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出版者:

作者:Borovkov, K.

出品人:

页数:356

译者:

出版时间:2003-12

价格:$ 46.33

装帧:

isbn号码:9789812383006

丛书系列:

图书标签:

• 随机建模
• 概率论
• 随机过程
• 排队论
• 模拟
• 马尔可夫链
• 更新理论
• 统计推断
• 应用概率
• 随机服务系统

概率论与随机过程导论：从基础到应用 作者： [在此处填写作者姓名，例如：John R. Doe, Jane K. Smith] 出版社： [在此处填写出版社名称，例如：Academic Press, Springer-Verlag] 出版年份： [在此处填写出版年份，例如：2023] ISBN： [在此处填写国际标准书号] --- 丛书总述与本书定位 本册教材旨在为数理统计、工程技术、金融经济、计算机科学以及生命科学等领域的学生和研究人员提供一个全面而深入的概率论和随机过程的入门与进阶指南。我们认识到，在现代科学与工程的交叉领域中，随机性是普遍存在的特征。无论是信号处理中的噪声、金融市场中的价格波动，还是生物系统中基因表达的随机性，理解和量化不确定性已成为解决复杂问题的核心能力。 本书的撰写目标是平衡理论的严谨性与实际应用的可操作性。我们避免了过度专业化的数学证明细节，但同时坚持了概念引入的逻辑性和严密性，确保读者能够构建起坚实的数学基础，并能自信地将所学知识应用于现实世界的问题。本书聚焦于经典概率论的核心概念，并平稳过渡到动态随机系统的基础——随机过程。 第一部分：概率论基础与随机变量 本书的第一部分（第1章至第4章）致力于奠定概率论的坚实基础，这是所有后续随机过程分析的基石。 第1章：概率的基本概念与公理化基础 本章首先介绍概率论的历史背景，解释为何需要公理化方法来定义概率。我们详细阐述了样本空间、事件、概率的古典定义、相对频率定义以及公理化定义（$sigma$-代数与概率测度）。通过大量的例子，如投掷硬币、掷骰子和抽卡游戏，帮助读者理解互斥事件、独立事件以及条件概率的基本运算规则。条件概率的链式法则和全概率公式将在本章末尾作为重要工具被深入探讨。 第2章：离散随机变量 本章聚焦于取值可以一一列举的随机变量。我们首先定义离散随机变量及其概率质量函数（PMF）。随后，我们系统性地介绍了最重要和最常见的离散分布： 1. 伯努利试验与二项分布 (Binomial Distribution)： 作为最基础的成功/失败模型，详细分析其期望、方差及其在多次独立试验中的应用。 2. 泊松分布 (Poisson Distribution)： 作为罕见事件发生的模型，重点讨论其与二项分布的联系，以及其在描述计数过程中的作用。 3. 几何分布与负二项分布 (Geometric and Negative Binomial Distributions)： 描述首次成功所需时间的分布。 4. 超几何分布 (Hypergeometric Distribution)： 涉及不放回抽样的情形，并与二项分布进行对比。 本章的重点练习是计算随机变量的期望值、方差，以及理解分布函数的应用。 第3章：连续随机变量 本章将概念扩展到取值落在连续区间上的随机变量。我们引入概率密度函数（PDF）的概念，并解释其与分布函数（CDF）之间的关系，强调PDF下的面积代表概率的物理意义。本章深入讨论以下关键连续分布： 1. 均匀分布 (Uniform Distribution)： 作为最简单的连续分布，用于建模等可能性的情况。 2. 指数分布 (Exponential Distribution)： 关键在于其“无记忆性”（Memoryless Property），这是连接离散的几何分布和连续随机过程的重要桥梁。 3. 