Special Functions and Linear Representations of Lie Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Jean Dieudonne

出品人:

页数:59

译者:

出版时间:1980-12-31

价格:USD 18.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821816929

丛书系列:

图书标签:

• Special Functions
• Lie Groups
• Representation Theory
• Mathematics
• Harmonic Analysis
• Group Theory
• Mathematical Physics
• Operator Theory
• Differential Equations
• Algebra

《群论基础与经典结构解析》 内容简介 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的群论基础，并深入探索与之密切相关的经典代数结构。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在培养读者对抽象代数概念的深刻理解和应用能力。我们摒弃了对特定高级函数或李群表示论的直接讨论，而是专注于构建群论的基石，为后续更深入的研究打下坚实的基础。 第一部分：群论的基石 本部分从最基础的集合论概念出发，逐步构建起群的代数结构。 第一章：代数结构与二元运算 我们首先回顾集合、函数以及二元运算的基本性质。重点讨论了封闭性、结合律和交换律。通过具体的例子，如整数加法、非零有理数的乘法，读者可以直观地理解代数结构的操作要求。 第二章：群的定义与基本性质 本章正式引入群（Group）的严格定义，包括单位元和逆元的存在性。详细论证了单位元和逆元的唯一性，这是群论中至关重要的初步结论。我们考察了有限群的阶（Order）的概念，并给出了最小群（平凡群）的例子。本章还涉及了群元素的幂次运算及其性质，为后续的子群研究做准备。 第三章：子群与陪集 子群（Subgroup）是群的重要组成部分。本章详细阐述了子群的判定准则，并介绍了常见的子群类型，如中心化子和正规化子。陪集（Coset）的引入是理解商群的关键。我们详尽讨论了左陪集与右陪集的定义、性质，特别是陪集之间的不交性。 第四章：拉格朗日定理及其推论 拉格朗日定理是有限群论的核心定理之一。本章首先证明了该定理，即有限群的任一子群的阶必整除群的阶。在此基础上，我们推导出一系列重要推论，包括：群中任一元素的阶必整除群的阶，以及任何素数阶的群必为循环群。这些推论极大地限制了有限群的可能性结构。 第二部分：同态、同构与特殊群类型 本部分将讨论群之间的关系，以及一些具有特定内在结构的群。 第五章：群同态与同构 群之间的映射——同态（Homomorphism）——是连接不同群结构的桥梁。本章定义了同态，并研究了其核（Kernel）和像（Image）的性质，证明了核是正规子群，像是一个子群。同构（Isomorphism）则描述了结构上完全相同的群。我们探讨了“同构的”这一概念的等价关系，并展示了如何利用同构来简化对复杂群的研究。 第六章：商群与第一同构定理 商群（Quotient Group）是通过将群的元素划分为陪集的集合构造出来的新群。本章首先需要理解正规子群（Normal Subgroup）的必要性，然后定义商群的乘法运算，并证明其运算的良定义性。随后，我们详细阐述了第一同构定理（First Isomorphism Theorem），这是群论中最强大的工具之一，它建立了商群与同态像之间的同构关系。 第七章：循环群与生成元 循环群（Cyclic Group）是最简单的群类型，由单个元素生成。本章深入研究了循环群的结构，证明了任一循环群都同构于整数加法群 $mathbb{Z}$ 或模 $n$ 整数加法群 $mathbb{Z}_n$。我们详细分析了循环群的子群结构，发现其子群是唯一的，且与生成元的阶数密切相关。 第八章：有限生成阿贝尔群结构定理（预备） 对于有限生成阿贝尔群（Abelian Group），我们引入了基本结构定理的初步概念。虽然没有深入到 Smith 标准型，但我们讨论了自由阿贝尔群的概念，并阐述了所有有限生成阿贝尔群都可以分解为循环群的直和（Direct Sum），这为理解更复杂的交换群结构奠定了基础。 第三部分：群的乘法结构与作用 本部分探讨了群元素的组合方式以及群如何作用于集合。 第九章：直积与半直积 本章区分了群的直积（Direct Product）和半直积（Semidirect Product）。直积的构造相对直接，但半直积的引入需要依赖于外自同构的概念，它描述了群如何“扭曲”地组合在一起。通过具体的例子，如二面体群 $D_n$ 和非阿贝尔群 $S_3$，我们展示了半直积在构造非阿贝尔群中的重要性。 第十章：群在集合上的作用 群作用（Group Action）是连接抽象代数与几何、组合学等领域的桥梁。本章定义了群作用的两个公理，并引入了轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。我们证明了轨道-稳定子定理，这是分析群作用强度的核心工具。 第十一章：柯西定理与西洛夫定理（引言） 本章介绍了关于素数幂阶子群存在的关键结果。柯西定理（Cauchy's Theorem）表明，如果素数 $p$ 整除有限群 $G$ 的阶，则 $G$ 必定存在阶为 $p$ 的元素（即子群）。随后，我们概述了西洛夫定理（Sylow's Theorems）的重要性，这些定理提供了关于群中最大 $p$-子群（Sylow $p$-Subgroups）存在的精确信息，是分析有限群结构的强大工具。 总结 本书的重点在于对群论概念的清晰界定、严格证明和广泛的代数应用。它为读者提供了一个严谨的框架，用以理解抽象代数中的基本构件，从而为未来探索更专门化领域（如李群、表示论或其他更高级的代数分支）做好充分的准备，但不包含任何关于特殊函数或李群表示论的具体内容。本书的叙述风格力求专业、详尽，注重概念的内在联系与逻辑推导。

