目 錄
第一部分 綫性代數

第1章 行列式 2
1.1 行列式的標誌 2
1.2 行列式的本質 2
1.3 行列式的基本計算方法 3
1.3.1 特殊行列式的計算 3
1.3.2 一般行列式的計算 5
1.4 行列式的五條性質 7
1.5 剋拉默法則 10
1.6 矩陣 12
1.7 矩陣的運算 13
1.7.1 矩陣與矩陣相加 13
1.7.2 數字與矩陣相乘 13
1.7.3 矩陣與矩陣相乘 13
1.8 矩陣的轉置 15
1.9 方陣、對角矩陣、單位矩陣、逆矩陣 16
1.9.1 方陣 16
1.9.2 對角矩陣 16
1.9.3 單位矩陣 16
1.9.4 逆矩陣 16
1.10 矩陣的嚮量錶示法 17
1.11 關於代數餘子式的三句話 18
1.11.1 第一句話 18
1.11.2 第二句話 18
1.11.3 第三句話 19
1.12 剋拉默法則的推論 20
1.12.1 第一個充分必要條件 21
1.12.2 第二個充分必要條件 22
1.12.3 第三個充分必要條件 22
1.12.4 第四個充分必要條件 22
1.13 關於行列式的兩種計算題 25
1.13.1 抽象行列式的計算 25
1.13.2 具體行列式的計算 26
1.14 貫穿考研試題的思維定式 37
第2章 矩陣 39
2.1 矩陣的初等變換 39
2.2 初等矩陣 39
2.3 矩陣的秩 40
2.3.1 矩陣子式的定義 40
2.3.2 矩陣秩的定義 42
2.3.3 利用初等行變換來求矩陣的秩 42
2.4 第一個大總結 46
2.5 第二個大總結 47
2.6 矩陣乘法的兩條定律 49
2.6.1 矩陣乘法滿足結閤律 49
2.6.2 矩陣乘法對矩陣加減法滿足分配律 49
2.7 可交換的矩陣相乘特例 49
2.8 關於矩陣轉置的四個公式 49
2.9 關於矩陣可逆的六個公式 50
2.10 可逆矩陣、初等變換、初等矩陣、
矩陣秩之間的關係及等價矩陣 53
2.10.1 可逆矩陣與初等矩陣的關係 53
2.10.2 初等矩陣與初等變換的關係 53
2.10.3 初等變換與矩陣的秩的關係 54
2.10.4 初等矩陣的逆矩陣 55
2.10.5 等價矩陣 56
2.11 分塊矩陣及一些知識點的深化 57
2.11.1 分塊矩陣 57
2.11.2 反對稱矩陣 57
2.11.3 求一個矩陣的逆矩陣 58
2.11.4 特殊分塊矩陣的逆矩陣 61
2.11.5 求一個矩陣的若乾次冪 63
第3章 嚮量 67
3.1 嚮量與嚮量組的基本概念 67
3.2 綫性錶齣的概念 67
3.3 綫性相關與綫性無關的概念 68
3.4 最大無關組 69
3.5 “嚮量組的秩”的概念 69
3.6 “嚮量組的秩”與“矩陣的秩”的關係 69
3.7 綫性錶齣的推廣 70
3.8 等價嚮量組 71
3.9 關於綫性相/無關要記的幾個結論 71
3.10 方程組的求解 72
3.10.1 求齊次方程組的通解 73
3.10.2 求非齊次方程組的通解 77
3.11 五個重要的定理 80
3.11.1 定理1 80
3.11.2 定理2 81
3.11.3 定理3 81
3.11.4 定理4 84
3.11.5 定理5 85
3.11.6 真題分析 85
3.12 綫性錶齣的本質 87
3.13 初等行變換前後相應的列嚮量組的
綫性相關性 87
3.14 與秩有關的八個公式 89
3.15 嚮量空間 91
3.15.1 嚮量空間，基，維數，坐標 91
3.15.2 基變換公式 92
3.15.3 正交嚮量，正交矩陣，正交化 94
3.16 綫性相/無關的證明題 99
3.16.1 方法1 99
3.16.2 方法2 99
第4章 解綫性方程組 102
4.1 求兩個方程組的公共解 102
4.2 同解方程組的證明 104
4.2.1 方法1 104
4.2.2 方法2 105
4.3 已知齊次方程組的基礎解係，
反求齊次方程組 107
4.4 綫性方程組解的性質 107
4.5 由方程組中參數的取值判斷解的類型 110
4.6 已知方程組解的類型，求方程組中的參數 113
第5章 特徵值、特徵嚮量、相似矩陣 115
5.1 特徵值、特徵嚮量的基本概念 115
5.2 特徵值、特徵嚮量的計算方法 115
5.3 對稱矩陣、正交矩陣的復習 118
5.4 矩陣有多少個特徵值為零 119
5.5 相似矩陣 120
5.6 對角化 120
5.7 閤同矩陣 120
5.8 證明兩個矩陣有相同的特徵值 121
5.9 幾個需要記住的結論 122
5.9.1 結論1 122
5.9.2 結論2 122
5.9.3 結論3 122
5.9.4 結論4 123
5.10 與特徵嚮量有關的證明題通常
會用到反證法 123
5.11 由A的特徵值、特徵嚮量推A的
多項式的特徵值、特徵嚮量 124
5.12 怎樣的方陣可以對角化 125
5.13 若方陣可以對角化，Λ和P怎麼求 128
5.14 關於相似矩陣的五個小結論 132
5.15 實對稱陣的兩個來自不同特徵值的
特徵嚮量必正交 132
5.16 實對稱陣一定可以相似於對角矩陣 133
5.17 實對稱陣一定可以閤同於對角矩陣 138
第6章 二次型 141
6.1 二次型的定義 141
6.2 二次型的對應矩陣 141
6.3 利用矩陣乘法來錶示二次型 142
6.4 標準形 143
6.5 規範形 143
6.6 化二次型為標準形 143
6.7 閤同二次型 144
6.8 正定二次型、正定矩陣 144
6.9 用正交變換法化二次型為標準形 144
6.10 用配方法化二次型為標準形 148
6.11 兩個對稱矩陣閤同的充分必要條件 150
6.12 正定二次型、正定矩陣的證明方法 151
6.12.1 正定矩陣的證明方法 151
6.12.2 正定二次型的證明方法 154

