具体描述
The book is devoted to various constructions of sets which are nonmeasurable with respect to invariant (more generally, quasi-invariant) measures. Our starting point is the classical Vitali theorem stating the existence of subsets of the real line which are not measurable in the Lebesgue sense. This theorem stimulated the development of the following interesting topics in mathematics: paradoxical decompositions of sets in finite-dimensional Euclidean spaces; the theory of non-real-valued-measurable cardinals; and the theory of invariant (quasi-invariant) extensions of invariant (quasi-invariant) measures. These topics are under consideration in the book. The role of nonmeasurable sets (functions) in point set theory and real analysis is underlined and various classes of such sets (functions) are investigated. Among them there are: Vitali sets, Bernstein sets, Sierpinski sets, nontrivial solutions of the Cauchy functional equation, absolutely nonmeasurable sets in uncountable groups, absolutely nonmeasurable additive functions, thick uniform subsets of the plane, small nonmeasurable sets, absolutely negligible sets, etc. The importance of properties of nonmeasurable sets for various aspects of the measure extension problem is shown. It is also demonstrated that there are close relationships between the existence of nonmeasurable sets and some deep questions of axiomatic set theory, infinite combinatorics, set-theoretical topology, general theory of commutative groups. Many open attractive problems are formulated concerning nonmeasurable sets and functions. It highlights the importance of nonmeasurable sets (functions) for general measure extension problem. Deep connections of the topic with set theory, real analysis, infinite combinatorics, group theory and geometry of Euclidean spaces are shown and underlined. It is self-contained and accessible for a wide audience of potential readers. Each chapter ends with exercises which provide valuable additional information about nonmeasurable sets and functions. It offers numerous open problems and questions.
作者简介
目录信息
读后感
用户评价
这本书的封面设计，说实话，有点让人望而生畏。那种深蓝色的底，配上白色和金色的文字，透着一股子严肃劲儿，仿佛在告诉你，这趟阅读之旅注定充满挑战。我拿到书的时候，心里其实是有点打鼓的，毕竟“不可测集与函数”这个标题本身就带着一种学术的距离感。我不是数学专业的科班出身，只是对极限、无穷这些概念有点痴迷，所以想挑战一下自己。翻开前几页，果然，没有那些引人入胜的开场白，直接就进入了严谨的定义和公理体系的构建。作者的叙事方式极其内敛，就像一位老派的数学家，一丝不苟地铺陈着逻辑的基石。我花了整整一个下午，才勉强理解了勒贝格测度那一节的精髓，那感觉就像是第一次尝试攀登一座陡峭的山峰，每一步都必须小心翼翼，生怕脚下踩空。我得说，如果你期待的是那种能让你轻松沉浸其中的故事性叙述，那这本书可能会让你感到挫败。它要求读者具备极高的专注力和一定的数学基础，更像是一本工具书，而不是一本消遣读物。不过，正是这种毫不妥协的专业性，让它在众多同类著作中显得尤为珍贵，它不媚俗，只忠于数学的纯粹性。
评分阅读体验简直是一场智力上的“马拉松”。我发现自己经常需要停下来，拿起一张草稿纸，反复推演书中的证明步骤。有些定理的证明过程，实在是太精妙，也太隐晦了，需要绕好几个弯才能领悟作者的布局。举个例子，关于维塔利集的构造那部分，我至少看了三遍，才真正体会到它在反驳某个直觉上的合理性时，所展现出的那种颠覆性的力量。这本书的行文节奏非常均匀，没有忽快忽慢的感觉，始终保持着一种沉稳的步伐，这对于初学者来说或许是件好事，因为它强迫你按部就班；但对于急于抓住重点的人来说，可能会显得有些拖沓。我尤其欣赏的是，它在引入新概念时，总是能找到最简洁、最无可指摘的表述方式，虽然这种简洁往往意味着背后隐藏着大量的预备知识。它就像一座设计精良的迷宫，每条通道都通向一个更深层次的理解，但你必须按图索骥，否则很容易迷失在符号和抽象的细节之中。这绝对不是那种可以带着咖啡和轻松心情翻阅的书籍，它需要你全身心地投入，甚至需要你重新审视自己过去对“可测”这个概念的理解。
评分从装帧和排版的角度来看，这本书无疑是为学术界服务的。字体选择偏向于清晰、易于阅读的衬线体，图表的使用非常节制，大多时候都是纯粹的文字论证。这使得书本的“重量感”十足，拿在手里沉甸甸的，内容密度极高。我特别注意到，作者在脚注和尾注的使用上非常克制，这意味着大多数的背景知识和历史沿革都需要读者自行补充，它假设你已经知道很多基础知识。这种“开门见山”的做法，虽然提高了信息传递的效率，但也无形中拉高了阅读的门槛。我记得有一次在研究某些连续函数的反例时，书里提到一个关于拓扑空间紧致性的隐晦论断，我不得不中断阅读，去查阅一本关于拓扑学的参考书才能完全跟上作者的思路。这本书的价值并不在于普及，而在于深化。它不是在教你“这是什么”，而是在让你理解“为什么是这样”，并且让你学会如何用最严谨的方式去证明它。对于那些希望跨越表面，直击数学核心结构的人来说，这种扎实的深度是无价的。
评分整体而言，这本书更像是数学领域中的一座“纪念碑”，它矗立在那里，提醒着我们理论可以达到的严谨高度。它不会哄骗你，也不会向你妥协。对于那些已经对实分析和集合论有一定了解的人来说，它提供了一个近乎完美的进阶路径，将理论的深度和广度都推向了新的极限。我很少在书的封皮上看到“终极指南”这样的措辞，但这本书无疑在“不可测集”这个特定领域内，树立了一个难以超越的标杆。它要求你付出时间、耐心和脑力，作为回报，它赠予你的不仅仅是知识，更是一种深刻的洞察力——那种能够穿透复杂表象，直达数学本质的清晰视野。对我个人而言，这本书已经从一本阅读材料，转变成了一本需要时常翻阅、随时备战的参考工具，它会伴随我相当长一段时间的数学学习旅程。它坚硬、有力，而且绝对值得。
评分这本书带来的认知上的冲击，主要体现在对“界限”的重新定义上。在日常生活中，我们习惯于用直觉来判断一个集合是否“有大小”，一个函数是否“可操作”。然而，一旦进入不可测集的领域，那种熟悉的直觉立刻瓦解了。作者通过一系列精心构造的例子，特别是那些依赖于选择公理才能存在的集合，彻底颠覆了我的常识。读到选择公理在构建这些“怪异”集合中的核心作用时，我仿佛站在了数学哲学的十字路口，思考着我们对“存在性”的界定到底有多么依赖于我们采纳的公理系统。这种哲学层面的思辨，隐藏在枯燥的数学符号之下，是这本书最迷人的地方。它不仅仅是关于测度论的技术手册，它更是一部关于数学基础论的严肃探讨。每一次成功理解一个反直觉的结论，都会带来一种智力上的巨大满足感，仿佛推开了一扇通往更高维度逻辑空间的大门。
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