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出版者:Princeton University Press

作者:John Stillwell

出品人:

页数:440

译者:

出版时间:2016-5-31

价格:USD 39.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691171685

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• 数学
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《数学要素：探索严谨与抽象的基石》 本书是一部献给所有对数学本质及其严谨推理体系充满好奇的读者的深度导览。它并非聚焦于某一套特定的数学教材或某一领域的具体应用，而是着眼于那些贯穿整个数学学科的普适性概念、思维方式和构建方法。我们将一起踏上一段探索之旅，揭示支撑起从基础算术到高等抽象数学的那些核心“要素”。 首先，本书将深入剖析“定义”在数学王国中的至高无上地位。每一个数学对象，无论是数字、集合、函数，还是更复杂的结构，其精确的定义都是其存在的基石。我们将探讨如何构建清晰、无歧义且自洽的定义，以及这些定义如何引导我们理解和操作数学概念。从“自然数”的朴素定义到“群”、“环”、“域”等抽象代数结构的严格刻画，本书将展示定义是如何塑造数学理论的骨架。 其次，本书将详细阐述“公理”作为数学大厦的基石。公理是无需证明即可接受的初始命题，它们为整个数学体系提供了起点和逻辑基础。我们将讨论不同数学分支中的经典公理系统，例如欧几里得几何的公理，以及它们如何通过演绎推理构建出庞大的定理网络。本书将强调公理的选择对数学发展可能产生的深远影响，以及“独立性”、“一致性”和“完备性”等公理系统应具备的重要属性。 紧接着，我们将聚焦于“证明”这一数学的核心活动。本书将带领读者领略证明的力量与艺术，从基本的逻辑推理技巧，如演绎、归纳、反证法，到更复杂的证明策略。我们将分析证明的结构，理解如何将一个复杂的数学问题分解为一系列逻辑上不可动摇的步骤。本书将通过一系列经典的数学证明范例，展示数学家们如何以严密的逻辑和深刻的洞察力，将猜想转化为已被证明的真理，从而拓展人类的认知边界。 本书还将深入探讨“符号”和“语言”在数学中的关键作用。数学作为一种高度抽象的学科，其强大的表达能力很大程度上依赖于精炼、规范的符号系统和精确的数学语言。我们将审视数学符号如何作为概念的浓缩，以及如何通过形式化的语言来消除模糊性，实现跨越地域和文化的交流。从基础的算术符号到集合论、逻辑学中的专门符号，本书将揭示符号和语言如何成为我们理解和操纵抽象概念的有力工具。 此外，本书还将触及“结构”这一重要概念。数学并非仅仅是孤立的定理或公式的集合，而是一个由相互关联的结构组成的网络。我们将探索不同数学结构之间的联系，例如代数结构（群、环、域）、几何结构（欧几里得空间、流形）、拓扑结构等，并理解同构、同态等概念如何帮助我们发现不同领域之间的共性。通过对结构的理解，我们可以将一个领域的知识迁移到另一个领域，发现更深层次的数学统一性。 最后，本书还将展望数学的“抽象化”趋势。随着数学的发展，我们发现越来越多的数学概念可以从具体的对象中抽离出来，形成更加普遍的、抽象的理论。这种抽象化不仅简化了问题，也为数学的进一步发展开辟了更广阔的空间。我们将探讨抽象化如何帮助数学家解决更广泛的问题，并理解其在现代数学研究中的核心地位。 《数学要素：探索严谨与抽象的基石》旨在为读者构建一个坚实的数学思维框架，培养严谨的逻辑推理能力，并激发对数学深邃之美的探索欲望。本书适合作为学习任何数学分支的预备读物，或作为对数学本质进行哲学性思考的绝佳伴侣。它将带领您领略数学的逻辑之美、结构之妙，以及其作为理解世界终极语言的独特魅力。

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拿到《Elements of Mathematics》的那一刻，我的心情是既兴奋又有些忐忑。我一直对数学充满好奇，但总觉得自己基础不够扎实，很多概念像是隔了一层纱，看不真切。这本书的出现，就像是一束光，照亮了我对数学探索的道路。我尤其对书中关于逻辑和证明的部分抱有极大的期待。在我看来，数学的魅力很大一部分在于它的严谨性和条理性，而逻辑和证明正是支撑起这一切的基石。我希望这本书能够教会我如何构建一个清晰的数学证明，如何识别一个逻辑上的谬误，以及如何用严谨的数学语言去表达自己的思想。想象一下，能够像数学家那样，一步步地从公理出发，推导出令人惊叹的结论，那该是多么令人愉悦的事情。我也想了解数学的“语言”是如何形成的，那些符号和术语背后蕴含着怎样的意义和约定。我希望这本书能为我打开一扇门，让我能够理解数学家的思维方式，并且能够欣赏数学的内在美。即便我无法掌握所有的证明技巧，但至少，我希望能对数学的推理过程有一个更深刻的理解，能够欣赏数学的逻辑之美。

