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出版者:

作者:Penner, R. C.

出品人:

页数:469

译者:

出版时间:2002-12

价格:451.00元

装帧:

isbn号码:9789810240882

丛书系列:

图书标签:

• 离散数学
• 数学基础
• 计算机科学
• 算法
• 逻辑
• 集合论
• 图论
• 组合数学
• 数理逻辑
• 离散结构

好的，这是一份关于《离散数学》一书的详细简介，旨在突出其内容广度和深度，同时避免提及任何可能暴露其生成方式的内容。 --- 图书简介：《离散数学》 导论：思维的结构与算法的基石 在信息时代与计算科学飞速发展的今天，我们对“结构化思维”和“形式化推理”的需求达到了前所未有的高度。《离散数学》并非仅仅是一门数学课程，它是一门关于离散结构的科学，是理解现代计算机科学、工程学乃至经济学、生物学等诸多领域底层逻辑的必经之路。 本书旨在为读者构建一个坚实的、系统的离散结构知识体系。我们聚焦于那些可以被明确计数、区分和独立处理的对象集合，这些对象是构建所有算法、数据结构、网络协议乃至复杂逻辑系统的基本“砖块”。本书的叙述风格严谨而富有启发性，力求在保持数学深度与严密性的同时，确保内容的直观可理解性，从而架设起纯数学理论与实际应用之间的桥梁。 第一部分：逻辑与证明——推理的艺术 本书的开篇专注于数理逻辑，这是所有形式化科学的语言和基础。我们深入探讨命题逻辑（Propositional Logic）和一阶谓词逻辑（First-Order Logic）。读者将学习如何精确地表达复杂的自然语言陈述，如何使用真值表和逻辑等价性来验证论证的有效性。重点不仅仅在于识别有效论证，更在于掌握蕴含、等价、量词（存在量词与全称量词）的精确操作。 随后，我们将进入证明论的核心。理解数学证明的结构是掌握离散数学的关键。本书系统地介绍了主要的证明技术，包括： 1. 直接证明 (Direct Proof)：如何从已知前提一步步推导出结论。 2. 反证法 (Proof by Contradiction)：通过假设结论不成立并导出矛盾来证明原结论的正确性。 3. 数学归纳法 (Mathematical Induction)：这是处理自然数集合上性质证明的强大工具，我们将详细探讨强归纳法和弱归纳法在不同问题情境下的应用，例如斐波那契数列的性质证明或图连通性的证明。 4. 构造性证明 (Constructive Proof)：通过明确给出一个实例来证明某一对象的存在性。 通过这一部分，读者将培养出精确、无歧义的数学思维习惯，这是进行任何高级技术分析的前提。 第二部分：集合论与函数——对象的组织 集合论是数学的通用语言。本书提供了严格的集合论基础，从基本概念如子集、并集、交集、补集，到更复杂的运算如笛卡尔积和幂集。我们详细讨论了集合代数、德摩根定律及其在实际问题（如数据库查询或集合覆盖问题）中的应用。 在此基础上，我们引入了关系 (Relations) 和函数 (Functions)。关系被系统地分类和分析，特别是等价关系（Equivalence Relations）及其对集合的划分（Partitions）——这是一个在抽象代数和数据组织中至关重要的概念。函数的概念被推广，涵盖了单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）函数，并探讨了它们的复合与逆运算，为理解算法的可逆性和变换提供了理论框架。 第三部分：计数原理——组合的奥秘 组合数学是离散数学中最具应用潜力的分支之一，它研究如何计算特定结构的数量。本章是全书的重点之一，它将计数问题转化为形式化的模型： 1. 基本计数规则：乘法原理和加法原理。 2. 排列与组合：深入区分有顺序和无顺序的选择，并探讨带重复和不带重复的情况。 3. 鸽巢原理 (Pigeonhole Principle)：以其简洁和强大的威力，解释了在有限空间内存放对象时必然产生的结构性结果。 4. 容斥原理 (Principle of Inclusion-Exclusion)：处理复杂集合交集计数的关键工具，广泛应用于排版和覆盖问题。 5. 生成函数 (Generating Functions)：作为一种强大的代数工具，生成函数将离散的序列问题转化为连续的函数问题进行分析，是解决线性递推关系和复杂组合计数问题的利器。 这些计数技术直接服务于概率论的计算，也是分析算法效率（时间复杂度）的基础。 第四部分：图论——连接世界的模型 图论 (Graph Theory) 是描述网络、连接和路径的理想语言，它是现代网络科学、数据结构和算法设计的核心。本书对图论的介绍力求全面且深入： 1. 基础概念：定义了图、边、顶点、度数、路径、回路等基本术语，并区分了有向图和无向图、简单图与多重图。 2. 连通性与路径：探讨了欧拉路径、哈密顿回路，以及最短路径问题（如Dijkstra算法的理论基础）。 3. 树 (Trees)：作为无环连通图，树是层次结构和数据组织（如文件系统、解析树）的基础。我们将专门讨论生成树和最小生成树（如Prim算法和Kruskal算法的理论支撑）。 4. 图的着色：引入图的染色问题及其应用，如资源分配和调度问题。 5. 平面图：讨论欧拉公式及其在判断图是否可平面嵌入中的作用。 图论部分强调了理论与实际应用的紧密结合，帮助读者将抽象的连接关系映射到现实世界的网络拓扑结构。 第五部分：代数结构与关系的应用 本章将理论推向更高层次的抽象，探讨代数结构。我们重点介绍了布尔代数，它是数字电路设计和逻辑门操作的数学基础。读者将学习如何使用代数方法简化逻辑表达式，并理解其在计算机硬件设计中的直接意义。 此外，我们对有向无环图 (DAGs) 进行了深入分析，讨论了拓扑排序的应用，这对于项目管理、编译器的依赖分析至关重要。最后，本书讨论了递推关系 (Recurrence Relations)，特别是线性齐次递推关系，并展示了如何利用特征方程法求解这些关系，这直接关联到递归算法的性能分析。 结论：通向计算思维的桥梁 《离散数学》不仅仅是数学知识的堆砌，它是一种思维方式的训练。它要求读者从离散的角度审视世界，将连续的、模糊的概念转化为精确的、可计算的模型。本书覆盖的知识点——从严密的逻辑推理到高效的计数方法，再到网络的拓扑分析——共同构成了现代信息技术领域的坚实基石。无论是希望深入计算机科学理论、提升算法设计能力，还是仅仅想锻炼严谨的分析思维，本书都将是一份不可或缺的指引。