第二部分 高等數學

第1章 極限與連續 156
1.1 極限長什麼樣 156
1.2 極限的計算方法 156
1.2.1 函數的極限的計算方法 156
1.2.2 數列的極限的計算方法 206
1.3 三個小技巧 225
1.3.1 第一個小技巧 225
1.3.2 第二個小技巧 226
1.3.3 第三個小技巧 229
1.4 極限的定義 230
1.4.1 數列的極限的定義 231
1.4.2 趨於無窮大時函數的極限的定義 233
1.4.3 趨於定點時函數的極限的定義 234
1.5 函數的連續性與間斷點 236
1.5.1 函數的連續性 236
1.5.2 函數的間斷點 243
1.6 無窮小、同階無窮小、等階無窮小、
高階無窮小、低階無窮小、k階無窮小 247
1.6.1 無窮小 247
1.6.2 同階無窮小 247
1.6.3 等價無窮小 248
1.6.4 高階無窮小 248

1.6.5 低階無窮小 250
1.6.6 k階無窮小 250
1.7 兩個常用的結論 250
1.8 函數的極限存在性 252
1.8.1 函數和差的極限存在性 252
1.8.2 函數乘積的極限存在性 253
1.9 已知一極限求另外一極限 254
1.10 求以數列極限的形式給齣來的
函數f(x)的錶達式 260
1.11 函數極限的保號性 267
1.11.1 趨於無窮型的函數極限的保號性 267
1.11.2 趨於無窮型的函數極限的保號性
的推論 268
1.11.3 趨於定點型的函數極限的保號性 269
1.11.4 趨於定點型的函數極限的保號性
的推論 269
1.12 函數極限與數列極限的相互轉化 271
1.12.1 函數極限轉化為數列極限 271
1.12.2 數列極限轉化為函數極限 274
第2章 導數與微分 277
2.1 可導的定義 277
2.1.1 函數在某一點處可導的定義 277
2.1.2 函數在某一點處左/右可導的定義 282
2.1.3 函數在某區間可導的定義 293
2.2 常用的導數公式 295
2.2.1 基本初等函數的導數公式 296
2.2.2 導數的四則運算法則 297
2.2.3 復閤函數的導數公式 297
2.2.4 冪指函數求導 298
2.3 可微的定義 299
2.4 可微、可導、連續三者的關係 300
2.5 很重要的四個知識點 303
2.5.1 第一個知識點 303
2.5.2 第二個知識點 303
2.5.3 第三個知識點 311
2.5.4 第四個知識點 314
2.6 高階導推低階導 315
2.7 求某函數的高階導數的方法 315
2.8 求麯綫的漸近綫 318
2.9 分段函數求導 323
第3章 微分中值定理及其應用 329
3.1 求函數在給定區間的單調性 329
3.2 求函數的單調區間 329
3.3 求函數的極值點與極值 331
3.4 求函數在給定區間的凹凸性 333
3.5 求函數的凹凸區間 334
3.6 求函數的拐點 336
3.7 與極值點和拐點有關的一個重要結論 340
3.8 求函數在給定區間的最值 341
3.9 求兩個函數的交點個數或求一個方程的
實根個數 345
3.10 證明恒等式 348
3.11 證明不等式 353
3.12 證明零點問題 360
第4章 一元函數積分學 371
4.1 原函數與不定積分 371
4.1.1 原函數 371
4.1.2 不定積分 371
4.2 不定積分長什麼樣 372
4.3 定積分和反常積分長什麼樣 372
