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出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Collins, William/ Cuevas, Gilbert/ Foster, Alan G./ Gordon, Berchie/ Moore-Harris, Beatrice/ Rath, J

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1997-1

价格:$ 171.76

装帧:HRD

isbn号码:9780028251363

丛书系列:

图书标签:

• 代数2
• 高中数学
• 二次函数
• 多项式
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数
• 复数
• 不等式
• 方程组

《数学之思：探索数学的奥秘与魅力》 本书并非一本关于代数Ⅱ的教科书。相反，它是一次对数学世界进行深度探索的旅程，旨在揭示数学的本质、发展以及它在人类认知和技术进步中所扮演的核心角色。本书将带领读者超越枯燥的公式和定理，去感受数学的逻辑之美、结构之精巧，以及它如何渗透到我们生活的方方面面，甚至是我们思考问题的方式之中。 引言：数学的召唤 我们生活在一个由数学构筑的世界。从古老的星象观测到现代的量子计算，从艺术的黄金分割到金融市场的风险评估，数学无处不在，如同空气般不可或缺。然而，对于许多人而言，数学往往与抽象、困难、甚至枯燥的符号联系在一起。本书的初衷，便是要打破这种刻板印象，重新点燃读者对数学的兴趣，展示它作为一种强大而迷人的智力工具的魅力。我们将从数学的起源出发，追溯它在不同文明中的萌芽与发展，理解它是如何从最初的计数与测量，演变成今天高度抽象和理论化的学科。我们将探讨数学不仅仅是数字的堆砌，更是逻辑推理、模式识别和问题解决的艺术。 第一章：数学的根基——逻辑与抽象 在深入探讨数学的各个分支之前，我们必须理解支撑这一切的基石：逻辑和抽象。本章将详细阐述数学的严谨性是如何建立在逻辑推理之上的。我们将介绍命题逻辑、谓词逻辑等基本概念，理解证明是如何通过一系列公理和推理规则构建起来的。本书将不仅仅停留在理论层面，还会通过一些简单的例子，例如古代的几何学证明，来直观地展示逻辑在数学中的应用。 随后，我们将聚焦于“抽象”这一数学的核心能力。数学的伟大之处在于它能够从具体的事物中提炼出普遍的规律。我们将会看到，数字本身就是一种抽象，它们从具体的物品数量中脱离出来，成为可以被自由操纵的符号。更进一步，函数、集合、空间等概念，都是数学家们为了解决更复杂的问题而不断抽象化的产物。本章将引导读者思考，为何抽象能力对于理解和创造新的数学理论至关重要，以及这种能力如何在其他领域（如科学、哲学）发挥作用。我们将通过一些历史上伟大的数学抽象实例，如数系的扩展（从自然数到复数），来展现抽象的强大力量。 第二章：结构的语言——代数与数论的深度漫游 虽然本书不是一本代数Ⅱ的教材，但它将深入探索代数及其近亲数论的精妙之处。代数，从根本上讲，就是研究数学结构及其运算规律的学科。本章将带领读者穿越代数的核心领域，理解变量、方程、函数等基本概念的深层含义。我们将不再局限于求解具体的数值，而是去理解方程组背后所代表的线性关系，去体会函数是如何描述事物之间相互依赖的。 数论，作为“数学的皇冠”，其悠久的历史和丰富的内涵同样会在此得到展现。我们将追溯素数的神奇性质，探讨哥德巴赫猜想等经典的未解之谜，理解模运算在现代密码学中的关键作用。本章的重点在于展示代数和数论如何提供强大的工具来分析和理解数字世界的内在规律。我们将探讨多项式函数的性质，理解群论、环论等抽象代数的基本思想，并说明它们如何在物理学、化学乃至生物学等领域找到应用。我们将通过一些历史性的数学突破，如费马大定理的证明过程，来揭示代数与数论的深邃与优雅。 