Functions of Several Variables (Undergraduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Wendell Fleming

出品人:

页数:428

译者:

出版时间:1987-06-10

价格:USD 64.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387902067

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

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多变量函数：深入探索数学的辽阔疆域 这本书将带领您踏上一段激动人心的旅程，深入探索数学中最迷人、最 fundamental 的领域之一：多变量函数。告别单变量的二维平面，我们将进入三维空间，甚至更高维度，领略函数的丰富内涵与奇妙表现。无论您是初次接触微积分的学生，还是希望巩固和拓展数学知识的研究者，这本书都将成为您宝贵的向导。 核心概念的扎实奠基： 本书从最基础的概念入手，为您构建坚实的多变量函数理论基础。我们将清晰地阐述： 函数定义与表示： 如何精确地定义一个多变量函数？如何通过图像（虽然高维度的图像难以直观展现，但我们提供代数和几何上的理解方式）、表格或代数表达式来描述它？我们将学习各种表示方法，理解函数的域（domain）和值域（range），以及它们在多维空间中的几何意义。 极限与连续性： 在多维空间中，极限的概念如何扩展？我们如何定义一个函数在某个点“趋近”于某个值？本书将深入探讨路径依赖性，以及多变量函数连续性的严谨定义，帮助您理解为什么在多维空间中，连续性的判断比单变量情况更具挑战性。 偏导数与方向导数： 理解函数如何随着各个变量的独立变化而变化，是多变量微积分的核心。我们将详细介绍偏导数的概念，它衡量了函数在某一方向上变化率的“速度”。在此基础上，我们进一步引入方向导数，它能告诉我们在任何给定方向上的变化率，为理解函数的局部行为提供了更全面的视角。 梯度与高阶偏导数： 梯度向量是多变量函数理论中的一个强大工具，它指向函数增长最快的方向，并包含了关于变化率的所有信息。本书将深入探讨梯度的几何意义和应用，以及二阶及更高阶偏导数，它们揭示了函数的曲率和局部形状，对于优化问题至关重要。 核心工具与方法的精深讲解： 掌握了基础概念后，本书将引导您深入学习多变量函数分析的核心工具和方法： 链式法则： 当函数是其他函数的复合时，如何计算其导数？多变量链式法则比单变量情况更为复杂，但本书将通过清晰的推导和丰富的例子，帮助您熟练掌握这一强大工具，无论是计算复合函数的导数，还是理解变量替换。 多元函数积分： 从单变量的定积分到多重积分，我们将在二维、三维甚至更高维度空间中探索函数的累积效应。本书将详细讲解累次积分（iterated integrals）、重积分的性质，以及如何选择合适的坐标系（如极坐标、柱坐标、球坐标）来简化积分计算。 Jacobian 矩阵与行列式： 在进行变量替换时，Jacobian 矩阵扮演着至关重要的角色，它反映了坐标变换的局部线性近似。本书将深入分析 Jacobian 矩阵的结构和意义，及其在重积分中的应用，帮助您理解面积和体积在变换中的缩放效应。 隐函数定理与反函数定理： 这两个定理是多变量微积分中最深刻和最有用的结果之一。本书将以直观和严谨的方式介绍它们，揭示在什么条件下，一个隐式定义的方程组可以表示为显函数，以及何时一个光滑的映射存在局部逆映射。这些定理是理解许多数学和物理现象的关键。 理论与应用的完美结合： 本书不仅专注于抽象的理论推导，更注重将多变量函数理论应用于解决实际问题： 最优化问题： 如何在多维空间中找到函数的最大值和最小值？我们将学习如何利用偏导数和梯度来寻找临界点，并使用海森矩阵（Hessian matrix）来判断这些点的性质（局部最大值、最小值或鞍点）。这对于工程、经济、科学研究中的各种优化问题至关重要。 向量微积分： 在本书中，向量场、线积分、面积分以及格林公式、斯托克斯公式、高斯散度定理等一系列核心概念将得到深入的阐述。这些工具是连接微积分与物理学的桥梁，广泛应用于流体力学、电磁学、热力学等领域。 级数与收敛性： 对于多变量函数，我们将探索其泰勒级数展开，并讨论这些级数的收敛性。这使得我们能够用多项式来逼近复杂函数，从而简化分析和计算。 学习体验的优化： 本书旨在提供一个清晰、易懂且引人入胜的学习体验： 循序渐进的教学方法： 内容组织严谨，从基础到高级，步步为营，确保读者能够逐步掌握知识。 丰富的例题与习题： 大量精心设计的例题贯穿全书，它们不仅展示了理论的应用，还提供了解决问题的思路和技巧。精心挑选的习题从概念理解到计算练习，再到应用拓展，帮助读者巩固所学，提升解题能力。 直观的几何解释： 尽管高维度的几何难以可视化，但本书会尽力提供直观的几何解释，帮助读者建立对抽象概念的感性认识。 展望： 通过对多变量函数的深入学习，您将获得一套强大的分析工具，能够更深刻地理解和建模我们周围的世界。无论是物理现象的描述、工程设计的优化，还是数据科学中的模式识别，多变量函数都扮演着不可或缺的角色。这本书将为您打开一扇通往更广阔数学世界的大门，激发您进一步探索数学的无限可能。

