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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Maxfield, Clive/ Brown, Alvin

出品人:

页数:464

译者:

出版时间:2005-9

价格:347.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780471732785

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《深入理解现代计算的数学基础》 一部面向严肃学习者和专业人士的数学理论指南 本书旨在为那些渴望超越表层应用，深入理解现代计算机科学、工程学以及相关领域底层数学原理的读者提供一本全面而严谨的参考著作。它不是一本关于特定编程语言或软件工具的速成手册，而是一部聚焦于支撑所有计算过程的纯粹数学结构与逻辑的深度探索。 核心内容聚焦： 本书的结构清晰地划分为若干关键部分，每一部分都建立在前一部分的数学基础上，共同构建起一个坚实的理论框架。 第一部分：离散结构与组合学基础 本部分从现代数学中最为核心的离散结构入手，为后续的算法分析和数据结构设计奠定基础。 1. 集合论与逻辑系统重述： 我们将回顾 ZFC 公理体系下集合论的严格定义，并深入探讨命题逻辑、一阶逻辑及其在计算语境中的表达能力与局限性。重点分析了递归可定义性（Recursive Definability）的初步概念。 2. 图论的拓扑与代数视角： 不仅仅停留在图的遍历和连通性，本书深入探讨了图的代数表示法，包括邻接矩阵、拉普拉斯矩阵，以及它们在谱图理论（Spectral Graph Theory）中的应用。我们将分析布尔代数在路径查找和网络流问题中的应用模型。 3. 组合分析的精确计算： 这一章详尽阐述了排列组合的生成函数（Generating Functions）方法，特别关注指数生成函数在处理带标签对象时的强大威力。我们还会对鸽巢原理（Pigeonhole Principle）进行高级变体探讨，并引入概率方法在证明组合存在性时的严格用法。 第二部分：代数结构与编码理论 计算机的本质是信息的处理与传输，这离不开对代数结构（如群、环、域）的深刻理解。 1. 抽象代数在密码学中的根基： 详细解析有限域（Galois Fields，GF($2^n$)）的构造与运算，这是现代对称加密算法（如AES）和纠错码的基石。我们对模运算的性质及其在扩散和混淆过程中的作用进行几何解释。 2. 环论与多项式运算： 考察多项式环，特别是在有限域上的运算，这对于快速傅里叶变换（FFT）的实现和代数几何编码（Algebraic-Geometric Codes）的理论基础至关重要。 3. 线性代数的高维扩展： 本章超越了 $R^n$ 空间，转向复数域和有限域上的矩阵理论。重点讨论矩阵的Jordan标准型在动力系统分析中的意义，以及如何利用奇异值分解（SVD）在信息检索和数据降维中实现最优近似。 第三部分：分析学与计算的极限 本部分将计算问题置于连续变量和无穷过程的框架下进行考察，探讨算法的效率边界。 1. 实分析与数值稳定性： 讨论连续函数、极限和积分的严格定义，并将其应用于数值分析的核心问题。深入探讨浮点数的IEEE 754标准背后的数学原理，分析舍入误差的累积效应，并介绍稳定算法的设计原则，例如对病态矩阵（Ill-Conditioned Matrices）的处理。 2. 测度论与概率论的连接： 从Kolmogorov的公理出发，建立严格的概率空间模型。本书将测度论的概念引入，用以精确定义随机变量的分布函数和期望值，为蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods）的理论收敛性提供坚实的分析基础。 3. 微分方程与动态系统： 探讨常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的解析解法（如拉普拉斯变换、傅里叶变换）以及数值逼近方法（如欧拉法、龙格-库塔法）。这对于物理模拟、信号处理和控制理论至关重要。 第四部分：计算复杂性与可判定性 本部分探索的是计算过程本身的内在限制，是理论计算机科学的精髓。 1. 可计算性理论的严格论证： 从图灵机的数学构造开始，详细论证其等价性（如$lambda$-演算、$mu$-递归函数）。深入剖析停机问题（Halting Problem）的不可判定性证明及其对软件验证的深远影响。 2. 复杂性类的形式定义： 严格定义 P, NP, PSPACE 等核心复杂性类。本书将花费大量篇幅分析 NP-完全性（NP-Completeness）的证明技巧，特别是归约（Reduction）的概念，并讨论诸如 SAT 问题的结构化复杂性。 3. 交互式证明系统与零知识： 介绍交互式证明系统（Interactive Proof Systems）的概念，并对零知识证明（Zero-Knowledge Proofs）的数学构造进行推导，解析其在安全协议设计中的应用潜力。 本书的特点： 高度的数学严谨性： 所有定理和引理均提供完整的、自洽的证明，不依赖于直觉或“显而易见”的跳跃。 强调结构联系： 明确展示离散数学、代数和分析学如何在不同的计算子领域中相互交织、相互促进。 面向研究的深度： 针对研究生和资深工程师，内容深入到当前研究领域的前沿基础，如代数几何编码、量子信息理论的经典预备知识等。 本书不假设读者对计算工具的熟练掌握，而是要求读者具备扎实的微积分和线性代数背景，并渴望用最精确的数学语言来描述计算世界的本质。它是一张通往计算科学深层知识殿堂的结构化地图。