第三章：空间的几何——从欧几里得到非欧几里得的飞跃 几何学是人类最早发展的数学分支之一，它关乎形状、大小、位置和空间。本章将带领读者回顾欧几里得几何的经典之美，理解点、线、面、角等基本元素的定义，以及勾股定理等永恒的真理。我们将探讨几何学如何为我们理解物理世界提供直观的框架，从建筑设计到天体运行，几何学的原理无处不在。 然而，数学的魅力远不止于此。本书将进一步介绍非欧几里得几何的诞生，以及它如何彻底颠覆了我们对空间的认知。我们将简要介绍黎曼几何和双曲几何，并解释它们是如何在爱因斯坦的广义相对论中扮演至关重要的角色的。通过对比不同几何体系下的定理和结论，读者将深刻理解数学的灵活性和创造性，以及它如何能够构建出超出我们日常经验的抽象空间。本章还将涉及三维几何、拓扑学等内容，展示几何学在现代科学研究中的广泛应用，如在计算机图形学、医学成像等领域。 第四章：变化的学问——微积分与概率的动态视角 数学不仅仅描述静态的结构，更能捕捉动态的变化。微积分，作为17世纪的伟大革命，为我们提供了分析变化率和累积量的强大工具。本章将深入浅出地介绍导数和积分的概念，以及它们如何能够描述速度、加速度、面积、体积等随时间或空间变化的量。我们将看到，微积分不仅是工程和物理学的基石，更是理解经济学、生物学等学科模型不可或缺的语言。 与此同时，概率论则为我们认识不确定性和随机性提供了数学框架。我们将探讨概率的基本原理，理解随机事件的发生规律，以及期望值、方差等统计量的意义。本书将通过一些生动的例子，例如掷骰子、抽奖等，来展示概率论的应用，并进一步介绍数理统计，说明如何从数据中提取有用的信息，并做出合理的推断。我们将探讨中心极限定理等核心概念，并解释它们在大数据分析、金融风险管理等现代科学技术中的重要性。 第五章：连接的艺术——图论与组合数学的思维模型 在现代社会，我们越来越频繁地接触到“网络”的概念，无论是社交网络、交通网络还是信息网络。图论，作为研究对象之间关系的学科，为我们提供了一种理解这些复杂连接的强大工具。本章将介绍图、顶点、边等基本概念，以及如何使用图论来解决诸如最短路径、网络流量分配等问题。 组合数学则关注对象的计数和排列组合。我们将探讨各种计数原理，理解排列、组合的计算方法，并看到它们在解决许多实际问题中的应用，例如在计算机科学中的算法设计，以及在生物学中的基因序列分析。本书将通过一些有趣的组合问题，如“尼姆游戏”的策略分析，来展现组合数学的智慧和趣味性。我们将深入探讨生成函数、 Pólya 计数定理等更高级的概念，展示组合数学在离散数学和理论计算机科学中的核心地位。 第六章：数学的边界与未来——探索未知领域 数学的发展从未停止。本书的最后一章将带领读者展望数学的当前研究前沿和未来的发展方向。我们将简要介绍一些活跃的研究领域，例如混沌理论、分形几何、计算数学、人工智能中的数学基础等。我们将探讨数学在解决当今世界面临的重大挑战，如气候变化、疾病传播、信息安全等问题中所扮演的角色。 本章还将讨论数学证明的新方法和新工具，以及数学与其他学科的交叉融合所带来的新机遇。我们将思考，在计算能力日益强大的今天，数学家的角色是否会发生改变，以及未来的数学研究将如何继续拓展人类认知的边界。本书旨在激发读者对数学的持续好奇心，鼓励大家以开放的心态去拥抱数学的无限可能。 结语：数学，通往理解世界的钥匙 《数学之思》之旅即将结束，但数学的探索永无止境。本书并非旨在教授读者某种特定的数学技能，而是希望能够点燃大家对数学的兴趣，培养一种数学思维方式——一种严谨、逻辑、抽象且富于创造性的思维方式。我们相信，理解数学，就是理解我们所处的世界。它不仅是科学技术的驱动力，更是我们认识世界、解决问题、乃至升华思想的强大工具。希望本书能够成为您打开数学之门的一把钥匙，陪伴您在探索数学奥秘的旅程中，收获智慧与启迪。

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