复变函数与积分变换 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:

出品人:

页数:343

译者:

出版时间:2013-3

价格:35.00元

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isbn号码:9787030369130

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《复变函数与积分变换》 引言 在数学的广阔天地中，复变函数与积分变换作为两大核心分支，以其独特的视角和强大的分析工具，深刻地揭示了自然界和工程领域中许多复杂现象的内在规律。它们不仅是高等数学的重要组成部分，更是理论物理、工程学、信号处理、控制理论等众多尖端学科不可或缺的基石。本书旨在系统而深入地阐述复变函数论和积分变换理论的基本概念、核心方法及其广泛的应用，为读者构建一个坚实的理论框架，并引导其掌握解决实际问题的能力。 第一部分：复变函数论 复变函数论是研究定义在复数域上的函数的数学分支。它将实变函数的概念推广到复数域，从而引入了诸如解析性、留数、保角映射等一系列在实数域中不存在或不那么显著的重要性质。 第一章：复数与复变函数 复数的几何表示与运算： 本章从复数的代数形式和几何形式出发，深入探讨复数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算，以及复数模、辐角、共轭复数等重要概念。通过复数的几何解释，直观地理解其在复平面上的对应关系，为后续的函数分析奠定基础。 复变函数的概念与性质： 介绍复变函数的定义，即形如 $w = f(z)$ 的函数，其中 $z$ 和 $w$ 均为复数。探讨复变函数的实部与虚部、模与辐角等表示方法。重点理解函数的极限、连续性在复数域上的定义及其性质。 基本初等复变函数： 详细介绍复数域中的指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等基本初等函数，并分析它们的性质，如周期性、多值性等，以及在复平面上的映射行为。 第二章：解析函数 复微分与柯西-黎曼方程： 本章是复变函数论的核心之一。引入复变函数的导数概念，并建立其与实部、虚部偏导数之间的柯西-黎曼方程。深刻理解柯西-黎曼方程是函数可微的充要条件，是判断一个复变函数是否为解析函数的关键。 解析函数的概念与性质： 定义解析函数（也称全纯函数），即在某区域内处处可微的函数。探讨解析函数的性质，例如，解析函数在区域内具有任意阶导数，其泰勒级数展开具有优良的收敛性。 调和函数： 引入调和函数的概念，即满足拉普拉斯方程的实值函数。证明解析函数的实部与虚部都是调和函数，并探讨调和函数与解析函数之间的密切联系。 第三章：复积分 复积分的定义与性质： 定义复变函数的沿曲线积分，并阐述其基本性质，如线性性质、可加性等。 柯西积分定理与柯西积分公式： 这是复变函数论的另一个基石。柯西积分定理指出，解析函数在任一闭合曲线上的积分处处为零。柯西积分公式则提供了计算解析函数在某点的值及其各阶导数的一种强大方法，它将函数在区域内的性质与边界上的值联系起来。 孤立奇点与留数定理： 探讨复变函数的奇点，特别是孤立奇点（可去奇点、极点、本质奇点）。