正态（高斯）分布 (Normal/Gaussian Distribution)： 作为自然界和工程学中最普遍的分布，详细介绍其参数（均值和方差）的影响，并引入标准正态分布及其Z-表的使用。 4. 伽马分布与贝塔分布 (Gamma and Beta Distributions)： 作为更灵活的分布族，用于建模等待时间或比例数据。 第4章：联合分布与随机变量的函数 理解多个随机变量之间的相互依赖关系至关重要。本章探讨二维和多维离散与连续随机变量的联合概率质量函数（JPMF）和联合概率密度函数（JPDF）。 核心内容包括： 边际分布的计算： 如何从联合分布中提取单个变量的分布。 独立性判断： 基于乘积准则检验随机变量的统计独立性。 期望的线性性质与协方差/相关性： 量化两个随机变量之间的线性关系。 随机变量函数的分布： 介绍求解 $Y=g(X)$ 分布的两种主要方法：基于函数的变换法（针对单变量）和雅可比行列式法（针对多变量）。 第二部分：大数定律、中心极限定理与随机向量 本部分将概率论从单个随机变量的分析提升到极限和多维分析的层面，是概率论在推断统计学中应用的基础。 第5章：随机变量的矩、矩母函数与收敛性 本章侧重于分析工具和渐近性质。 1. 矩、矩母函数 (MGF) 与特征函数 (CF)： 详细介绍矩母函数作为一种强大的代数工具，用于确定分布的矩并唯一确定分布形式。特征函数作为MGF在复数域的推广，特别适用于处理和证明极限定理。 2. 依概率收敛与依分布收敛： 严格定义这些不同的收敛模式。 3. 大数定律 (Law of Large Numbers, LLN)： 区分强大数定律和弱数定律，阐明其在频率解释概率上的意义。 第6章：中心极限定理与统计推断的概率基础 本章是全书的理论高潮之一。我们将详尽阐述中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的不同形式（独立同分布IID和更一般的形式）。CLT解释了为何正态分布在自然界中如此普遍，并为统计学中大量基于正态近似的推断方法提供了理论依据。 本章还将简要概述CLT在构建置信区间和进行假设检验中的初步应用，为后续更专业的统计学课程打下坚实的概率基础。 第三部分：随机过程导论——马尔可夫链 在概率论基础完成后，本书引入时间维度上的随机性——随机过程。我们选择从最具有离散时间特征且概念结构清晰的马尔可夫链开始。 第7章：随机过程的基本概念 本章介绍随机过程的正式定义，区分离散时间与连续时间过程，以及状态空间的离散与连续。引入了转移概率、一步转移矩阵（$P$）以及 $n$ 步转移矩阵 $P^{(n)}$ 的概念。 第8章：离散时间马尔可夫链 (DTMC) 这是对随机过程的第一个深度解析。我们聚焦于马尔可夫性质的定义，并详细分析了： 1. 状态分类： 可达性、互通性、常返性（Recurrence）与零返性（Null Recurrence）。 2. 稳态分布 (Stationary Distribution)： 求解平衡方程 $pi = pi P$，并证明对于满足特定条件的马尔可夫链，稳态分布的存在性、唯一性以及极限的收敛性。 3. 吸收态与平均首次通过时间： 分析过程最终停留在某个特定状态的概率，以及到达某个状态所需的平均时间。 本书通过这些工具，展示了如何使用概率方法来建模和分析具有离散状态和离散时间的动态系统，为后续连续时间过程（如泊松过程）的理解做好了充分准备。 --- 本书特点 1. 循序渐进的难度递增： 从基础的概率公理到高阶的随机过程收敛性，结构清晰，确保读者步步为营。 2. 丰富的应用实例： 每一个核心概念（如指数分布的无记忆性、CLT的应用）都配有源自物理、工程或生物科学的真实世界案例。 3. 强调计算技巧： 提供了大量关于期望计算、矩母函数求解和状态空间分析的详细步骤解析。 4. 平衡理论与直觉： 严格的数学定义与直观的概率思维培养并重，帮助读者不仅知道“如何做”，更理解“为什么”。 本书是构建严谨的随机分析思维的理想起点。