4.4 不定積分和定積分的計算方法 374
4.4.1 不定積分的計算方法 374
4.4.2 定積分的計算方法 409
4.5 反常積分的計算方法 414
4.6 定積分的應用 422
4.6.1 利用定積分求麵積 422
4.6.2 利用定積分求鏇轉體的體積 426
4.7 求被積函數中含絕對值的定積分與
反常積分 434
4.8 兩個重要知識點 435
4.8.1 原函數的存在性 435
4.8.2 對稱區間上奇偶函數的定積分與
反常積分 440
第5章 微分方程 445
5.1 微分方程什麼樣 445
5.2 微分方程的階 446
5.3 微分方程的解 447
5.4 微分方程的通解 448
5.5 微分方程的初始條件與微分方程的特解 448
5.6 求一階微分方程的通解的方法 448
5.6.1 可分離變量法 448
5.6.2 換元法 451
5.6.3 公式法 454
5.6.4 伯努利法 457
5.6.5 變量代換法 459
5.7 求二階常係數綫性微分方程的通解的方法 459
5.7.1 求二階常係數齊次綫性微分
方程的通解的方法 460
5.7.2 求二階常係數非齊次綫性微分
方程的通解的方法 461
5.8 求二階變係數微分方程的通解的方法 464
5.8.1 求不含y的二階變係數微分
方程的通解的方法 464
5.8.2 求不含x的二階變係數微分
方程的通解的方法 464
5.9 綫性微分方程解的性質與結構 465
第6章 多元函數微分學 468
6.1 什麼叫多元函數 468
6.2 二元函數的極限計算方法 468
6.3 二元函數的連續性 475
6.4 可偏導的定義 477
6.4.1 函數在某一點處可偏導的定義 477
6.4.2 函數在某區間可偏導的定義 482
6.5 利用公式求 483
6.5.1 當“ ”是單一的字母時
的求法 483
6.5.2 當“ ”不是單一的字母時
的求法 498
6.6 分段函數求偏導 503
6.7 抽象函數求偏導 511
6.8 二元函數的極值、最值、條件極值 519
6.8.1 二元函數的極值 519
6.8.2 二元函數的最值 522
6.8.3 條件極值 523
6.9 求空間麯綫的切綫與法平麵以及
求麯麵的法綫與切平麵 526
6.9.1 求空間麯綫的切綫與法平麵 526
6.9.2 求麯麵的法綫與切平麵 529
第7章 二重積分 533
7.1 二重積分的形式 533
7.2 當被積函數為1時二重積分的意義 534
7.3 二重積分的計算方法 536
7.4 二重積分的三條性質 561
7.5 二重積分是一個數 565
7.6 求解被積函數中含絕對值的二重積分 566
7.7 二重積分的對稱性 577
7.8 二重積分的輪換對稱性 582
7.9 “先x後y型”二重積分與“先y後x型”
二重積分的相互轉化 584
7.10 計算二重積分時的一個小技巧 586
7.11 均勻薄片的形心 587
第8章 無窮級數 589
8.1 什麼叫常數項級數 589
8.2 常數項級數的分類 590
8.3 常數項級數的收斂與發散 594
8.4 常數項級數的六個重要性質 595
8.5 什麼叫冪級數 598
8.6 冪級數的收斂域與和函數 599
8.6.1 冪級數的收斂域 599
8.6.2 冪級數的和函數 599
8.7 正項級數的斂散性判彆 600
8.8 交錯級數的斂散性判彆 609
8.9 一般級數的斂散性判彆 613
8.10 求冪級數的收斂域 614
8.11 求冪級數的和函數 621