定义留数，并阐述留数定理。留数定理是计算复积分，尤其是计算无理数、超越函数积分以及求解常微分方程、偏微分方程的重要工具。 第四章：解析延拓与多值函数 解析延拓： 介绍解析延拓的概念，即在原有定义域上保持解析性的前提下，将函数扩展到更大的定义域。讨论解析延拓的唯一性。 多值函数： 深入研究对数函数、幂函数等的多值性问题。引入黎曼曲面的概念，以实现对多值函数的单值化处理，从而能够更好地进行分析。 第五章：保形映射 保形映射的概念与性质： 定义保形映射（或称共形映射），即保持角度的映射。分析保形映射的几何意义，了解它们如何将一个区域的几何形状“变形”到另一个区域。 初等保形映射： 介绍线性分数变换（莫比乌斯变换）、平移、旋转、伸缩等基本保形映射，并研究它们在复平面上的映射特性。 应用： 探讨保形映射在流体力学、热传导、电势理论等物理问题中的应用，展示其解决边值问题的强大能力。 第二部分：积分变换 积分变换是将一个函数转化为另一个函数的数学工具，它通过“积分”这一运算，将复杂的函数或方程转化为在另一个域（变换域）中更容易处理的形式。一旦在变换域中求解完毕，再通过逆变换回到原域。 第六章：拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的定义与性质： 定义单边拉普拉斯变换，并详细推导其线性性质、时移性质、频率移位性质、卷积定理等。这些性质是求解微分方程、分析系统响应的基础。 典型函数的拉普拉斯变换： 计算常见函数（如单位阶跃函数、指数函数、三角函数、冲激函数等）的拉普拉斯变换，并构建常用函数的拉普拉斯变换对表格。 拉普拉斯逆变换： 介绍拉普拉斯逆变换的求解方法，包括部分分式展开法、留数法等。 应用： 重点阐述拉普拉斯变换在求解常微分方程初值问题、分析线性时不变系统（LTI）的瞬态响应和稳态响应、系统稳定性分析等方面的广泛应用。 第七章：傅里叶变换 傅里叶级数与傅里叶积分： 从周期函数的傅里叶级数出发，引出非周期函数的傅里叶积分，进而定义傅里叶变换。 傅里叶变换的定义与性质： 定义傅里叶变换和傅里叶逆变换，并推导其线性性质、时移性质、频率移位性质、尺度变换性质、卷积定理、微分性质、积分性质等。 典型函数的傅里叶变换： 计算常见函数（如矩形脉冲、指数衰减信号、高斯函数等）的傅里叶变换。 应用： 深入探讨傅里叶变换在信号分析（频谱分析）、系统分析（频率响应）、图像处理、数据压缩等领域的关键作用，揭示其在频域中分析信号特性的强大能力。 第八章：其他积分变换（选讲） Z变换： 介绍离散时间信号的Z变换，并阐述其在离散系统分析、数字信号处理中的重要性。 其他变换： 简要介绍如Hankel变换、Mellin变换等在特定领域有应用的积分变换，以拓宽读者的视野。 结论 《复变函数与积分变换》一书力求在概念的清晰性、方法的严谨性以及应用的广泛性之间取得平衡。通过对复变函数论的深入剖析，读者将掌握分析复数域中函数行为的强大工具；通过对积分变换的学习，读者将获得将复杂问题转化为更易处理形式并求解的有效方法。本书既适用于希望系统学习这两大理论的数学、物理、工程专业本科生和研究生，也为从事相关研究和工程实践的专业人士提供了一本重要的参考资料。掌握这些知识，将有助于读者更深刻地理解和解决现实世界中的科学与工程难题。