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《概率论导论》这本书的封面设计得很有意思，采用了深蓝色和金色的搭配，给人一种既专业又带着一丝古典韵味的感觉。我是在大学二年级的时候接触到这本书的，当时我们课程要求参考书目就是它。说实话，刚开始翻开的时候，我对概率论的理解还停留在高中课本里那些简单的排列组合和古典概率模型上，这本书的开篇部分就让我意识到了自己知识面的局限性。作者并没有急于抛出复杂的公式，而是非常耐心地从直觉、例子和历史背景入手，一步步引导读者建立起对随机现象的直观认识。特别是关于条件概率和贝叶斯定理的介绍，简直是教科书级别的清晰。书中使用了大量的实际生活中的案例，比如彩票中奖概率的误区，或者医学诊断中假阳性、假阴性的解读，这些都让枯燥的数学概念变得生动起来，让人忍不住一口气读下去。尽管它是一本偏理论的教材，但阅读过程中的体验却更像是跟随一位经验丰富的向导在探索一个全新的思维领域。

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这本书的论述风格非常严谨，可以说是滴水不漏，但也因此对读者的数学基础提出了一定的要求。我记得在学习鞅（Martingale）那一章节时，光是理解鞅的定义和性质就花了我不少时间。作者在证明过程中，几乎没有跳过任何一个中间步骤，每一步的逻辑推导都交代得清清楚楚，这对于希望深入理解数学原理的读者来说无疑是巨大的福音。然而，对于那些仅仅想掌握应用技巧的读者，可能会觉得有些冗长和晦涩。书中对于收敛性的讨论非常深入，涉及到依概率收敛、几乎必然收敛等不同层面的概念，并且配有相应的拓扑学背景知识的简要回顾。我特别欣赏作者在介绍完一个重要定理后，总是会紧接着给出几个精心构造的反例，这些反例有力地阐明了定理成立的必要条件，极大地加深了我对这些抽象概念的把握。总而言之，这是一本需要耐心和毅力去啃读的硬核著作。

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这本书的语言风格非常平实、内敛，带着一种英式学术特有的克制美感。它不像某些前沿著作那样追求炫酷的表达或紧跟最新的研究热点，而是专注于构建一个坚实、无可动摇的数学基础体系。作者的遣词造句极其精确，每一个动词的选择都似乎经过深思熟虑，以确保其含义不会产生歧义。比如，描述一个事件“几乎必然发生”时，与“以高概率发生”的措辞差异，作者会非常清晰地界定其数学上的区别。这种对语言精确性的追求，潜移默化地影响了我的写作习惯。读完这本书后，我在撰写任何技术文档时，都会下意识地去审视自己的表达是否足够清晰和无歧义。它不仅仅是一本概率论的书，更像是一本关于如何进行严谨逻辑表达的示范教材，其价值远远超出了学科本身的范畴。

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我是在工作遇到了一些时间序列分析的实际问题后，才重新拾起这本多年前读过的教材的。这次重读，我的侧重点完全变了。当年我只关注了前几章的随机过程基础，而这次，我直接跳到了关于马尔可夫链和随机游走的应用章节。作者在处理这些实际问题时，展现了惊人的洞察力。比如，书中关于排队论的初步讨论，虽然篇幅不长，但清晰地勾勒出了 M/M/1 模型的基本动态平衡点，这对于理解现代服务业的资源调度非常有启发性。我尤其欣赏作者在描述实际模型时，总是会适当地讨论模型的局限性，指出在什么条件下这个模型不再适用，或者需要进行哪些修正。这种“批判性思维”的引导，比单纯的知识灌输更有价值，它教会了我如何正确地运用概率工具，而不是盲目地套用公式。

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这本书的排版和装帧质量绝对是顶级水准，这对于长时间阅读厚重教材的读者来说至关重要。纸张的厚度适中，印刷清晰锐利，即便是使用荧光笔做了大量的标记，也没有出现墨水洇开的情况。更值得称赞的是，书中大量的数学符号和公式都采用了高质量的排版技术，符号之间的间距、上下标的位置都拿捏得恰到好处，这使得阅读体验非常流畅，极大地减少了因排版混乱导致的阅读障碍。随书附带的习题设计也非常有层次感，从基础的计算题到需要综合运用多个定理的证明题，难度梯度设计得非常科学。我个人的习惯是，每完成一章的学习，都会做完该章后面的所有练习题，这套习题集无疑是我巩固知识最有效的工具，很多平时看起来模糊的概念，在尝试自己去解决问题时，就豁然开朗了。

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