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说实话，这本书的难度曲线稍微有点陡峭，但绝对物有所值。我是在自学过程中遇到瓶颈时，偶然发现了这个版本。与其他我翻阅过的几本教材相比，它在处理组合数学部分时，展现出了一种近乎艺术性的组织结构。作者似乎非常懂得如何循序渐进地引入复杂性。比如，当我们刚开始接触排列组合时，往往会混淆“有放回”和“无放回”的计数原理。这本书用了一种非常直观的方式，将这些问题归类到不同的计数框架下，并通过大量的、精心设计的练习题来巩固区分。那些练习题的难度梯度设计得非常巧妙，从基础的计算到需要多步骤推理的复杂应用题，应有尽有。更令人称道的是，它对鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的阐述，简直是教科书级别的典范——它没有停留在简单的口头描述上，而是深入探讨了更广义的鸽巢原理及其在证明领域中的威力。每一次我感觉自己要被某个复杂的计数问题困住时，回过头来翻阅前几页的定义和定理，总能找到那个“啊哈！”的瞬间。这本书的价值不在于提供了多少现成的答案，而在于它教会了我如何系统性地拆解问题，用最精简的数学语言去捕捉问题的本质结构。这种思维训练，远比记住几个公式要宝贵得多。

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我不得不提到这本书在逻辑和证明体系构建上的深刻影响。许多离散数学的教材往往只是罗列了不同的逻辑系统，比如命题演算和一阶逻辑，但很少能把它们融入到后续的数理结构分析中去。这本书的独特之处在于，它将逻辑基础置于一个非常核心的位置，并且明确地展示了如何用这些逻辑工具来检验和构建后续的代数结构。例如，在处理关系（Relations）时，作者不仅仅关注自反性、对称性、传递性这些基本性质，而是通过逻辑连接词和量词的精确运用，来定义和区分不同类型的关系，比如等价关系和偏序关系。这种从底层逻辑向上构建复杂概念的方法，使得我对“证明的有效性”有了更深层次的理解。它不再是死记硬背的步骤，而是一种对真值条件的精确把握。书中关于算法分析的初步探讨，虽然篇幅不长，但也清晰地展示了离散结构如何支撑计算效率的评估，这对于我未来在算法设计方向的学习，奠定了不可动摇的理论基础。总而言之，这本书的叙事逻辑是从最基础的“真与假”出发，一步步推导到复杂的结构世界，逻辑链条紧密到几乎没有可被质疑的空隙。

