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出版者:Walter De Gruyter Inc

作者:Schmitt, Susanne/ Zimmer, Horst G.

出品人:

页数:367

译者:

出版时间:

价格:842.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9783110168082

丛书系列:

图书标签:

• Elliptic Curves
• Number Theory
• Algebraic Geometry
• Cryptography
• Arithmetic Geometry
• Modular Forms
• Diophantine Equations
• Coding Theory
• Algebra
• Mathematics

好的，这是一份关于一本名为《Elliptic Curves》的图书的详细简介，该简介旨在尽可能详细地描述其内容，同时避免提及任何与人工智能生成相关的信息。 --- 图书简介：《椭圆曲线》 《椭圆曲线》是一本深入探讨椭圆曲线理论及其在现代数学和应用科学中广泛联系的权威著作。本书旨在为读者提供一个扎实且全面的理解框架，从经典代数几何的基础出发，逐步过渡到现代数论、代数几何以及其在密码学等领域的尖端应用。全书结构严谨，内容详实，是数学专业学生、研究人员以及对该领域有浓厚兴趣的专业人士不可或缺的参考书。 第一部分：基础与背景 本书的开篇部分致力于构建理解椭圆曲线所需的必要数学基础。 第一章：预备知识与域的拓展 本章首先回顾了代数几何和代数数论中的一些核心概念，如域、域扩张、理想、环以及射影空间的基础知识。重点在于定义什么是域，特别是有限域（Galois Fields）和函数域，因为椭圆曲线的研究通常在这些结构上进行。 第二章：代数曲线的几何背景 本章引入了代数曲线的概念，特别是平面曲线。通过对齐次坐标和非齐次坐标的详细讨论，读者将被引导理解曲线的射影性。我们探讨了曲线的度数、奇点、以及光滑点（regular points）的定义。本章的核心在于建立对椭圆曲线作为一种特殊光滑三次曲线的直观几何认识。 第三章：椭圆曲线的定义与结构 这是全书的基石。本章正式定义了椭圆曲线——通常以魏尔斯特拉斯方程（Weierstrass form） $ ext{y}^2 = ext{x}^3 + ext{Ax} + ext{B}$ 来表示。我们将详细讨论判别式 $Delta = -16(4 ext{A}^3 + 27 ext{B}^2)$ 的作用，并解释 $Delta eq 0$ 如何保证曲线的光滑性。 更重要的是，本章深入阐述了群结构。通过几何上的“交点法”（chord-and-tangent method），我们证明了椭圆曲线上所有有理点构成一个阿贝尔群。我们详细推导了群加法的代数公式，并解释了“无穷远点”（Point at Infinity, $mathcal{O}$) 在群结构中的中性元地位。 第二部分：代数几何与数论的交汇 在确立了群结构后，本书进入了更深层次的理论探讨，连接了椭圆曲线与现代代数数论。 第四章：有理点群 $E(mathbb{Q})$ 的结构 本章聚焦于在有理数域 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线。莫德尔-韦伊定理（Mordell-Weil Theorem）是本章的重中之重。我们将详细证明该定理，表明 $E(mathbb{Q})$ 是一个有限生成阿贝尔群，即 $E(mathbb{Q}) cong mathbb{Z}^r oplus E(mathbb{Q})_{ ext{tors}}$，其中 $r$ 是秩（rank），而 $E(mathbb{Q})_{ ext{tors}}$ 是挠点群（torsion group）。 第五章：挠点群的性质与纳格尔-卢特定理 本章专门研究挠点群。我们将运用Siegel的有限性论证以及Nagell-Lutz定理来确定 $E(mathbb{Q})$ 中有理挠点的具体形式。纳格尔-卢特定理为寻找特定的整数坐标点提供了强大的工具。此外，本章还将讨论Mazur的挠点定理，该定理严格限制了在 $mathbb{Q}$ 上可能的挠点结构。 第六章：局部性质：p-进数域上的椭圆曲线 为了探究全局性质（如秩），必须研究曲线在所有素数 $p$ 上的局部行为。本章介绍了 $p$-进数域 $mathbb{Q}_p$ 上的椭圆曲线。我们将探讨平滑约简（smooth reduction）和奇异约简（singular reduction）的概念，以及在有限域 $mathbb{F}_p$ 上的点数计算，这为理解Hasse-Weil $L$-函数的局部因子奠定了基础。 第三部分：L-函数与重要猜想 本书的后半部分转向了椭圆曲线理论中最深刻、最活跃的研究领域，特别是与黎曼猜想的类比。 第七章：Hasse-Weil L-函数 本章构建了与椭圆曲线 $E$ 相关的 Hasse-Weil $L$-函数 $L(E, s)$。我们将利用前一章关于局部点数的计算，给出 $L(E, s)$ 的欧拉乘积展开。本章将详细讨论 $L(E, s)$ 的解析性质，包括其可能的解析延拓和函数方程。 第八章：谷山-志村猜想（模定理） 虽然该猜想（现为定理）已得到证明，但理解其内容和意义至关重要。本章将介绍模（Modularity）的概念，即椭圆曲线如何与模形式建立起深刻的联系。我们将讨论费马大定理在证明过程中对模定理的验证所起到的关键作用，并解释模定理如何统一了椭圆曲线的代数结构和自守形式的分析结构。 第九章：Birch和Swinnerton-Dyer（BSD）猜想 本书以对最重要的未解决问题之一——BSD猜想的介绍作结。该猜想将椭圆曲线的算术秩 $r$ 与其 $L$-函数的零点阶（order of vanishing）在 $s=1$ 处的行为联系起来。本章将讨论该猜想的强形式、弱形式，以及它在低秩情况下的已知结果，展示椭圆曲线理论的前沿挑战。 第四部分：应用 第十章：椭圆曲线在密码学中的应用 本章将理论知识转化为实际应用。我们将介绍椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的困难性，并详述基于此困难性的椭圆曲线加密（ECC）方案，如密钥交换协议（ECDH）和数字签名算法（ECDSA）。本章将涉及域的选择（有限域和素数域）对安全性的影响，以及针对特定曲线的攻击方法与防御策略。 --- 目标读者：高等代数、数论或代数几何研究生；从事密码学、编码理论或理论物理研究的人员。 特色：本书的独特之处在于其无缝地将代数几何的直观性与数论的严格性结合起来，并以清晰的步骤引导读者理解现代数学中最具挑战性且最具影响力的结构之一。附带了大量的例题和习题，以巩固对核心概念的掌握。

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