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出版者:Amsco School Pubns Inc

作者:Dressler, Isidore/ Keenan, Edward P.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:40

装帧:HRD

isbn号码:9780877202301

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• 数学
• 综合数学
• 基础数学
• 中学数学
• 高中数学
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• 数学学习

现代数学探秘：逻辑、结构与应用 本书旨在为那些渴望深入理解现代数学核心概念的读者提供一份清晰、全面的导引。我们不局限于任何特定的教材或课程体系，而是着眼于数学思维的普遍性和数学知识的内在联系，带领读者一同探索数学这门古老而又充满活力的学科。 第一部分：奠定基石——逻辑与集合 数学的严谨性源于其坚实的逻辑基础。本部分将从基础逻辑推理规则开始，介绍命题逻辑、谓词逻辑以及证明的基本方法，如直接证明、反证法和数学归纳法。理解这些工具，如同掌握了在数学世界中前进的导航仪。 随后，我们将进入集合论的奇妙领域。集合是现代数学的通用语言，任何数学对象都可以被看作是集合的元素。我们将探讨集合的定义、基本运算（并集、交集、差集、补集），以及一些重要的集合类型，如空集、全集、有限集和无限集。通过对无限集的初步探索，读者将初步领略到数学中超越直观的深刻洞见，例如可数无限与不可数无限的区别。 第二部分：抽象之美——代数结构 代数是研究数学对象的运算性质和结构规律的学科。本部分将循序渐进地介绍各种重要的代数结构，揭示隐藏在不同数学领域中的统一性。 我们将从最基础的运算入手，如数的加法、减法、乘法和除法，并引入群论的初步概念。群是数学中最基本、最重要的代数结构之一，它由一个集合和在该集合上的一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元四个条件。我们将通过具体的例子，如整数加法群、非零实数乘法群来理解群的定义和性质。 在此基础上，我们将进一步探讨环和域。环是在群的基础上增加了另一种运算，并要求它与第一种运算满足分配律。整数集在加法和乘法下构成一个环。域则是在环的基础上要求非零元素在乘法下也构成一个群，例如有理数集和实数集在加法和乘法下都构成域。这些结构为我们理解方程的解、多项式的性质以及更复杂的代数系统奠定了基础。 我们将特别关注多项式代数。多项式是代数中最常见的数学对象之一，它们在方程求解、函数逼近以及计算机科学等领域有着广泛的应用。我们将研究多项式的加减乘除、因式分解、根的分布以及域上的多项式。 第三部分：空间的探索——几何与拓扑 几何学研究图形的形状、大小和位置关系。本部分将带领读者从欧几里得几何出发，理解点、线、面等基本概念，以及角度、距离、面积和体积等度量。我们将重温勾股定理、相似三角形、圆的性质等经典内容，并初步探讨非欧几何的奇妙之处，例如球面几何和双曲几何，它们挑战了我们对空间的基本认知。 随后，我们将进入拓扑学的领域。拓扑学是研究空间在连续变形（如拉伸、压缩、弯曲，但不包括撕裂或粘合）下保持不变的性质的学科。在拓扑学中，一个杯子和一个甜甜圈可能是“相同”的，因为它们都可以通过连续变形相互转换。我们将介绍拓扑空间、连续映射、同胚等基本概念，并通过一些有趣的例子，如柯尼斯堡七桥问题、梅比乌斯带和克莱因瓶，来展示拓扑学的直观性和非凡的洞察力。 第四部分：变化的规律——微积分与微分方程 微积分是研究变化和极限的数学工具，它深刻地改变了我们描述和理解自然界现象的能力。本部分将从极限的概念入手，介绍函数的连续性，然后引入导数和积分。 导数刻画了函数在某一点的瞬时变化率，它在物理学中的速度、加速度，经济学中的边际效应等领域有着核心的应用。积分则可以看作是导数的逆运算，它用于计算面积、体积、总变化量等。我们将学习微积分基本定理，它将导数和积分紧密联系起来，并探讨微积分在优化问题、曲线积分、曲面积分等方面的应用。 微分方程是描述变量之间变化率关系的方程，它们是描述物理、工程、生物、经济等领域现象的基础。我们将介绍常微分方程和偏微分方程的基本概念，并介绍求解微分方程的一些常用方法，如分离变量法、积分因子法、级数解法等。通过学习微分方程，读者将能够建立数学模型来描述复杂的动态系统，并预测其未来的发展趋势。 第五部分：概率与统计——不确定性中的规律 在现实世界中，许多现象都伴随着不确定性。概率论和统计学为我们提供了理解和量化这种不确定性的数学工具。 本部分将介绍概率的基本概念，如样本空间、事件、概率的公理化定义。我们将学习条件概率、独立事件、贝叶斯定理等，并探讨一些重要的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。 统计学则关注如何从数据中提取信息和做出推断。我们将介绍描述性统计，如均值、中位数、方差，以及推断性统计，如假设检验、置信区间、回归分析。通过学习统计学，读者将能够有效地分析数据，做出明智的决策，并理解统计结果的意义和局限性。 第六部分：计算机时代的数学——离散数学与计算理论 随着计算机科学的飞速发展，离散数学作为描述和分析离散结构（如整数、图、逻辑语句）的数学分支，其重要性日益凸显。 本部分将介绍图论，研究图（由顶点和边组成）的结构和性质，这在网络分析、路径规划、数据结构等领域有着广泛应用。我们将学习图的遍历、连通性、染色问题等。 此外，我们还将触及一些基础的计算理论概念，如算法的复杂度分析，理解不同算法的效率和可扩展性。这将帮助读者理解计算机程序是如何工作的，以及如何设计更高效的计算方法。 结语 本书的编写旨在激发读者对数学的兴趣，培养严谨的数学思维，并展示数学在现代社会各个领域的广泛应用。我们相信，通过对这些核心概念的深入理解，读者将能够以更深刻的视角看待周围的世界，并为进一步探索更广阔的数学天地打下坚实的基础。数学不仅仅是一门学科，更是一种看待世界的方式，一种解决问题的强大工具。