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坦白说，我对《The Definitive Guide to How Computers Do Math》抱有一种既期待又有些许忐忑的心情。期待的是，它听起来像是对计算机科学最基础、最核心的数学原理的一次全面梳理，这正是我一直渴望填补的知识空白。我希望这本书能够深入探讨二进制如何成为计算机的语言，以及如何在底层实现我们人类熟悉的所有算术运算。我设想书中会详细解释逻辑运算，如“与”、“或”、“非”、“异或”等，是如何在硬件层面实现的，以及它们如何被用于构建更复杂的计算逻辑。此外，关于整数和浮点数的表示方式，以及它们在计算机中的存储和运算机制，一直是我觉得神秘且容易出错的地方。我希望作者能够清晰地阐述这些概念，特别是浮点数运算的精度问题，以及如何避免和处理潜在的误差。我担心的是，如果这本书过于理论化，充斥着晦涩难懂的数学公式和符号，那么它可能会变得难以阅读，甚至令人生畏。我更倾向于那种能够将抽象概念与具体实例相结合，通过图示、类比甚至代码片段来辅助理解的讲解方式。我希望这本书不仅仅是知识的罗列，更能引发我的思考，让我能够举一反三，将所学的原理应用到实际的编程和系统设计中。我期待它能让我对计算机的“数学能力”有一个更深层次的理解，从而在我日后的学习和工作中，能够更准确地把握问题的本质，做出更优的解决方案。我希望它能成为一本我反复翻阅、受益终生的参考书。

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拿到《The Definitive Guide to How Computers Do Math》这本书，我首先被它的书名所吸引，它承诺要提供一个“权威指南”，来阐述计算机是如何进行数学运算的。这正是我一直以来非常感兴趣但又觉得有些神秘的领域。在我看来，计算机的核心能力就是计算，而计算的本质是数学。我一直好奇，那些我们在学校里学习的数学知识，是如何被转化为计算机能够理解和执行的指令的。我希望这本书能够从最基础的二进制表示开始，详细解释计算机内部是如何进行数字运算的。例如，它是否会解释二进制的加法、减法、乘法和除法是如何在硬件层面实现的？它们又是如何通过逻辑门来构建算术逻辑单元（ALU）的？我特别期待书中能够深入探讨浮点数的表示方式，比如IEEE 754标准，以及它所带来的精度问题和舍入误差。我希望作者能够用清晰易懂的语言，配合图示和例子，来解释这些相对复杂的概念。这本书如果能让我理解为什么有些计算会产生微小的误差，以及如何去避免或处理这些误差，那么对我来说将非常有价值。我更希望它能触及一些更高级的应用，比如在图形学、信号处理或者机器学习领域，计算机是如何利用数学来完成复杂任务的。我期待这本书能够帮助我建立起对计算机数学运算的全面而深刻的理解，从而能够更好地理解各种技术，甚至在面对新的技术挑战时，能够从数学的角度找到解决问题的思路。