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“曲线积分”和“曲面积分”是多变量微积分中另一个充满挑战的部分，而这本书的讲解让我觉得豁然开朗。作者将这些概念与物理中的功和流的概念联系起来，使得抽象的数学定义变得更加具体和易于理解。我特别喜欢书中对于“格林公式”、“高斯散度定理”和“斯托克斯公式”的推导过程，它们不仅展示了数学的优雅，也揭示了不同维度积分之间的深刻联系。作者通过清晰的图示和循序渐进的推理，让我理解了这些基本定理是如何从更简单的概念发展而来，以及它们在实际应用中的巨大价值。当我第一次理解到，一个封闭曲线上的线积分可以转化为一个区域上的面积分时，我感受到了数学的奇妙。这些定理不仅仅是公式，它们更是连接微积分与物理世界的重要桥梁。

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这本书对于“链式法则”的讲解，是我学习多变量微积分以来遇到的最清晰的解释之一。我曾经在其他教材中遇到过关于链式法则的混淆，但这本书通过将复杂函数链看作一系列简单的变换，并用图示来清晰地展示变量之间的依赖关系，让我豁然开朗。作者巧妙地引入了“Jacobian矩阵”的概念，并将其与链式法则的运算紧密联系起来，这不仅简化了计算，更揭示了其背后深刻的几何含义——它代表了局部线性近似的变换。我特别喜欢书中对于复合函数求导过程的详细分解，它像剥洋葱一样，层层展现了不同变量对最终结果的影响。当我看到Jacobian矩阵如何描述函数在某一点的线性变换时，我感觉自己对高维空间的理解又进了一层。这不仅仅是关于计算的技巧，更是关于理解函数如何“拉伸”和“旋转”空间的本质。

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当我翻开这本《Functions of Several Variables (Undergraduate Texts in Mathematics)》时，我并没有抱着立刻就能征服它的决心，更多的是一种面对挑战的敬畏。我一直对多变量微积分的深刻性感到着迷，但同时也深知其复杂性。这本书的封面设计简洁而庄重，立刻传达出一种学术严谨的氛围，这让我对接下来的学习内容充满了期待。在开始阅读之前，我花了一些时间浏览目录，被其中涵盖的广泛主题所吸引，从基础的向量空间和度量空间，到更高级的微分几何和李群，每一个章节的标题都仿佛指向一片未知的数学海洋，等待我去探索。我喜欢作者在引言中强调的“几何直觉”的重要性，这对于我这样更倾向于理解事物本质而非死记硬背公式的学习者来说，无疑是一剂强心针。我知道，掌握多变量微积分不仅仅是学会计算偏导数和多重积分，更重要的是理解它们背后所蕴含的几何意义和物理应用。这本书的编排似乎正是为了引导读者建立起这种深刻的理解，从最基本的概念出发，层层递进，最终构建起一个完整而系统的知识体系。

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在学习“度量空间”和“向量空间”的基础概念时，这本书同样展现了其严谨而又全面的特点。作者从最基础的集合论概念出发，逐步构建起向量空间和度量空间的定义，并详细阐述了它们之间的联系。我喜欢书中关于范数、距离和拓扑等概念的讲解，它们为后续学习多变量微积分奠定了坚实的基础。作者通过一些经典的例子，例如欧氏空间、函数空间等，让我理解了这些抽象概念的直观意义。我曾花费了大量时间来理解“完备性”和“紧致性”等概念，而这本书的讲解让我对此有了更清晰的认识。这些基础概念虽然抽象，但它们却是理解更高级数学内容不可或缺的基石。

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总的来说，《Functions of Several Variables》这本书是一本非常优秀的教材。它不仅内容全面、讲解清晰，而且注重培养读者的数学直觉和解题能力。书中大量的例子和习题，以及作者对概念背后几何意义的强调，都让我在学习过程中受益匪浅。这本书让我对多变量微积分有了更深刻的理解，也激发了我对数学更进一步探索的兴趣。我将它视为我在数学学习道路上的重要伙伴，会经常翻阅，并从中汲取智慧。这是一本值得推荐给所有对多变量微积分感兴趣的学习者的书籍。