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坦白说，这本书的内容深度是毋庸置疑的，但它的“目标受众”定位模糊不清。对于初级研究生而言，它太深奥、太缺乏引导性；对于顶尖专家而言，它可能又不够前沿和新颖。我希望书中能对“特殊函数”与李群表示之间的联系，比如如何利用超几何函数来构造特定群的表示，给出更现代的视角。然而，书中对特殊函数的处理，更像是引用它们作为已知工具，而不是深入探讨其与群表示理论的内在生成机制。这种处理方式使得本书在连接不同数学分支的交叉点上显得有些松散。它像是对两个独立领域的详尽总结，却未能成功地将它们有机地融合为一个统一的理论体系，这对于期望获得跨学科洞察的读者来说，是一个遗憾。

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我购买这本书的初衷是想深入了解如何利用表示论来理解微分几何中的一些核心概念，比如曲率的代数表示。然而，阅读过程中我发现，书中对“线性表示”的讨论停留在非常基础和抽象的代数层面，很少触及具体的流形结构。作者似乎更热衷于在有限维向量空间上搭建框架，而对于无限维表示，尤其是涉及希尔伯特空间上的酉表示时，讨论显得相对薄弱和不连贯。我特别关注了关于单位球上的函数空间与群作用的交互部分，期望看到一些关于玻尔兹木（Borel-Weil）定理的深入剖析，但很遗憾，书中对此的阐述非常简洁，更像是引言性的概述，而非深入的推导和应用实例。这使得这本书在连接纯代数表示论与分析几何的桥梁作用上，显得有些力不从心，更像是一本专注于“纯代数”部分的教科书。

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我拿起这本书时，本以为能找到一套系统化的、从基础到高级的李群表示论学习路径。结果发现，它的结构更像是一个成熟学者的个人笔记的汇编，重点突出但逻辑跳跃性强。比如，在某一章突然深入讨论了某个非常小众的、特定类型的李群的表示性质，而对更常用、更基础的SL(2,R)或SU(N)的表示理论却一带而过，没有给出足够深入的探讨。这种对“特殊”对象的偏爱，让普通学习者很难建立起一个稳固的整体框架。我必须承认，书中的某些定理证明非常优雅和简洁，体现了作者深厚的功底，但这种“只可意会不可言传”的叙述风格，大大增加了读者的理解门槛。最终感觉，这本书更适合已经对领域有深刻理解的人，用来查阅特定引理或证明的精确表述，而不是作为主要教材进行系统学习。

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这本书的排版和符号系统简直是一场视觉的挑战。大量的希腊字母、上下标和复杂的括号组合，使得即使是理解一个相对简单的定理，也需要反复对照上下文和符号索引。我感觉自己大部分时间不是在理解数学内容，而是在努力辨认作者究竟想表达哪个特定的算子或变换。更别提书中对例子的选取，那些抽象的、脱离实际物理背景的例子，使得理论的意义难以直观把握。例如，在讨论张量积分解时，虽然给出了公式推导，但缺少一个清晰的、可触摸的物理模型（比如角动量耦合），这让学习过程变得枯燥乏味。对于那些习惯了现代数学教材中清晰图示和精心设计的习题集的读者来说，这本书的风格会让人感到非常不适应，仿佛回到了上世纪中叶的数学著作风格。

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这本书的书名确实引人注目，但初次翻开，我还是被它深厚的理论底蕴和严谨的数学框架震慑住了。它似乎不是那种可以轻松入门的读物，更像是一份为资深研究者准备的详尽参考手册。我花了好大力气才啃下前几章的基础代数部分，发现作者对群论、李代数的处理方式非常古典且全面，但对于现代分析和几何学的视角着墨不多，这让我有些失望。举例来说，关于紧致群上的泛函分析工具，书中只是蜻蜓点水般提及，并没有深入探讨如何利用这些工具来构造特定的表示。如果读者期待的是像Folland或Stein那样，将分析的直觉与代数的结构紧密结合的叙述方式，这本书可能难以满足期望。它的重点似乎更偏向于代数结构本身的内在联系，而非这些结构在物理或几何应用中的具体实现路径。对于希望从零开始理解如何将李群理论应用于量子场论的读者来说，他们可能需要在其他地方寻找更具操作性的指南。

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