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在我决定购买《The Definitive Guide to How Computers Do Math》之前，我曾有过一些关于计算机数学运算的零散认知，但总觉得它们不成体系，缺乏深度。我希望这本书能够像一个集大成者，系统地梳理计算机进行数学运算的各个方面。从最根本的二进制表示系统开始，我期望它能详细解释二进制的加减乘除是如何在计算机内部实现的，以及这些运算是如何映射到逻辑门和电路上的。我希望它能够清晰地阐述整数和浮点数的存储格式，特别是关于浮点数精度问题的讨论，这常常是我在进行科学计算时遇到的一个痛点。我希望这本书能够解释为什么会出现舍入误差，以及有哪些方法可以缓解这些问题。此外，我非常好奇计算机是如何进行更复杂的数学运算的，例如三角函数、指数函数等。它们是否也依赖于底层的算术运算，或者有专门的硬件指令来处理？我期望这本书能够提供一些关于算法效率的数学解释，比如为什么有些排序算法或搜索算法会比其他算法更快，以及这些效率差异是如何与数学原理相关的。我希望这本书的讲解能够深入浅出，既有理论深度，又不失实践指导意义，能够通过丰富的实例来帮助读者理解抽象的数学概念。我期待这本书能够成为我通往更深层次计算机理解之路的一块重要基石。

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这本书的书名是《The Definitive Guide to How Computers Do Math》，我拿到这本书的时候，着实被这个厚重的名字给吸引住了。我一直以来都对计算机的底层运作原理充满好奇，特别是它们是如何处理我们输入的数据，进行各种各样的计算，最终呈现出我们看到的应用程序和结果。在我的印象中，数学在计算机科学中的地位是毋庸置疑的，但具体到“如何做数学”，我总觉得它是一层神秘的面纱。我期待这本书能够揭开这层面纱，让我从一个完全不同的角度去理解计算机。我希望它不仅仅是枯燥的公式和算法的堆砌，而是能够以一种引人入胜的方式，将抽象的数学概念与具体的计算机硬件和软件联系起来。例如，它能否解释在我们敲下键盘的瞬间，那些二进制的0和1是如何转化为我们能理解的数字和字符的？当我们点击一个按钮，一个复杂的计算过程是如何在极短的时间内完成的？我希望作者能够用清晰易懂的语言，避免过多的专业术语，或者在必要时提供详尽的解释，让像我这样对计算机内部机制只有基础了解的读者也能有所收获。我尤其对书中关于数字表示、逻辑运算、算术运算以及可能涉及到的高级主题，如浮点数表示、数据类型转换等方面的内容充满期待。我希望能了解这些数学原理是如何被设计到计算机的电路和指令集中的，它们是如何被处理器执行的。这本书的“Definitive Guide”的定位，让我相信它应该具有相当的深度和广度，能够覆盖到计算机数学运算的方方面面，并且在我阅读完之后，能让我对计算机的数学能力有一个全面、深刻的认识。这不仅仅是为了满足我的好奇心，更是为了能更好地理解和使用我每天都在接触的计算机技术。我希望它能成为我计算机知识体系中一块坚实的基石。