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不得不提的是，本书的作者的语言风格实在过于晦涩难懂，这对于一本旨在“普及”或“综合”的教材而言，是致命的。他们的行文习惯似乎更倾向于学术论文的风格，充满了大量冗长复杂的从句和极其专业的术语，而且很多术语的首次引入都没有提供足够直观的解释或类比。我经常需要停下来，查阅好几本其他参考书，才能真正理解作者在一个段落里试图表达的核心思想。这种阅读体验简直是在“对抗”教材，而不是在“学习”。如果作者能够使用更简洁明了、更具亲和力的白话来阐述那些复杂的定理和引理，这本书的接受度会大大提高。现在的状态是，我感觉自己像个侦探，需要通过层层迷雾才能找到隐藏在文本深处的知识点，而不是一个被清晰指引的学生。

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这本书的例题部分暴露出了教学设计上的一个根本缺陷：过于偏重理论的展示，而严重缺乏实际应用层面的深度挖掘。我翻阅了后面所有的习题集，发现绝大多数问题都停留在对定理的机械性复述和代数运算的机械性操练上。它们可能有助于巩固运算技巧，但完全无法激发读者去思考“为什么需要这个数学工具”以及“它在现实世界中能解决什么问题”。我想要看到的，是那些能引发思考的、与工程、金融或计算机科学紧密结合的案例分析，而不是仅仅停留在求解$x$和$y$的无聊循环中。这种脱离实际的纯理论灌输，让学习过程变得枯燥乏味，很快就会让人产生“我学这些有什么用”的疑问。如果一本“综合数学”读物不能展现数学的普适性和力量，那它就失去了最重要的魅力和价值。

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这本书的排版简直是一场灾难。我拿到手的时候就觉得头大，字体选择上似乎完全没有考虑过阅读体验，很多关键公式和定义挤在一起，密密麻麻的，看得人眼睛生疼。更别提那些图示了，线条粗细不均，颜色对比度极低，很多几何图形的标注模糊不清，根本无法准确判断它们之间的关系。我花了大量时间试图去“解读”那些图表，而不是专注于理解数学概念本身，这极大地拖慢了我的学习进度。尤其是涉及到微积分和线性代数的部分，图解的重要性本应更高，但恰恰在这两块，插图的设计显得最为敷衍和不专业。我感觉作者和设计团队对读者的需求毫无同理心，出版方在质控上也显得疏忽大意，这样的印刷质量，对于一本严肃的数学教材来说，是不可接受的失误。我强烈建议任何需要精细视觉辅助来学习高阶数学的读者，在购买前务必仔细检查实物印刷质量，否则你会为我的遭遇而后悔。

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我对这本书在概念衔接上的处理方式感到极其困惑，这简直不是“整合”数学，而更像是一堆零散知识点的粗暴堆砌。比如，前一章还在深入探讨离散数学的集合论基础，下一章突然跳跃到一些非常基础的三角函数应用，两者之间几乎没有任何逻辑上的过渡或桥梁性章节来引导读者如何将这些看似无关的知识点融会贯通。它似乎预设了读者已经对所有子学科有着全面的、成熟的理解，然后直接扔出复杂的题目，期待读者自行建立联系。这对于需要系统性构建知识框架的新手或自学者来说，无疑是一堵高墙。我宁愿选择几本专门针对单个领域的经典教材，至少它们在逻辑递进和知识铺垫上会更加严谨和人性化。这本书更像是给一个已经装满各种零件的仓库贴上了一张“综合”的标签，而不是真正进行了一次有深度的整合与重构。

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关于习题的难度分层，这本书做得非常不到位，几乎没有提供一个平滑的学习曲线。开篇的基础练习部分，难度跨度极大，有些题目简直是在考察微积分的知识点，这对于刚刚接触代数和几何的初学者来说，无疑是毁灭性的打击，直接打击了他们的自信心。反之，在某些章节，那些“高级”习题的设置又显得过于简单，仅仅是几个步骤的直接套用公式，缺乏能够真正挑战思维深度的难题。这种不均衡性使得我无法根据自己的学习进度进行有效的自我评估和练习。我希望教材能提供一个清晰的引导，例如标记出“入门级”、“进阶级”或“挑战级”，以便我能够循序渐进地巩固知识。目前的混乱状态迫使我不得不自己去“猜测”哪部分内容我掌握得不够牢固，这完全偏离了教材应有的辅助功能。

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