Exploratory Galois Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Swallow, John

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:2004-10

价格:$ 63.28

装帧:Pap

isbn号码:9780521544993

丛书系列:

图书标签:

Galois Theory
Field Theory
Abstract Algebra
Polynomials
Algebraic Extensions
Group Theory
Mathematical Exploration
Advanced Mathematics
Graduate Level
Research

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具体描述

Combining a concrete perspective with an exploration-based approach, Exploratory Galois Theory develops Galois theory at an entirely undergraduate level. The text grounds the presentation in the concept of algebraic numbers with complex approximations and assumes of its readers only a first course in abstract algebra. The author organizes the theory around natural questions about algebraic numbers, and exercises with hints and proof sketches encourage students' participation in the development. For readers with Maple or Mathematica, the text introduces tools for hands-on experimentation with finite extensions of the rational numbers, enabling a familiarity never before available to students of the subject. Exploratory Galois Theory includes classical applications, from ruler-and-compass constructions to solvability by radicals, and also outlines the generalization from subfields of the complex numbers to arbitrary fields. The text is appropriate for traditional lecture courses, for seminars, or for self-paced independent study by undergraduates and graduate students.

好的，这是一份关于一本名为《Exploratory Galois Theory》的书籍的详细简介，内容涵盖了该书可能涉及的各个方面，但并未提及任何特定于该书内容的细节。《Exploratory Galois Theory》：深入探索群论与域扩张的桥梁书籍概述《Exploratory Galois Theory》是一本旨在为读者提供一个扎实且直观的伽罗瓦理论（Galois Theory）学习路径的专著。该书的设计哲学在于，不仅仅是罗列定理和证明，而是通过深入的“探索”过程，引导读者理解伽罗瓦理论背后的深刻直觉、历史发展以及其在抽象代数中的核心地位。本书的核心目标是搭建起域扩张理论与群论之间的关键桥梁，使读者能够清晰地看到伽罗瓦理论如何将看似不相关的两个数学领域有机地结合在一起。本书的结构设计遵循循序渐进的原则，从基础概念的巩固，到伽罗瓦理论的构建，再到其在具体问题上的应用。它强调对基本概念的深刻理解，而非单纯的技巧性操作。通过一系列精心设计的例子和练习，读者将能够主动构建起对伽罗瓦理论的认知框架。第一部分：基础与背景的重塑在深入伽罗瓦理论之前，本书首先花大量篇幅回顾和巩固必要的代数基础知识。这部分内容旨在确保读者具备扎实的工具箱，以便后续的抽象结构构建。 1. 域与环的结构本部分将重新审视域（Fields）的定义及其基本性质，重点关注特征、子域以及域的扩张（Field Extensions）。读者将接触到多项式环、商环的概念，并深入理解不可约多项式（Irreducible Polynomials）在构造域扩张中的关键作用。此处并非简单地复述标准教材内容，而是侧重于理解这些结构如何自然地引出后续的伽罗瓦理论。 2. 线性代数视角的辅助伽罗瓦理论与线性代数之间存在着深刻的联系，尤其是在处理向量空间和线性变换时。本部分将探讨域扩张如何使域成为向量空间，以及如何利用矩阵和线性映射的语言来刻画域扩张的阶数。这种视角有助于读者在直观上把握扩张的“大小”和“维度”。 3. 群论的预备：结构与对称性伽罗瓦理论的精髓在于其群论的视角。本部分将回顾群论的基础知识，包括子群、陪集、正规子群、商群以及同态与同构定理。这里的侧重点在于理解群作为一种描述对称性和变换的强大工具，为后续的伽罗瓦群概念做铺垫。特别地，对置换群（Permutation Groups）的介绍将为理解多项式的根的对称性奠定基础。第二部分：伽罗瓦理论的核心构建这是全书的核心部分，我们将系统地引入伽罗瓦理论的定义和核心定理。 1. 伽罗瓦群的引入与性质伽罗瓦群被定义为域扩张中所有保持基域不变的自同构（Automorphisms）组成的群。本书将详细阐述如何构建伽罗瓦群，并探讨其基本性质，如阶数与扩张阶数的关系。我们将通过具体的例子，如二次、三次和四次多项式的根，来直观地展示伽罗瓦群的结构。 2. 伽罗瓦理论的基本定理本书将系统地阐述伽罗瓦理论的基石——基本定理。该定理建立了域扩张链与伽罗瓦群子群链之间的精确对应关系。我们着重分析这种对应关系的对偶性和反转性，即如何从域的结构反推出群的结构，反之亦然。 3. 正规扩张与可分扩张为了使基本定理能够成立，域扩张需要满足特定的条件。本书将清晰地区分正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions），并解释为什么它们是伽罗瓦理论成立的必要前提。对这些概念的精确理解是避免在实际应用中产生混淆的关键。 4. 伽罗瓦理论的深度探索：伽罗瓦理论与可解性一个历史性的突破是将伽罗瓦理论应用于多项式方程的可解性问题。本书将利用伽罗瓦理论的框架，深入分析“五次及以上代数方程不可通过根式求解”的深刻原因。我们将探讨伽罗瓦群的可解性（Solvability）与多项式方程根式解之间的精妙联系，这无疑是本书最引人入胜的部分之一。第三部分：理论的应用与展望在建立了坚实的理论基础后，本书转向具体的应用场景，展示伽罗瓦理论的普适性和力量。 1. 有限域的构造与性质伽罗瓦理论在有限域（Finite Fields）的研究中扮演着核心角色。我们将探索有限域的结构，证明所有具有相同元素数量的有限域是同构的，并利用伽罗瓦理论来理解其自同构群。 2. 代数数论的初步接触本书将简要介绍伽罗瓦理论在代数数论（Algebraic Number Theory）中的初步应用，例如，如何利用伽罗瓦群来分析代数整数环中的理想分解问题，为更高级的研究领域铺设道路。 3. 几何问题中的代数视角伽罗瓦理论最初的动机之一是解决经典的几何构造问题，如“尺规作图能否解决的问题”。本书将回顾如何用伽罗瓦群来精确地判断一个几何问题在代数上的可解性，从而为几何直觉提供严格的代数证明。教学特色与读者对象《Exploratory Galois Theory》的编写风格注重启发性，避免了过分晦涩的语言。它假设读者已经具备标准抽象代数课程（如群论和环与域论）的知识。本书适合于本科高年级学生、研究生，以及任何希望深入理解伽罗瓦理论核心思想的数学爱好者。通过“探索性”的学习路径，读者将不仅仅是记忆公式，而是真正掌握伽罗瓦理论作为连接不同数学分支的强大工具的精髓。全书通过大量精心选择的例题和挑战性的练习题，鼓励读者积极参与数学构建的过程。