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出版者:Addison-Wesley

作者:Lial, Margaret L./ Hornsby, E. John/ Schneider, David I.

出品人:

页数:816

译者:

出版时间:2004-1

价格:$ 166.48

装帧:HRD

isbn号码:9780321227577

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

好的，这是一本关于高等微积分与微分方程基础的图书简介： --- 《解析之径：高等微积分与微分方程基础》 第一卷：连续性的深度探索与极限的精确刻画 本书旨在为读者构建一套坚实、深入的微积分理论基础，并以此为桥梁，自然地引入和阐释微分方程这一描述自然与工程现象的核心数学工具。我们摒弃了传统初级微积分中对计算技巧的过度强调，转而聚焦于概念的严谨性、证明的逻辑结构以及函数内在行为的深刻理解。 第一部分：预备与极限的本质 本卷伊始，我们首先回顾了必要的集合论、实数系统公理（特别是完备性公理）以及函数的基本性质。随后，我们将花费大量篇幅来剖析“极限”这一微积分的基石。我们不满足于 $epsilon-delta$ 定义的形式化应用，而是深入探讨了序列极限、函数极限的拓扑意义，以及在更广阔的空间中（如度量空间的前奏）极限的适用性。关键概念包括单调收敛定理、柯西收敛准则的应用，以及对无界和有界函数的极限行为进行精确分类的工具。读者将学习如何利用极限的严格定义来证明连续性的标准定理，例如介值定理和极值定理的拓扑推导。 第二部分：导数——变化的速率与局部线性化 导数的引入不再是简单的斜率计算，而是被视为对函数局部行为的线性逼近。我们详细讨论了微分的代数结构、乘法定律、链式法则的严格证明及其在隐函数和参数方程中的应用。 更重要的是，本卷深入探讨了微分的几何与拓扑含义。我们引入了平均值定理的更强形式，并将其应用于柯西中值定理，为泰勒级数的严格展开奠定基础。泰勒定理的讨论不仅限于求近似，而是重点分析了拉格朗日余项和施瓦茨余项的性质，揭示了函数在某点附近的行为如何由其高阶导数精确控制。此外，我们还详细考察了函数的单调性、凹凸性分析，并利用二阶导数对函数图谱进行详尽的描绘，强调了全局极值与局部极值的判别标准。 第三部分：积分的构造与黎曼理论的严格建立 积分部分将读者从牛顿的直观概念引向黎曼积分的严谨构造。我们详细阐述了上和与下和的定义，精确分析了可积性的充要条件（例如，连续函数和单调不连续函数的性质）。本章致力于理解黎曼积分作为“面积”的极限定义，并严格证明了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的两个部分——通过导数求积分，以及对定积分求导。 在此基础上，我们扩展了积分的范围，引入了反常积分（Improper Integrals）的严格处理，包括收敛性的判据（如狄利克雷判别法、阿贝尔判别法），这为后续傅里叶分析和概率论中的积分应用打下基础。 --- 第二卷：多变量的几何构造与动态系统的建模 本卷将理论框架拓展到多维空间，并引入微分方程作为描述动态变化过程的语言。 第四部分：偏导数与多变量函数的分析 我们从向量空间的基础概念出发，自然过渡到多元函数。偏导数的定义被提升到方向导数和梯度的概念高度。梯度向量的意义——指示函数增长最快的方向——被详尽剖析。 多元函数的极值问题是本卷的重点之一。我们详细研究了Hessian矩阵，并利用其正定性、负定性、不定性来精确判别多元函数的鞍点、局部最大值与最小值。隐函数定理和反函数定理的证明（基于线性逼近和微分的应用）被视为理解多维空间中坐标变换的关键工具。 第五部分：多重积分与线积分的几何意蕴 重积分的引入聚焦于其物理意义：质量、体积和中心。我们严格定义了二重积分和三重积分的黎曼和，并详细讨论了在不规则区域上积分的策略。变量替换公式（雅可比行列式）的推导和应用，是解决复杂几何积分问题的核心技术。 随后，我们转向曲线和曲面积分。线积分（对弧长、对坐标的积分）与曲面积分的定义，以及它们在功、通量计算中的实际应用被详细阐述。格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的几何解释是本卷的高潮，这些公式展示了在不同维度上，积分与微分算子之间存在的深刻而优雅的内在联系。 第六部分：常微分方程（ODE）的基础理论与解法 微分方程作为描述物理、生物、经济系统随时间变化的数学语言，在本卷的最后部分被系统介绍。我们侧重于线性常微分方程的一般理论。 一阶方程：分离变量法、积分因子法、恰当方程的判别及其求解。 二阶线性常系数方程：特征方程的推导、齐次解和特解的构造（待定系数法和常数变易法）。本节将深入分析阻尼振动、RLC电路等经典物理模型。 系统的稳定性分析：对于线性系统 $mathbf{y}' = Amathbf{y}$，我们利用矩阵的特征值和特征向量来分析系统的相平面图，区分结点、鞍点、中心和焦点，并判定系统的稳定性。 第七部分：级数解法与无穷逼近 本卷最后介绍了解析方法在方程求解中的应用。我们重新审视了幂级数展开，并将其应用于求解特殊形式的常微分方程，例如在常点附近的弗罗贝尼乌斯方法（Frobenius Method），用于处理欧拉方程和某些变系数方程。这部分内容为读者理解勒让德方程和贝塞尔方程这类在物理学中常见的特解铺平了道路，巩固了微积分中极限与无穷过程的实践能力。 --- 本书特色与受众 本书的撰写风格严谨而富有洞察力，强调“为什么”而非仅仅“如何做”。大量的几何图示和物理背景的引入，旨在将抽象的数学概念具体化。 目标读者：已掌握基础微积分（代数运算和基本积分技巧）的理工科、数学、物理学、经济学本科生，以及需要对微积分理论进行深度回顾和严谨性提升的专业人士。本书是迈向实分析、偏微分方程或高级工程数学的理想垫脚石。 学习成果：读者将不仅能熟练求解微积分和微分方程的问题，更重要的是，能够理解这些工具背后的数学原理，并能够将其应用于构建新的、复杂的数学模型。 --- （字数统计：约1550字）

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