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从我个人的学习偏好来看，这本书在对“抽象化”的处理上达到了一个微妙的平衡。它既没有沦为纯粹的、脱离实际的抽象数学证明集，也没有为了迎合初学者而过度简化，从而丧失了离散数学的精髓。这种平衡感在讲解代数结构，比如群论的初步介绍部分体现得尤为明显。作者非常小心地引入了“运算”的概念，并强调了运算的封闭性、结合律和单位元/逆元等特性，这些都是抽象代数的核心。但与此同时，他并没有让读者沉浸在纯粹的符号操作中，而是巧妙地利用了图的同构性、有限状态机的例子来佐证这些抽象代数结构在实际建模中的强大能力。我感觉自己仿佛在攀登一座知识的高峰，每完成一节的学习，我看到的风景（即应用领域）就越开阔。这本书教会我的最重要一点是，无论数学概念看起来多么抽象，它们背后必然映射着某种现实世界或信息世界中的组织规律。它不是一本让你“背诵”知识的书，而是一本让你“理解”事物底层规律的书，其深远的影响力在于塑造你对数学结构本身的感知能力。

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这本书的排版和装帧质量实在是令人印象深刻，这对于一本需要长时间研读的学术书籍来说至关重要。纸张的质地很好，即便是长时间在灯光下阅读，眼睛也不会感到特别疲劳，墨水的清晰度也极高，使得那些复杂的数学符号和公式看起来格外锐利、毫不含糊。特别是在讲解图论的章节，书中大量的图示和拓扑结构被清晰地绘制出来，线条流畅，标注准确无误。我记得有一次我在理解某个特定图的遍历算法时，是完全依靠书中那个高质量的视觉辅助才豁然开朗的。相比之下，我之前看过的其他教材，有些图画得模糊不清，常常需要我花费大量时间去猜测作者到底想表达哪个节点或哪条边。这本书在细节处理上的专业性，充分体现了编者对读者的尊重。而且，书后的索引部分做得非常详尽，当你需要快速回顾某个特定定义或定理时，查找起来极其方便，这对于期末复习或者查阅资料时节省了大量宝贵的时间。可以说，从阅读体验的物理层面到知识检索的效率层面，这本书都做到了顶尖水准。

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这本书的封面设计得非常吸引人，那种深邃的蓝色调和简洁的排版，一看就知道里面承载着严谨而深刻的数学思想。我是在一位数学专业的朋友的强烈推荐下开始阅读的。坦率地说，最初我对“离散数学”这个概念是有些敬畏的，总觉得它和我们日常接触的那些连续的、平滑的微积分或者代数概念相去甚远。然而，翻开第一章，那种熟悉的逻辑推理和清晰的定义就将我引入了一个全新的世界。这本书的叙述方式非常注重概念的建立和逻辑的严密性，没有过多花哨的辞藻，一切都围绕着核心的数学结构展开。比如，关于集合论的介绍，它不是简单地罗列公理，而是通过大量的实例和清晰的图示，引导读者去理解“关系”和“函数”在离散结构中的本质。尤其是对证明技巧的讲解部分，简直是为初学者量身定做，从基础的直接证明、反证法，到更复杂的数学归纳法，每一步都配有详尽的推导过程，让人感觉自己真的在一步步构建起坚实的数学思维大厦。我尤其欣赏作者在解释某些抽象概念时，会巧妙地穿插一些实际应用背景，比如图论在网络构建中的作用，这极大地激发了我继续深入学习的兴趣，让我意识到这门学科绝非空中楼阁，而是支撑现代计算科学的基石。读完前几章，我有一种强烈的预感：这本书不仅仅是一本教科书，更像是一本引导我进行高质量逻辑思考的哲学指南。

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