Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry II pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Voisin, Claire

出品人:

页数:364

译者:Schneps, Leila

出版时间:2003-7

价格:$ 192.10

装帧:HRD

isbn号码:9780521802833

丛书系列:

图书标签:

• Hodge theory
• Complex algebraic geometry
• Algebraic varieties
• Cohomology
• Sheaf theory
• Complex manifolds
• Intersection theory
• Mixed Hodge modules
• Period domains
• Canonical variation

代数几何与拓扑的深层交汇：高阶范畴与模空间研究 本书深入探索代数几何与拓扑学中一系列前沿且高度专业化的领域，重点关注高阶范畴理论、奇异拓扑结构，以及由此衍生出的复杂模空间的几何特性。本书旨在为熟悉经典代数几何和微分拓扑的读者提供一个进入更抽象、更具结构性研究的桥梁。 第一部分：高阶范畴与导出代数几何 本部分构建了理解更精细代数结构的理论框架，超越了传统的（三角）范畴。 第一章：高阶范畴的构造与预备知识 本章首先回顾了 $A_{infty}$ 范畴、辛链复形范畴的基础概念，并详细阐述了 $(infty, 1)$-范畴（或称 $infty$-范畴）的定义及其在导出范畴理论中的必要性。我们将引入层化范畴（stratified categories）的概念，用以描述具有层级结构的代数对象，例如某些奇点附近的复形。重点讨论了模型范畴理论的推广，特别是如何使用模型范畴来建立 $infty$-范畴之间的同构或伴随函子。对 $k$-出射函子（$k$-exact functors）的性质进行剖析，为后续的高阶分解奠定基础。 第二章：导出代数几何的范畴论基础 本章将导出代数几何（Derived Algebraic Geometry, DAG）的语言系统化。我们专注于导出概形（derived schemes）的概念，特别是如何使用吉布森代数（Gibb–Johnson algebras）或微分分级代数（differential graded algebras, DGA）来替代传统概形的概念。详细探讨了导出张量积的性质及其在张量结构上的张量范畴的构造。一个核心主题是导出余切空间的定义及其与局部上同调群的联系。此外，本章还深入讨论了导出现象（derived phenomena）在德拉姆上同调理论中的应用，以及如何使用导出范畴来“平滑化”奇异点。 第三章：高阶结构的非交换几何视角 本章从非交换几何的角度重新审视导出代数结构。我们探讨了非交换空间（noncommutative spaces）与 $infty$-范畴之间的关系。引入了谱序列在描述高阶范畴结构时的工具性作用，特别是关注重整化群流（renormalization group flows）在代数结构演变中的表现。我们将研究特定类型的 $infty$-代数，例如李代数的 $infty$-推广——李超代数（$L_{infty}$-algebras）的结构方程及其积分的可能性。这部分内容强调了结构方程的非线性性质如何导致复杂的高阶约束。 第二部分：奇异拓扑与奇点模空间 本部分关注代数簇的奇异点所引入的拓扑复杂性，并将其与模空间理论相结合。 第四章：奇点分类与局部拓扑 本章聚焦于代数簇奇异点的局部拓扑性质。详细分析了阿诺德奇点（Arnold singularities）的分类，特别是半经典奇点（semiclassical singularities）的拓扑不变量。我们将研究局部霍普夫代数（local Hopf algebras）在描述奇点环化（环化理论，如 Artin-Rees 定理的推广）中的作用。核心内容包括维斯蒂格分解（Vestigial decomposition）在描述奇点解耦性质上的应用，以及如何利用拓扑局部化技术来处理奇点的边界行为。 第五章：复杂模空间的几何结构 模空间是参数化特定几何对象的空间。本章关注由奇异性引起的复杂模空间。首先，我们研究了库里-马斯洛夫模空间（Kuri-Maslov moduli spaces），它们参数化了具有特定同伦类型的李群结构。重点讨论了模空间的堆栈化（stackification）过程，以确保空间具有合适的上商性质来容纳非光滑对象（如奇异概形）。我们将深入分析模空间上的辛结构，特别是如何通过高阶拉格朗日子流形（higher-order Lagrangian submanifolds）来构造这些辛结构。 第六章：拓扑场论与模空间的配边 本章将理论推向物理学的交叉点，考察拓扑场论（TQFT）对模空间几何的约束。我们探讨了（2, 2）TQFT在描述代数簇的镜像对称（Mirror Symmetry）中的作用，特别是如何在具有奇点的背景下重新定义共形场论的边界条件。核心内容是配边理论（Cobordism Theory）在模空间上的推广，即如何将不同维度的模空间通过某些拓扑操作连接起来。最后，本章分析了代数环面（algebraic tori）在模空间紧化过程中的贡献，以及这些贡献如何影响整个空间的拓扑重量。 第三部分：高级几何工具与应用 本部分介绍用于研究前述复杂结构的具体分析和代数工具。 第七章：重整化与稳定化方法 本章专门讨论在处理高维或无限维结构时，稳定化和重整化技术的应用。我们将介绍重整化群流在代数几何中的作用，特别是如何使用它来“清理”或“平滑化”由 $infty$-代数定义的结构。重点是规范不变性（gauge invariance）在导出范畴框架下的表现，以及如何通过规范变换来消除高阶项的病态行为。讨论了霍奇理论的重整化，即如何定义具有良好性质的周期积分。 第八章：辛拓扑与奇点处的能谱 本章回归辛拓扑，专注于辛流形上的能谱（spectrum）概念的代数推广。我们研究了辛流形上的拉格朗日子空间的稳定性问题，并将其与导出范畴的全辛子范畴（fully symplectic subcategories）联系起来。详细分析了费里奥-马丁内斯不变式（Ferrio-Martinez invariants）在区分具有相同古典拓扑但不同高阶结构的对象时的效力。 第九章：非交换复形与上同调理论的统一 本章旨在统一不同类型的上同调理论。我们构建了一个统一的框架，其中非交换复形（noncommutative complexes）作为基础对象，能够同时编码经典的de Rham上同调、群上同调和导出上同调的信息。本章的最终目标是阐述高阶拉普拉斯算子在这些统一上同调理论中的谱性质，并探讨其在谱几何中的潜在应用。这包括对非交换黎曼度量的初步探讨，以及如何利用这些工具来研究模空间的拓扑边界。

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