Singular Points of Plane Curves pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Wall, C. T. C.

出品人:

页数:382

译者:

出版时间:2004-9

价格:$ 93.79

装帧:Pap

isbn号码:9780521547741

丛书系列:London Mathematical Society Student Texts

图书标签:

数学
Plane Curves
Singularities
Algebraic Geometry
Complex Analysis
Topology
Resolution of Singularities
Differential Geometry
Enumerative Geometry
Intersection Theory
Birational Geometry

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具体描述

Even the simplest singularities of planar curves, e.g. where the curve crosses itself, or where it forms a cusp, are best understood in terms of complex numbers. The full treatment uses techniques from algebra, algebraic geometry, complex analysis and topology and makes an attractive chapter of mathematics, which can be used as an introduction to any of these topics, or to singularity theory in higher dimensions. This book is designed as an introduction for graduate students and draws on the author's experience of teaching MSc courses; moreover, by synthesising different perspectives, he gives a novel view of the subject, and a number of new results.

好的，以下是根据您的要求撰写的一份关于《奇点：平面曲线的几何与拓扑》的图书简介，重点在于描述其内容，而不提及您提供的原书名，同时力求内容详实且风格自然。 --- 《奇点：平面曲线的几何与拓扑》导言：洞察不规则之美在代数几何与微分拓扑的交汇处，曲线的局部行为——即奇点——构成了理解复杂几何结构的基础。本书《奇点：平面曲线的几何与拓扑》深入探讨了二维平面上代数曲线在非光滑点上的性质。我们聚焦于这些“奇异之处”，它们不仅是曲线自身的内在缺陷，更是连接解析、拓扑和代数结构的桥梁。本书旨在为研究者和高级学生提供一个全面、深入的视角，剖析奇点的分类、不变量的计算及其在更宏大几何理论中的意义。第一部分：基础构建——平面曲线的定义与局部分析本书的开篇部分致力于奠定坚实的理论基础。我们首先精确地定义了平面代数曲线，即由多项式方程 $F(x, y) = 0$ 所定义的集合。虽然直观上曲线是光滑的，但代数几何揭示了其内在的复杂性。 1.1 局部坐标与泰勒展开：我们从局部分析的核心工具——泰勒展开入手。在曲线上任意一点附近，局部行为由该点处的函数微分决定。重点讨论了如何通过坐标变换将奇异点（即梯度 $ abla F$ 消失的点）附近的局部结构“直线化”或“规范化”。 1.2 代数与解析的联系：在复数域 $mathbb{C}$ 上，我们探讨了局部环论的作用。解析函数芽（germs of analytic functions）构成了研究局部结构的代数框架。我们详细阐述了局部环 $mathcal{O}_{p} / (F)$ 的结构，并将其与曲线在点 $p$ 处的“尖锐度”或“退化程度”联系起来。 1.3 奇点的初步分类：引入了“重数”（multiplicity）的概念，这是衡量奇点“严重性”的最基本不变量。我们区分了自相交点、尖点（cusps）和更复杂的交点簇。通过最小化多项式 $F$ 的次数，初步展示了如何识别和区分不同类型的奇点。第二部分：精细结构——奇点的拓扑不变量随着基础的建立，本书的重心转向对奇点进行量化和分类。奇点的真正威力在于它们编码了丰富的拓扑信息。 2.1 局部度量与牛顿多边形：对于特定的代数曲线，特别是那些在欧几里得空间中具有清晰几何描绘的曲线，我们引入了牛顿多边形作为分析局部解析分支的有力工具。牛顿多边形通过多项式的指数项的凸包，提供了关于曲线分支方向和重数的直观几何解释。我们详细展示了如何利用牛顿多边形来分解重数奇点为一系列更简单的局部分支。 2.2 局部拓扑：穿孔与曲面的恢复：这是本书中最具几何洞察力的部分。我们探讨了如何通过“消去奇点”（resolution of singularities）的概念来理解奇点的拓扑含义。对于平面曲线在 $mathbb{C}^2$ 中的奇点 $p$，通过适当的变换（如Blow-up），可以将奇点局部地转化为一条或多条光滑曲线的交集。局部米勒努瓦尔族（Milnor Fibration）：我们深入研究了在奇点附近构造的纤维丛结构。对于一个具有奇点的实代数曲线，其邻域可以通过一个特殊的纤维丛来描述，其纤维是一个（通常是环形的）球面。该纤维的拓扑结构——即其布雷恩数（Betti numbers）和连接性——完全由奇点的局部代数结构决定。杨氏公式与彭加莱指标：针对复平面上的奇点，我们运用彭加莱指标公式来计算穿过奇点邻域的曲线的“转向角”。这直接导出了与奇点拓扑性质紧密相关的关键不变量，例如彭加莱-霍普夫指标。 2.3 奇点的拓扑不变量：详细阐述了用于区分不同类型奇点的核心不变量： $delta$ 不变量（局部交点数）：定义了在奇点处可以“解开”的最小光滑曲线对的数量。 $mu$ 不变量（局部塞奇尔数/Milnor数）：这是一个更深层次的拓扑不变量，通过研究局部泰勒函数的模空间的结构来定义，它直接关系到奇点邻域纤维的霍普夫不变量。 $ ho$ 不变量（余秩）：描述了局部环的结构，与奇点如何影响曲线的更高阶几何性质相关。第三部分：全局视角——曲线的几何与奇点的关系在掌握了局部分析后，本书将视野扩展到整个曲线的全局几何属性，特别是曲线亏格与奇点之间的深刻联系。 3.1 黎曼-罗克定理的应用：虽然黎曼-罗克定理主要针对光滑曲线，但我们展示了如何通过“奇点消去变换”（Blowing Up）将一个具有奇点的代数曲线转化为一条（或多条）光滑曲线的组合。这个过程是可逆的，且在变换过程中，曲线的线性系统和度量会发生可控的变化。 3.2 亏格的计算：阿迪斯-阿蒂亚公式：引入了著名的阿迪斯-阿蒂亚（Adès-Atiyah）公式，该公式建立了平面曲线的算术亏格 $p_a$ 与其奇点数量和重数之间的精确关系： $$p_a = frac{(d-1)(d-2)}{2} - sum_{p} delta(p)$$ 其中 $d$ 是曲线的次数，$delta(p)$ 是在奇点 $p$ 处的局部交点数不变量。这个公式是代数几何中的基石之一，它揭示了曲线的平滑度如何直接影响其拓扑复杂性。 3.3 奇点在模空间中的作用：最后，我们探讨了奇点在曲线模空间（Space of Curves）中的重要性。曲线的奇异性决定了其在模空间中的位置。通过对奇点的不变量进行分析，我们可以研究模空间的局部结构，识别出哪些是光滑曲线，哪些是具有特定奇点类型的退化曲线。结语：《奇点：平面曲线的几何与拓扑》不仅是一本关于局部代数结构的书籍，更是一部关于几何直觉和代数精确性完美结合的探险指南。通过对平面曲线奇点的深入剖析，读者将掌握理解更一般代数簇奇异性问题的必备工具和深刻洞察力。本书为致力于进入奇点理论、代数几何或拓扑学前沿研究的读者提供了不可或缺的资源。