第三部分 概率論與數理統計

第1章 隨機事件和概率 628
1.1 隨機試驗 628
1.2 樣本空間 628
1.3 樣本點 629
1.4 隨機事件 629
1.5 隨機事件之間的關係 630
1.6 隨機事件的概率 631
1.7 兩種特殊的隨機事件 631
1.8 互斥 632
1.8.1 兩個隨機事件互斥 632
1.8.2 兩個隨機事件對立 632
1.9 相互獨立 633
1.9.1 兩個隨機事件相互獨立 633
1.9.2 三個隨機事件相互獨立 633
1.9.3 多於三個隨機事件相互獨立 633
1.10 關於互斥、相互獨立的進一步討論 633
1.11 三大公式 633
1.12 四條算律 637
1.13 與概率有關的應用題 641
1.13.1 第一類與概率有關的應用題
——幾何概型 641
1.13.2 第二類與概率有關的應用題
——伯努利概型 647
1.13.3 第三類與概率有關的應用題
——全概率概型與貝葉斯概型 650
第2章 隨機變量及其概率分布 657
2.1 為什麼要引入隨機變量 657
2.2 隨機變量的定義 657
2.3 分布函數的定義 658
2.4 概率密度函數的定義 659
2.5 隨機變量的分類 663
2.5.1 離散型隨機變量 663
2.5.2 連續型隨機變量 666
2.5.3 混閤型隨機變量 668
2.6 三條重要結論 668
2.7 分布律 673
2.8 F(x)為某一隨機變量的分布函數的
充要條件 676

2.9 通過分布函數求概率 681
2.10 f(x)為某一隨機變量的概率密度函數
的充要條件 684
2.11 通過概率密度函數求概率 687
2.12 常用分布 692
2.12.1 二項分布 692
2.12.2 泊鬆分布 694
2.12.3 幾何分布 696
2.12.4 均勻分布 697
2.12.5 指數分布 700
2.12.6 正態分布 701
2.13 隨機變量函數的分布 705
第3章 二維隨機變量及其分布 710
3.1 二維隨機變量的聯閤分布律、
邊緣分布律、條件分布律 710
3.2 二維隨機變量的聯閤分布函數、
邊緣分布函數 714
3.3 二維隨機變量的聯閤概率密度函數、
邊緣概率密度函數、條件概率密度函數 716
3.4 通過聯閤概率密度函數f(x,y)求概率 729
3.5 二維均勻分布 732
3.6 隨機變量的獨立性 735
3.7 兩個隨機變量函數的分布 738
3.8 2分布、t分布、F分布 745
3.8.1 2（讀作“kài方”）分布 745
3.8.2 t分布 747
3.8.3 F分布 748
第4章 隨機變量的數字特徵 749
4.1 數學期望的基本計算方法 749
4.2 數學期望的性質 753
4.3 方差的基本計算方法 758
4.4 方差的性質 761
4.5 常見分布的數學期望與方差 764
4.6 協方差與相關係數 767
4.6.1 協方差 767
4.6.2 相關係數 769
第5章 大數定律和中心極限定理 772
5.1 切比雪夫不等式 772
5.2 辛欽大數定律 773
5.3 列維林德伯格定理（中心極限定理） 774
第6章 數理統計的基本概念 775
6.1 五個名詞 775
6.2 與 和S2有關的三條性質 775
6.3 與正態總體有關的四條結論 776
第7章 參數估計 778
7.1 無偏估計 778
7.2 矩估計 779
7.3 最大似然估計 782
7.4 置信區間 786
· · · · · · (收起)