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我购买《The Definitive Guide to How Computers Do Math》的主要动力，源于我对计算机科学中“数学”这一核心支柱的强烈求知欲。在我的编程经历中，我常常会遇到各种与数学相关的难题，比如算法的时间复杂度分析、数据结构的效率优化，或者在大规模数据处理中对精度和性能的权衡。我总觉得，要真正深入理解计算机的工作原理，就必须掌握它们进行数学运算的基础。这本书的书名直接击中了我的痛点，我希望它能揭示二进制数是如何被计算机存储和处理的，以及各种基本算术运算（加、减、乘、除）是如何在硬件层面实现的。我希望它能够详细介绍逻辑运算，以及它们如何被用来构建更复杂的计算单元，例如加法器、减法器等。此外，我对浮点数的表示和运算机制特别感兴趣，因为这直接关系到科学计算的精度问题。我希望书中能解释IEEE 754标准，以及它所带来的各种优缺点，甚至是如何处理舍入误差和精度损失的。我期望本书能够不仅仅停留在基础理论，还能触及一些实际应用中的数学问题，例如如何在计算机中高效地实现矩阵运算，或者在某些领域（如密码学）中如何利用特定的数学原理。我希望这本书能够让我摆脱对“黑盒”式的编程的依赖，真正理解代码背后的数学逻辑，从而能够写出更高效、更健壮、更具洞察力的程序。

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翻开《The Definitive Guide to How Computers Do Math》，我带着一种对计算机“大脑”运作方式的好奇心。我一直认为，计算机之所以强大，很大程度上在于它能够以惊人的速度和准确性进行数学计算。但具体到“如何做”，我总觉得隔着一层窗户纸。我希望这本书能够撕开这层纸，让我看到计算机内部的数学世界。我期待它能够从最基础的二进制算术开始，详细讲解加、减、乘、除等基本运算是如何在计算机的硬件层面实现的。我希望它能解释逻辑门是如何构成更复杂的算术单元，以及这些单元是如何协同工作的。对于我们日常使用中常常忽略的浮点数运算，我希望这本书能提供深入的解释，特别是关于精度、舍入误差以及它们如何影响计算结果。我希望能理解为什么我们认为精确的数学运算在计算机中却可能存在微小的偏差，以及如何更好地处理这些问题。除了基础运算，我也对书中可能涉及到的更高级的数学概念感到兴趣，比如如何用计算机来逼近复杂的函数，或者如何利用数学原理来优化算法的性能。我希望这本书能够用一种既严谨又易于理解的方式来阐述这些内容，而不是仅仅堆砌公式。我希望它能成为我理解计算机科学底层逻辑的一本必读书籍，让我能够更好地把握技术细节，做出更明智的技术决策。

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我购买《The Definitive Guide to How Computers Do Math》的初衷，很大程度上是源于我过去在学习编程时遇到的瓶颈。很多时候，我能够熟练地运用各种语言和库来实现复杂的功能，但当我深入追究某个算法的效率，或者在处理大规模数据时遇到精度问题时，我发现自己对底层的数学原理了解得不够透彻。我总是想知道，为什么某些算法比其他算法更快？为什么在某些情况下会出现意想不到的计算误差？这本书的书名直接点明了问题的核心——计算机是如何进行数学运算的。我猜想，它会详细阐述二进制系统是如何工作的，如何进行加减乘除等基本运算，以及这些运算是如何在硬件层面实现的。我希望书中能包含一些关于逻辑门、加法器、乘法器等基本电路单元的介绍，以及它们如何组合起来完成更复杂的计算任务。此外，对于浮点数的表示和运算，我一直感到有些困惑。我们日常使用的十进制小数在计算机中是如何被近似表示的？又为何会导致某些看似精确的计算出现微小的误差？这本书如果能深入浅出地解释这些原理，对我来说将是巨大的福音。我更希望它能拓展到一些更高级的主题，比如向量和矩阵运算在计算机图形学、机器学习等领域的应用，或者数值稳定性、误差分析等内容。我期望这本书能够帮助我建立起一个更加稳固的计算思维模型，让我不仅能知道“如何做”，更能理解“为什么这么做”，从而在技术决策上更加自信和有条理。我希望它能像一位经验丰富的导师，循循善诱，带领我穿越数学和计算机科学的交叉地带。