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我购买《Elements of Mathematics》更多的是出于一种“拓展边界”的心态。我是一名作家，我的工作需要我具备丰富的想象力和敏锐的观察力，但我同时也深知，科学和数学能够为我的创作提供深刻的洞察力和严谨的结构。我希望这本书能够为我提供一些抽象的数学思维模式，这些模式或许能够帮助我构建更复杂的情节，设计更精妙的人物关系，甚至是在文字的运用上，也能借鉴数学的逻辑和简洁。我期待书中能够有一些关于“美”在数学中的体现的讨论，比如黄金分割，比如对称性，这些概念在艺术和文学中也同样重要。我希望这本书能够让我看到数学与艺术之间微妙的联系，并且能够从中获得创作的灵感。我并不奢望能完全理解书中的每一个公式，但我相信，即使是片段式的理解，也能为我的思维带来新的维度。

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阅读《Elements of Mathematics》对我来说，更像是一种精神上的回归。我曾经在大学里接触过一些数学课程，但由于种种原因，并没有深入学习。现在，随着年龄的增长，我对知识的渴望更加强烈，特别是对那些能够构建清晰思维体系的学科。数学无疑是其中最重要的一个。我希望这本书能够帮助我重拾那些曾经被遗忘的数学知识，并且能够以一种全新的、更成熟的心态去理解它们。我想要了解数学的发展史，那些伟大的数学家是如何在历史的洪流中探索真理的。我希望书中能够有一些关于数学思想演变的讨论，比如从毕达哥拉斯学派的神秘主义到现代数学的抽象化，这个过程是如何发生的？我对那些关于“数学是什么”的哲学思考也颇感兴趣。我希望这本书能够提供一些引人深思的观点，让我能够理解数学的本质，以及它在人类认知世界过程中的独特作用。

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《Elements of Mathematics》这本书，对我来说，是一个关于“探索”的故事。我一直对那些看似简单却蕴含着深刻道理的概念着迷，比如素数，比如圆周率。我希望这本书能够深入浅出地解释这些数学基础概念的由来和意义，并且能够引导我去思考它们背后更广阔的数学世界。我对于书中关于“不完备性定理”的阐述尤为期待，那个关于数学系统终究无法自我证明所有真理的观点，一直让我感到既震撼又着迷。我想了解这个定理是如何被发现的，它对我们理解知识的边界有什么影响？我也想知道，除了这些理论上的突破，数学在实际生活中的一些“趣味应用”，比如密码学，比如博弈论，这些我都能在书中找到一些基础性的介绍吗？我希望这本书能够让我对数学有一个更全面的认识，不只是公式和定理，更是关于数学的智慧和它的可能性。

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我对《Elements of Mathematics》的期待，更多地在于它能否“打开我的思路”。我是一名程序员，我工作中需要大量的逻辑思维和问题解决能力。虽然我已经掌握了一些编程语言，但我总觉得在思维的深度和广度上还有提升的空间。我希望这本书能够为我提供一些数学上的“工具箱”，让我能够更好地运用逻辑和算法来解决实际问题。我尤其希望看到书中关于“计算的数学”的介绍，比如复杂度理论，比如图论，这些概念在计算机科学中有着广泛的应用。我希望这本书能帮助我理解这些理论的数学基础，并且能够从中获得更深入的优化思路。我也想了解数学的“简洁性”是如何被追求的，以及那些优雅的数学证明是如何产生的。我希望这本书能让我在编程的世界里，也能感受到数学的严谨和美妙。

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《Elements of Mathematics》这本书，对我来说，是一种“唤醒”。我曾经在某个时期，对数学产生了浓厚的兴趣，但由于生活中的各种琐事，这种兴趣被慢慢消磨了。现在，当我重新看到这本书时，那些曾经的激情又被点燃了。我希望这本书能够帮助我找回对数学的热情，并且能够以一种更成熟、更理性的方式去探索它。我特别想了解书中关于“数学的边界”的讨论，那些我们尚未理解的领域，那些未解决的难题，以及数学家们是如何去面对这些挑战的。我希望这本书能够激发我对未知领域的探索欲，让我明白学习数学是一个永无止境的过程。我也想知道，数学在“宇宙的语言”中扮演着怎样的角色，那些描述宇宙运行规律的公式，是否就是数学最深层的体现？我希望这本书能够让我对数学产生一种敬畏之心，并且能够让我明白，数学不仅仅是一门学科，更是一种理解世界的方式。