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在探讨“重积分”时，这本书展现了其严谨而又富有洞察力的讲解风格。从最基础的黎曼积分定义出发，作者逐步引导读者理解如何在多维空间中定义和计算体积。我欣赏作者对于“累次积分”和“Fubini定理”的解释，它们将高维积分问题转化为一系列一维积分的计算，这在实际应用中具有极其重要的意义。书中大量的例子，涵盖了各种不规则区域上的积分计算，以及如何通过坐标变换来简化积分过程，这对于提升我的实际解题能力非常有帮助。特别是关于“极坐标系”和“球坐标系”下的重积分，作者不仅给出了公式，更重要的是解释了为什么这些坐标系在特定情况下能够极大地简化计算，并展示了其几何直观。我曾花费了大量时间来理解这些坐标变换背后的几何意义，而这本书的讲解恰好满足了我的需求，让我不再仅仅将它们视为计算工具，而是理解了它们是如何对应于空间的几何结构。

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在学习过程中，我发现这本书的习题设计也极具匠心。习题不仅仅是知识点的简单复习，更是对理解深度和应用能力的考查。许多习题都要求读者运用所学的概念去解决实际问题，或者去推导更一般的结论。我喜欢那些需要证明的题目，它们迫使我去深入理解定理的证明过程，并尝试用自己的语言重新表述。例如，在学习隐函数定理时，书中提供了一系列与切空间和隐函数定义紧密相关的习题，这帮助我深刻理解了隐函数定理在局部区域内的强大作用。此外，书中还有一些挑战性的“思考题”，它们往往没有明确的答案，需要读者发挥创造力，结合多个知识点进行独立思考。我发现，完成这些题目往往比单纯做计算题更能提升我的数学能力。它们不仅锻炼了我的逻辑思维，也培养了我解决未知问题的信心。

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“隐函数定理”和“反函数定理”是理解复杂函数映射的关键，而这本书的讲解让我对其有了更深入的认识。作者通过对Jacobian矩阵的非零性与局部可逆性的联系，清晰地阐述了这两个定理的核心思想。我特别欣赏书中对于这些定理在几何上的解释，它们揭示了函数在某一点附近的局部行为，以及这些行为如何决定了函数是否能够被“翻转”或“解耦”。书中提供了一些关于曲面参数化和隐式定义的例子，这让我能够将抽象的定理应用到具体的几何问题中。我曾反复琢磨过这些定理的证明，并从中体会到数学逻辑的严谨性。它们不仅是理论上的工具，更是理解高维空间中函数行为的关键。

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这本书在“向量分析”部分的处理也极其出色。作者并没有仅仅罗列出散度、旋度等概念，而是深入探讨了它们在物理和几何中的意义。我喜欢作者将散度解释为“源强度”或“汇强度”，将旋度解释为“旋转程度”的方式。这些直观的解释，让我能够更容易地理解向量场的性质，以及它们在流体动力学、电磁学等领域的应用。书中对“梯度”的讲解也同样深刻，它不仅是函数在某点变化最快的方向，更是函数曲面在该点切空间的法向量。这种几何上的联系，让我对这些概念有了更深刻的认识。此外，书中还提供了大量关于向量分析在三维空间中应用的例子，这些例子不仅加深了我对理论知识的理解，也让我看到了数学的实用价值。

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这本书的叙述风格让我印象深刻。作者并没有采用那种生硬、枯燥的定理-证明模式，而是用一种更加引导性的方式来展开论述。每当引入一个新概念时，作者都会先从一个直观的例子或一个清晰的几何图像出发，帮助读者建立起初步的认识。例如，在介绍偏导数时，书中就详细地描绘了函数在特定方向上的变化率是如何通过切线斜率来理解的。这种循序渐进的讲解方式，使得抽象的数学概念变得生动起来，不再是冰冷的符号堆砌。我尤其欣赏书中对于“方向导数”的解释，它不仅仅是一个计算公式，更是一个帮助我们理解函数在三维空间中如何“感受”不同方向变化的关键。作者通过大量的图示，将抽象的向量和方向导数可视化，使得我在脑海中能够清晰地勾勒出函数曲面的局部形态。这种“先形后数”的教学理念，对于那些初次接触多变量微积分的学生来说，无疑是一条更平坦的学习之路。它鼓励读者去思考，去理解，而不是仅仅去记忆。

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Nice but mistargeted. Has occasional but critical typos.

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