Introduction to Topology and Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Stahl, Saul

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:2004-11

价格:£ 91.95

装帧:HRD

isbn号码:9780471662600

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 几何学
• 数学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 微分几何
• 流形
• 数学分析
• 高等数学
• 拓扑几何

拓扑与几何基础导论：深入探寻空间结构与变换规律 图书主题： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的拓扑学与微分几何的入门性导论，重点关注这两大数学分支的核心概念、基本定理及其在现代数学中的应用。本书的叙述力求严谨而清晰，旨在帮助初学者建立坚实的理论基础，并为进一步研究更高级的主题做好准备。 目标读者： 适合数学、物理、工程学及相关领域的高年级本科生、研究生，以及任何希望系统学习拓扑学与几何学基础知识的自学者。 内容结构与深度概述： 本书内容组织遵循由浅入深、层层递进的原则，首先从集合论的视角引入拓扑学的基本概念，随后逐步过渡到微分流形这一现代几何学的核心框架。 第一部分：拓扑学的基石——点集拓扑 本部分专注于拓扑学的最基础构建单元——拓扑空间。 第一章：集合论回顾与度量空间 本章首先对集合论中的基本概念进行必要的铺垫，包括集合、映射、关系等，确保读者具备必要的预备知识。随后，引入度量空间（Metric Spaces）作为引入拓扑概念的第一个具体范例。我们将详细讨论距离函数的性质，并基于距离定义开球、闭球、邻域的概念。重点分析开集、闭集、聚点（极限点）和孤立点等基本拓扑性质。通过具体的例子，如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准度量，阐明这些概念的直观几何意义。 第二章：拓扑空间的构造与性质 本章将概念提升到更抽象的层面，正式引入拓扑空间（Topological Spaces）的定义，即通过一组开集族来定义拓扑结构。我们将探讨等价的定义方式，例如使用闭集族（闭包运算）或邻域基来定义拓扑。 核心内容包括： 1. 基础（Basis）与局部基（Local Basis）： 阐释如何利用基来生成一个拓扑，以及局部性质的重要性。 2. 连续性： 引入拓扑学意义下的连续映射定义，并证明其与度量空间中连续性的等价性。 3. 嵌入与商空间： 讨论保持拓扑性质的映射（如同胚），以及如何通过等价关系构造商拓扑空间（Quotient Spaces），这是理解复杂空间结构的关键工具。 第三章：重要的拓扑性质 本章专注于区分不同拓扑空间的重要工具：分离公理和紧致性。 1. 分离公理（Separation Axioms）： 系统介绍 $T_0, T_1, T_2$（Hausdorff 空间）到 $T_3, T_4$（正则、完全正则）等一系列分离公理，并展示它们在欧几里得空间和函数空间中的体现。Hausdorff 性作为连接拓扑与几何的桥梁，将得到深入探讨。 2. 紧致性（Compactness）： 紧致性的定义（开覆盖的有限子集存在性）及其等价描述（如序列紧致性）。特别关注紧致性的基本性质，如紧致子集的闭包性质，以及紧致集上连续函数的重要推论（极值定理）。 3. 连通性（Connectedness）： 探讨空间是否可以被分解为不相交的开集。重点分析路径连通性（Path Connectedness）与连通性的关系，并引入连通分支的概念。 第四章：完备性与函数空间 本章将拓扑学应用于分析学，引入完备性（Completeness）的概念，例如 Baire 纲定理及其在函数空间中的应用。此外，将讨论函数空间 $C(X)$ 上的拓扑结构，如紧致开拓扑，为理解泛函分析打下基础。 第二部分：几何的语言——微分几何初步 本部分将从点集拓扑过渡到更具结构性的几何学，即微分几何，它关注带有光滑结构的拓扑空间——流形。 第五章：拓扑流形的引入 本章正式定义拓扑流形（Topological Manifolds）。 1. 局部欧几里得性： 详细解释流形的定义，特别是“局部看起来像 $mathbb{R}^n$”的意义。 2. 图册与坐标变换： 引入图（Chart）、图册（Atlas）和相容坐标变换（Transition Maps）的概念，理解流形如何“平铺”欧几里得空间。 第六章：微分流形的基础结构 本章为微分几何打下必要的分析基础。 1. 光滑性： 引入微分流形（Differentiable Manifolds）的定义，要求坐标变换必须是光滑的（$C^k$ 或 $C^infty$）。 2. 切空间（Tangent Spaces）： 几何学中最核心的概念之一。我们将通过导数和曲线的切向量来定义每一点的切空间 $T_pM$。我们将证明切空间是一个向量空间，并讨论其维数等于流形的维数。 第七章：张量、向量场与微分形式 本章是几何计算的工具箱。 1. 张量（Tensors）： 介绍张量的概念，如何通过基向量和余向量（1-形式）的组合来定义，以及在坐标变换下的行为。 2. 向量场与流（Vector Fields and Flows）： 讨论向量场在流形上的定义和性质，以及由向量场生成的时间演化流。 3. 微分形式（Differential Forms）： 引入 $k$ 阶微分形式 $Omega^k(M)$，它们是切空间的余向量的反对称多重线性函数。重点讲解 $ ext{wedge}$ 积和外微分（Exterior Derivative） $d$ 算子。 第八章：积分理论与基本定理 本章将微分几何与微积分经典结果相结合。 1. 积分的推广： 定义在流形上的积分（定积分），需要依赖于流形的定向和微分形式。 2. 广义斯托克斯定理（Generalized Stokes' Theorem）： 本书的理论高潮之一。该定理将微积分的各个经典定理（微积分基本定理、格林公式、高斯公式、斯托克斯定理本身）统一在一个普适的框架之下： $$int_{partial M} omega = int_{M} domega$$ 本书将详细剖析该定理的证明思想和应用范围，展示外微分和边界算子之间的深刻联系。 结语： 本书的叙述风格注重逻辑的严密性，同时通过大量的实例（如球面 $S^n$、环面 $T^2$、射影空间 $mathbb{RP}^n$）来固化抽象概念。我们力求在介绍拓扑的“不变量”概念后，平滑过渡到几何的“结构”概念，使读者能清晰地理解拓扑学是几何学的语言基础，而微分几何则是在此基础上构建的具有丰富分析工具的结构化学科。完成本书的学习，读者将能自信地阅读更专业的黎曼几何或代数拓扑著作。

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