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我选择《Elements of Mathematics》，是因为我一直以来都对数学背后的“规律性”感到着迷。从自然界的各种现象，到人类社会的组织方式，似乎都隐藏着某种数学的逻辑。我希望这本书能够帮助我揭示这些隐藏的规律，让我能够从一个更宏观的视角去理解世界。我尤其对书中关于“抽象化”的过程感兴趣，数学是如何将具体的概念转化为普遍适用的模型？比如，从数数到代数，这个过程是如何发生的？我希望书中能够有清晰的解释，并且通过一些历史的例子来佐证。我还想了解数学的“连续性”和“离散性”是如何被区分和运用的，以及它们各自在不同领域扮演的角色。我期待这本书能为我提供一种“数学的思维训练”，让我能够以更严谨、更有逻辑的方式去分析问题，并且能够从中找到解决问题的“最优解”。

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这本书的封面设计就给我一种沉静而深刻的感觉，这让我对《Elements of Mathematics》的内容充满了好奇。我并不是一个纯粹的数学爱好者，我的兴趣更多地在于数学与其他学科的交叉，尤其是它在物理学、计算机科学以及经济学中的应用。我希望这本书能够提供一个坚实的数学基础，让我能够更深入地理解这些应用领域的原理。我特别希望能看到书中对某些基本数学概念的“故事性”的阐述，比如黎曼几何如何改变了我们对空间的认知，比如概率论如何被用来理解混沌现象。我希望它能不仅仅是枯燥的公式，而是能通过历史的视角，通过实际的例子，来展示数学的生命力。我期待这本书能够拓宽我的视野，让我明白数学并非只存在于象牙塔中，而是渗透到我们生活的方方面面，并且是驱动现代科技进步的关键力量。我希望它能帮助我理解那些在科研论文中经常出现的数学工具，从而能够更有效地学习和研究我感兴趣的领域。

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《Elements of Mathematics》这本书，对我而言，是一次关于“理解”的旅程。我一直觉得，很多时候我们学习数学，只是为了应付考试，而忽略了它本身的美和意义。我希望这本书能够帮助我重新认识数学，并且能够以一种更积极、更有主动性的方式去学习它。我期待书中能够有一些关于“数学的直觉”的讨论，那些伟大的数学家是如何产生灵感的？数学的直觉和逻辑推理之间是什么关系？我希望这本书能够帮助我培养这种直觉，让我不再畏惧那些复杂的公式，而是能够从中感受到数学的生命力。我也想了解数学是如何随着人类文明的发展而演变的，哪些数学概念是永恒的，哪些又是在特定历史时期出现的？我希望这本书能让我看到数学的“进化史”，并且能够理解它在人类知识体系中的重要地位。

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这本书，或者说它所承诺的“数学要素”，吸引我纯粹是因为它的书名。我并非数学专业的学生，甚至可以说对数学的理解还停留在高中时代，那些代数、几何的符号和定理，对我而言既是挑战也是一种遥不可及的美丽。当我第一次在书店的架子上看到《Elements of Mathematics》时，它就如同一个低语，承诺着一种更深层次的理解，一种能够穿透表面浮华、直抵数学核心的洞察力。我并非期待这本书能让我成为一个数学家，那太不现实了，但我想从中获得的是一种清晰的脉络，一种能够理解数学如何构建、如何演进的宏观视角。我知道数学并非仅仅是计算的堆砌，它更是一种逻辑的艺术，一种思想的体操，而我希望能通过这本书，能够窥见这门古老而又永恒的艺术的精髓。我期待它能帮助我梳理那些曾经模糊不清的概念，比如集合论的起源，比如微积分的直观意义，亦或是数论中的那些令人着迷的猜想。我希望这本书不仅仅是公式和定理的罗列，更是一种思想的引导，它能够引导我思考数学背后的哲学，理解数学语言的严谨性，以及数学在人类文明发展中所扮演的关键角色。读完之后，我希望我能更有信心地去面对那些看起来令人生畏的数学文章，能够理解那些更高级的数学理论，至少，能够对数学这门学科产生更深切的敬意和热爱。

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逻辑部分基本都跳过了

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逻辑部分基本都跳过了