Elementary and analytic theory of algebraic numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Narkiewicz, Wladyslaw/ Narkiewicz, Wadysaw

出品人:

页数:706

译者:

出版时间:

价格:2846.00元

装帧:HRD

isbn号码:9783540219026

丛书系列:

图书标签:

• 代数数论
• 初等数论
• 解析数论
• 代数数
• 数论
• 数学
• 高等数学
• 理论数
• 代数
• 数论基础

拓扑学中的黎曼曲面与复分析基础 （不包含《Elementary and analytic theory of algebraic numbers》中的任何内容） 本书旨在为对现代数学，特别是复分析、代数几何初步以及微分几何有浓厚兴趣的读者提供一个扎实且深入的入门。全书聚焦于黎曼曲面的构造、性质及其与复分析的深刻联系，辅以必要的拓扑学和代数基础，构建一个清晰、自洽的理论框架。 第一部分：基础回顾与拓扑准备 在深入探讨黎曼曲面之前，我们首先需要一套严谨的数学语言。本部分将对读者已有的实分析和线性代数知识进行必要的补充和提炼，尤其侧重于拓扑学的基础概念，这是理解“曲面”这一抽象几何对象的基石。 第一章：流形与拓扑空间回顾 我们从最基本的拓扑空间定义出发，强调开集、闭集、紧致性、连通性等核心概念。随后，引入二维流形（或称二维拓扑流形）的概念，作为黎曼曲面的拓扑骨架。重点讨论光滑结构的引入与区分，以及嵌入定理在低维空间中的直观意义。我们将详尽讨论球面 $S^2$ 和环面 $T^2$ 作为最基础的紧致流形的例子，并引入商空间的构造方法，这在后续的构造性证明中至关重要。 第二章：基础同伦论与基本群 为了区分不同拓扑空间的性质，本章引入了同伦的概念。我们详细构造并计算了圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，并展示如何利用覆盖空间理论来简化这一计算。我们将探讨基本群如何作为一种“拓扑不变量”，区分例如 $S^2$（单连通）与 $T^2$（非单连通）。虽然黎曼曲面的核心概念不直接依赖于同伦论，但对基本群的理解，能极大地帮助读者把握曲面的“洞”的数量，即亏格的几何意义。 第二部分：复数域上的结构：复流形与局部坐标 黎曼曲面的核心特征在于其“复”的结构。本部分致力于在拓扑流形之上赋予一致的复分析结构。 第三章：复向量空间与 $mathbb{C}$ 上的微分形式 我们首先回顾 $mathbb{C}^n$ 上的复坐标，并定义全纯函数（或称解析函数）。在此基础上，我们引入 $mathbb{C}$ 上的微分形式，包括 $dz$ 和 $ar{dz}$。重点阐述柯西-黎曼方程在形式微分上的表达，强调全纯函数局部上满足的偏微分方程性质。我们将详细讨论外微分算子 $d = partial + ar{partial}$，以及全纯函数等价于 $ar{partial} f = 0$ 的重要结论。 第四章：复结构与黎曼曲面的定义 本章正式定义黎曼曲面。它被定义为一个满足特定条件的复分析中的二分歧（Two-sheeted）拓扑流形。关键在于局部坐标系 $(U, phi)$ 必须是全纯坐标图，即转移函数 $phi circ psi^{-1}$ 必须是全纯的。我们将通过具体的例子，如拓扑空间 $mathbb{C} cup {infty}$，展示如何构造出第一个非平凡的黎曼曲面——黎曼球面 $hat{mathbb{C}}$。本章也将区分代数黎曼曲面和拓扑黎曼曲面之间的关系。 第三部分：全局分析：全纯微分形式与亏格 一旦黎曼曲面被定义，下一步就是研究其上的全局分析对象，尤其是全纯微分形式的空间，它直接决定了曲面的拓扑性质——亏格。 第五章：局部上的调和函数与度量 我们转向引入黎曼度量的概念，将其定义为在局部坐标系下表示为 $sum g_{ij} dz_i dar{z}_j$ 的正定二次型。接着，我们将探讨调和函数的定义，以及它与拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$ 的关系。对于黎曼曲面，由于其是二维的，我们引入共形度量的概念，强调在共形变换下，曲率的变换法则，为后续的几何化铺垫。 第六章：全纯微分形式的空间与维数 这是全书的核心部分之一。我们定义黎曼曲面 $X$ 上的全纯微分形式 $Omega^1(X)$。我们证明，在任何局部坐标系下，全纯微分形式都可以表示为 $f(z) dz$，其中 $f(z)$ 是一个全纯函数。接着，我们将探讨这个向量空间的有限维性，并引入亏格 $g$ 作为该空间维度的代数几何定义： $$ dim_{mathbb{C}} Omega^1(X) = g $$ 我们通过具体实例，如 $g=0$ 的黎曼球面和 $g=1$ 的环面，计算了 $Omega^1(X)$ 的维数，并展示了柯西积分公式在 $g>0$ 情况下如何失效，从而凸显研究全局性质的必要性。 第四部分：代数与分析的桥梁：狄利克雷问题与边界值问题 本部分将探索在黎曼曲面上解微分方程的经典方法，特别是狄利克雷问题，它在调和函数理论和共形映射理论中占据核心地位。 第七章：边界值问题与调和微分形式 我们讨论了在紧致黎曼曲面 $X$ 上的柯西问题和黎曼-希尔伯特问题的初步思想。重点放在狄利克雷问题：给定一个连续函数 $f$ 在曲面上，是否存在一个调和函数 $u$，使得 $u|_{partial X} = f$（如果边界存在）。对于紧致曲面，边界缺失，因此我们转而研究其拉普拉斯方程的解空间。 第八章：狄利克雷积分与势函数的构造 本章将引入狄利利克雷积分（能量泛函），并证明其满足的变分原理。通过极小化狄利利克雷积分，我们可以构造出具有特定边界条件的调和函数。我们将详细阐述势函数的概念，以及如何利用它来构造共形映射。最后，我们简要介绍格林函数在求解非齐次泊松方程中的作用，及其在黎曼曲面上的推广，这为理解曲面上的势论打下基础。 全书通过严谨的拓扑准备，构建复结构，并最终分析由亏格决定的全纯微分形式空间，为读者理解现代数学中几何与分析的交叉领域提供了一个全面且聚焦的视角。

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