁置它。它的大部分篇幅都在探讨拓扑学的“深水区”，比如代数拓扑的初步介绍，这部分内容是相当硬核的。例如，在介绍同调论的动机时，作者没有采用那种过于简化的、只停留在低维流形的例子，而是直接深入到链复形的结构，虽然这让我初读时颇为吃力，但一旦理解了链复形如何编码了空间的“洞”的代数信息，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它要求你投入时间去消化每一个定理的证明，而不是满足于记住结论。书中的习题设计也极具启发性，它们往往不是简单地检验你是否记住了定义，而是要求你用新学的工具去解决一些看似不相关的问题，这对于培养独立思考的数学家思维至关重要。

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这本书的排版和论述风格，散发着一种经典教材特有的沉稳与权威感，但同时在细节处理上又充满了现代数学的敏锐性。我尤其赞赏作者在定义和引理之间的衔接处理。它很少使用那些花哨的修辞，而是用一种近乎冷静的、精确的语言来构建整个逻辑体系。这对于需要反复查阅和深入研究的读者来说，是极好的阅读体验。举个例子，它在介绍紧致性概念时，先用了大量的篇幅讨论了开有限覆盖的直观意义，然后才给出 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的特殊形式，最后才推广到任意拓扑空间。这种由浅入深，层层递进的结构，保证了即使是初次接触这一概念的读者，也不会因为定义过于抽象而感到无从下手。全书的逻辑链条是如此紧密，以至于你读完一个章节后，会自然而然地期待下一个章节将如何运用这些工具去解析更复杂的问题，这种内在的驱动力，是衡量一本优秀数学专著的重要标准。

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这本厚厚的书，初次翻开时，那种扑面而来的理论密度和严谨性，着实让人有点望而生畏。我本来以为这会是一本循规蹈矩的教科书，内容无非就是那些教科书里翻来覆去的点集拓扑基础，比如开闭集的定义、连续性的 $epsilon-delta$ 语言在拓扑空间中的推广，以及一些基本概念如紧致性和连通性的纯粹讨论。然而，随着阅读的深入，我发现作者的野心远不止于此。它巧妙地在基础和应用之间搭建了一座桥梁。比如，它没有把同胚和同伦这些概念仅仅停留在抽象的定义层面，而是迅速地引入了纤维丛、流形上的微分结构这些更具象、更“能看到”的应用实例。这种处理方式极大地激发了我的兴趣，因为它让你感觉你不是在堆砌毫无生气的公理，而是在探究空间本身的内在属性如何驱动物理世界和更高维度的数学结构。尤其是在讲解度量空间的完备性时，作者的论证过程清晰得如同工匠在打磨一块璞玉，每一步的逻辑推导都让你心悦诚服，仿佛自己也参与了整个发现过程。如果你的背景是分析或者几何，这本书提供的视角无疑是革命性的。

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坦率地说，对于一个习惯了线性代数那种明确、可计算的代数结构的人来说，初接触拓扑学时总感觉心里没底，仿佛一切都建立在“模糊”的概念之上。这本书在这方面做得相当出色，它没有回避拓扑学固有的抽象性，而是通过一系列非常巧妙的例子来锚定这些抽象概念。我记得有一章专门讨论了如何用拓扑语言重新审视傅里叶分析中的收敛问题——这简直是神来之笔。它没有直接使用复杂的积分变换公式，而是通过函数空间上的紧致性概念，用一种全新的、更本质的方式解释了为什么某些函数序列会收敛。这种“概念升维”的讲解，让我猛然间明白了拓扑学不仅仅是关于“形状不变性”的哲学讨论，它更是现代分析学和泛函分析的真正基石。我尤其欣赏作者对“商空间”处理的详尽。以往我总是在构造上感到困惑，但这本书通过一系列涉及粘贴、折叠的直观几何模型，将抽象的商空间具象化，使得对球面、环面等基本拓扑空间的理解瞬间变得扎实而深刻。

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我发现这本书最独特的地方在于它对“应用”这一部分的侧重与处理方式。它没有将应用部分写成几个独立的、附加上去的章节，而是将应用的脉络贯穿在基础理论的讲解之中，使得理论的产生动机始终清晰可见。例如，在讨论流形时，它不仅仅是停留在光滑映射的层面，而是引申到了黎曼几何的初步概念，并讨论了拓扑结构如何影响物理学中的对称性。这对于我这种偏向物理或工程背景的读者来说，是极大的福音。很多拓扑学的书籍在讲完基本概念后就戛然而止，留下读者在空中楼阁中迷失。但这本书，通过对微分同胚的讨论，自然地引向了微分方程在弯曲空间上的解的存在性问题，让你看到拓扑作为研究“形变不变性”的强大工具，是如何被用来解决那些涉及局部性质的经典难题的。这本书更像是一本“拓扑学的方法论”手册，而非仅仅是一本概念词典。

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