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拿到《The Definitive Guide to How Computers Do Math》这本书，我的第一反应是它的名字非常具有指导意义，预示着它将深入剖析计算机进行数学运算的内在机制。我一直对计算机如何处理数字，特别是如何执行各种算术和逻辑运算感到好奇。在我的认知里，计算机本质上是处理0和1的机器，但它们是如何从这些简单的二进制位中涌现出如此强大的计算能力的？我希望这本书能够详细解释二进制算术，包括加法、减法、乘法和除法在二进制系统中的实现方式，以及它们是如何映射到计算机的逻辑门和硬件单元上的。我尤其对书中关于溢出、进位等概念的解释充满期待，这些是理解计算机算术运算的关键。同时，我也希望能深入了解浮点数的表示方法，如IEEE 754标准，以及它在精度、范围和运算速度方面的权衡。过去在处理一些科学计算或者图形渲染时，我曾遇到过一些奇怪的精度问题，我希望这本书能帮助我理解这些问题的根源。此外，我期望本书还能涉及一些更高级的主题，例如多精度算术、模运算在密码学中的应用，或者数值分析的基本概念。我希望作者能够用一种既严谨又不失趣味的方式来阐述这些内容，避免过于学术化的语言，而是通过生动的例子和图解来帮助读者理解。我希望这本书能够让我对计算机的数学基础有一个坚实且全面的认识，从而能够更自信地面对各种技术挑战。

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我选择《The Definitive Guide to How Computers Do Math》的初衷，是想彻底弄明白我们每天使用的计算机，究竟是如何实现那些看似神奇的计算能力的。从我接触编程以来，我就知道数学是计算机科学的基石，但具体到“如何做”，我总觉得有点雾里看花。我期望这本书能够从最基础的二进制表示开始，详细讲解计算机是如何进行基本的算术运算，比如加减乘除。我希望它能解释逻辑门是如何协同工作，形成实现这些运算的硬件单元。更重要的是，对于我这种经常需要进行科学计算和数据分析的人来说，浮点数的表示和运算机制一直是我的一个困惑点。我希望这本书能够深入浅出地解释IEEE 754标准，以及它所带来的精度问题和舍入误差。我希望能理解为什么在某些情况下，看似精确的计算会产生意想不到的偏差，以及有哪些方法可以缓解这些问题。我还期待书中能拓展到一些更高级的主题，比如计算机图形学中的向量和矩阵运算，或者在机器学习中扮演重要角色的线性代数和概率统计。我希望这本书的讲解能够兼具理论的严谨性和实践的指导性，能够通过清晰的图示和生动的例子来帮助我理解抽象的数学概念。我希望它能够成为我计算机知识体系中一块坚实的基石，让我在面对更复杂的技术问题时，能够更加游刃有余。

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《The Definitive Guide to How Computers Do Math》这本书的书名，立刻勾起了我对计算机底层运作原理的好奇心。我一直对计算机能够以极高的速度处理和计算各种数字信息感到惊叹，但却很少去深究其中的奥秘。我期望这本书能够像一个揭秘者，向我展示计算机是如何将我们熟悉的十进制数字，转化为它能够理解和操作的二进制形式，并且如何在二进制层面进行精确的算术运算。我希望能了解加法器、减法器等基本运算单元是如何在硬件层面构建的，以及它们是如何被集成到中央处理器（CPU）中的。对于我这种经常在程序中处理各种数值数据的开发者来说，浮点数的表示方式和运算精度一直是让我颇为头疼的问题。我期望这本书能够提供清晰的解释，阐述IEEE 754标准，并深入探讨可能出现的精度损失、舍入误差等问题，以及如何去规避或管理这些问题。我更希望这本书能够触及一些更具挑战性的数学概念在计算机中的应用，例如如何利用向量和矩阵运算来加速图形渲染或机器学习算法，或者如何通过数字信号处理技术来分析和处理音频、视频等数据。我期待这本书能够以一种引人入胜的方式，将抽象的数学原理与计算机的实际应用紧密联系起来，让我能够从根本上理解计算机的计算能力，从而在日后的学习和工作中，能够有更深刻的洞察力。

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