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我特别欣赏作者在全书结构中体现出的宏大视野和严谨的逻辑链条。这本书的章节安排并非简单的知识点堆砌，而是一条清晰、有机的演进路线图。它从最基础的复数和解析函数概念出发，如同打地基一般扎实稳固，随后层层递进，依次构建起积分理论、级数展开，最终导向了微分方程的求解和积分变换的威力。最令人称道的是，作者在连接不同主题时所使用的过渡段落，它们像是精妙的桥梁，清晰地阐述了“为什么我们需要从A点过渡到B点”。例如，在引入留数定理之前，作者花了相当大的篇幅回顾了沿不同路径积分的局限性，从而自然而然地引出了留数定理作为解决这类复杂积分问题的‘终极武器’。这种全局观的构建，使得读者在学习过程中，始终能把握住自己所处的位置以及前方知识的意义，有效避免了陷入局部细节的迷宫而忘记了整体目标。这种结构上的匠心，体现了作者对学科体系深刻的理解和驾驭能力。

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这本书的排版设计简直是一场视觉的盛宴。封面采用了深邃的午夜蓝搭配流光溢彩的金色线条，简洁而又不失高雅，让人初见便心生敬畏。内页的字体选择上，那种略带宋体风格的衬线字，在长时间阅读时对手部的疲劳感降到了最低，这在厚重的专业书籍中实属难得。更值得称道的是，作者在公式的呈现上极具匠心。那些复杂的数学符号，无论是积分符号还是希腊字母，都清晰锐利，墨色均匀饱满，仿佛是用最精密的印刷技术一笔一划勾勒而成。即便是那些需要多层嵌套的复杂表达，也能通过巧妙的缩进和对齐，让读者一眼就能抓住其核心结构，而不是被一堆堆的符号淹没。尤其是在涉及到图形和定理的辅助说明时，插图的质量高得惊人，线条流畅，阴影处理到位，使得抽象的几何概念立刻变得具象化，阅读体验如同在欣赏一件精美的艺术品，而不是在啃读枯燥的教材。这种对细节的极致追求，无疑体现了出版方对知识传播的尊重与专业态度，让人在捧读时就充满了学习的动力和愉悦感。

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关于这本书的参考价值，我认为它超越了一本标准教材的范畴，更像是一本深入研究的工具书和灵感来源。在后续查阅资料和处理更高级问题时，我发现书中对某些核心定理的证明思路，比其他主流参考书提供了更清晰、更直观的视角。例如，对泊松积分公式的推导部分，它不仅给出了标准的复变函数方法，还巧妙地引入了物理直观的阐释，使得公式不再是一个冰冷的数学工具，而具有了深刻的物理内涵。此外，书中对一些历史背景和关键人物的提及虽然简短，却点到为止，为有兴趣的读者指明了进一步深入探索的方向。我甚至发现，在某些我正在进行的工程项目仿真中，书中提及的某些特殊函数的性质和展开式，直接提供了解决计算瓶颈的突破口。因此，这本书不仅是大学阶段打基础的必备良品，对于已经工作多年、需要重温或拓展应用边界的研究人员或工程师来说，它依然是一本可以随时翻开，并能从中汲取新思路的宝贵资源库。

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初次接触这套书时，我最大的担忧是其对初学者的友好程度。毕竟，这类高等数学分支往往以其陡峭的学习曲线而臭名昭著。然而，这本书的叙述风格却出乎意料地平易近人，像是一位经验丰富的老教授，耐心地在讲台上循循善诱。它并没有一上来就抛出那些令人望而生畏的定义和定理，而是用大量的、贴近实际的物理或工程背景故事作为引子，巧妙地将抽象的数学概念‘软着陆’到读者的认知框架中。例如，它解释柯西积分定理时，不是干巴巴地罗列条件，而是先描述了一个关于‘穿过闭合路径的电荷’的场景，将‘奇点’的引入描绘成一个‘系统中的异常点’，这种叙事手法极大地降低了初次接触时的心理门槛。即便是那些证明部分，作者也花费了大量笔墨来剖析‘为什么’要这么证明，而不是仅仅停留在‘如何’证明的层面。这种由表及里、由浅入深的讲解层次感，让学习过程不再是机械的记忆，而更像是一场逐步揭开谜底的探索之旅，极大地激发了我的学习热情和求知欲。

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这本书的习题设计堪称一绝，它精准地平衡了理论巩固与能力提升之间的微妙关系。大量的计算题和概念辨析题被巧妙地穿插在每一章节的末尾，它们的目的性极强，直接对应着本节课的核心知识点，确保读者在学完即练，即时消化。更有价值的是，书后附录中的那些‘综合应用’和‘挑战性’题目，才是真正展现本书深度的地方。这些题目往往需要跨章节的知识点融合，或者需要读者跳出书本的框架，去思考如何将学到的工具应用到未曾预见的复杂情境中去。我印象最深的是其中一道关于翼型绕流的优化问题，它将流体力学中的边界条件与复变函数中的共形映射技巧完美结合，解答过程酣畅淋漓，每一步的逻辑推导都如行云流水般自然，让人在完成解答后有一种醍醐灌顶的成就感。这套习题集不是用来‘刷’的，而是用来‘磨’的，它真正锻炼了读者将理论转化为解决实际问题的能力，远超一般教材的水平。

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不看国内教材是当代优秀大学生的基本素养

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复变真的是本科学过的最有意思的一门课了_(:_」∠)_

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