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出版者:Thomson Learning

作者:STEWART

出品人:

页数:814

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 211.25

装帧:HRD

isbn号码:9780495011613

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 单变量
• 数学
• 高等教育
• 大学教材
• CD-ROM
• Calculus
• 数学分析
• 工程数学
• 理工科

《多元微积分：理论与应用基础》 本书概述 《多元微积分：理论与应用基础》是一部旨在为读者提供扎实数学基础和深入理解多变量函数微积分概念的教材。本书聚焦于将单变量微积分中的核心思想拓展至高维空间，涵盖了从基础向量代数到复杂的积分和微分理论，并注重理论的严谨性与实际应用的结合。本书的目标读者包括工程、物理、计算机科学、经济学以及数学专业本科生，尤其适合作为入门级多元微积分课程的指定教材。 核心内容模块 第一部分：三维空间与向量分析基础 本部分为进入高维空间奠定基石。 三维笛卡尔坐标系与空间几何： 详细介绍了三维空间坐标的建立，点、线、面的表示方法，包括直线方程、平面方程的推导与几何意义。对空间中的距离、中点、夹角等基本概念进行了详尽的几何解释。 向量代数： 深入探讨二维及三维向量的运算，包括向量的加减法、标量乘法。重点讲解向量的点积（内积）及其在投影和角度计算中的应用，以及叉积（外积）及其在计算面积和判断空间方位上的重要性。对向量的线性相关性和基底的概念进行了清晰阐述。 曲面与空间曲线： 介绍了参数化空间曲线的表示法，如何通过参数方程描述运动轨迹。对二次曲面（如球面、椭球面、抛物面、双曲面）的描述和识别进行了详尽的图解分析，帮助读者建立直观的空间想象力。 第二部分：多元函数与偏导数 本部分将单变量函数概念推广至多个变量，是理解高维分析的关键。 多元函数的定义与可视化： 讨论了定义域、值域的概念，并侧重于使用等高线图（Contour Plots）和三维图像（3D Surfaces）来可视化二元函数。对三元及以上函数的表示限制与处理方法进行了说明。 极限与连续性： 严格定义了多变量函数在某点处的极限。区别于单变量函数，本书详细分析了沿不同路径趋近的限制，并引入了“路径检验法”来证明极限不存在的情况。连续性定义基于极限的严格表述。 偏导数（Partial Derivatives）： 引入偏导数的概念，解释其物理意义——沿着特定坐标轴方向的变化率。通过实例演示如何计算高阶偏导数，并详细推导了混合偏导数定理（Schwarz's Theorem），强调其在对称性验证中的作用。 链式法则（The Chain Rule）： 这是多变量微积分中最重要的工具之一。本书提供了分层级的链式法则推导，从依赖于一个变量的函数链到依赖于多个变量的复杂函数链，并通过具体例子指导读者如何系统性地应用该法则。 梯度向量（The Gradient Vector）： 梯度被定义为一个包含所有偏导数的向量场。深入解释了梯度向量的几何意义：它指向函数值增长最快的方向，且其模长是该方向上的最大变化率。本书将梯度与等高线或等势面垂直的性质进行了详尽的几何证明。 方向导数（Directional Derivatives）： 讨论函数在任意给定方向上的变化率，并展示了方向导数与梯度向量的点积关系。 第三部分：多元函数的优化与应用 本部分聚焦于利用微分工具解决最优化问题。 切平面与法线： 讨论如何利用梯度来构建函数在特定点上的切平面方程和法线向量，这在物理学和工程建模中至关重要。 极值与鞍点： 阐述了多元函数局部极值存在的必要条件（一阶偏导数为零）。随后，重点引入二阶偏导数检验法（The Second Derivative Test / Hessian Matrix），用于区分局部最大值、局部最小值和鞍点。 拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers）： 对于带约束条件的最优化问题，本书详细介绍了拉格朗日乘数法。通过几何解释（等高线相切），说明了如何将约束优化问题转化为无约束问题，并提供了大量的实际应用案例，如经济学中的效用最大化或工程中的最小成本设计。 第四部分：多重积分（Multiple Integrals） 本部分将定积分的概念扩展到更高维度，用于计算体积、质量和平均值等物理量。 二重积分（Double Integrals）： 引入二重积分的概念，使用黎曼和来逼近曲面下的体积。重点讲解了在直角坐标系下进行累次积分（Iterated Integrals）的计算技巧，包括积分次序的改变（Fubini's Theorem）。 极坐标下的二重积分： 针对圆形或扇形区域，详细介绍了转化为极坐标的必要性，并强调了雅可比行列式（Jacobian Determinant）的引入——即面积微元 $dA = r , dr , d heta$ 的推导与应用。 三重积分（Triple Integrals）： 将积分扩展到三维空间，用于计算四维超体积或物理量（如密度函数下的总质量）。讨论了在直角坐标系下的计算。 坐标系的变换： 深入探讨了在更复杂的积分区域中，如何利用雅可比矩阵与雅可比行列式进行坐标变换。详细覆盖了从直角坐标到柱坐标（Cylindrical Coordinates）和球坐标（Spherical Coordinates）的变换过程及其积分元 $dV$ 的形式。 第五部分：向量场与线积分 本部分引入向量场（Vector Fields）的概念，这是流体力学和电磁学的核心数学工具。 向量场的表示与可视化： 介绍向量场如何表示流体速度或力的分布，并讲解如何通过绘制向量箭头图进行直观理解。 线积分（Line Integrals）： 讲解如何对一个函数（标量场）或一个向量场沿着空间曲线进行积分。重点在于理解线积分的物理意义，如计算力场中粒子移动所做的功。 路径无关性与保守场： 详细讨论了向量场保守性（Conservativeness）的判断标准——判别是否存在势函数（Potential Function），以及路径无关性与闭合回路积分的关系。 格林定理（Green's Theorem）： 这是连接平面上的线积分与平面区域上的二重积分的关键桥梁。本书提供了清晰的几何推导，说明了如何将边界上的环路积分转化为区域内的面积分，并展示了其在计算面积等方面的应用。 第六部分：表面积分与斯托克斯定理 本部分将积分理论扩展到曲面之上，是理解三维空间中场论的基础。 参数化曲面与曲面积分： 介绍如何参数化一般的曲面，并推导面积微元 $dS$ 的计算公式，进而讲解对标量场和向量场在曲面上的积分方法。 通量积分（Flux Integral）： 向量场穿过曲面的“流量”的量化，是物理应用中的核心概念。 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）： 将格林定理推广到三维空间，它建立了曲面上的曲面积分（旋度 Curl）与曲面边界上的线积分之间的深刻联系。 散度定理（Divergence Theorem / Gauss's Theorem）： 阐明了穿过一个封闭曲面的总通量与其内部向量场的散度（Divergence）之间的关系。这被广泛应用于流体力学和电磁学的基本定律（如高斯定律）的数学表达中。 教学特色与配套资源 本书在内容组织上力求逻辑严密、循序渐进。每个章节均包含大量的例题解析，展示了从抽象定义到具体计算的完整过程。习题集难度分级明确，覆盖了从概念巩固到复杂应用的全方位需求。通过大量的几何图示和实际物理背景的引入，帮助读者克服三维空间想象的困难，真正掌握多元微积分的理论深度与广度。本书的数学推导详尽，旨在培养读者严谨的数学思维和解决复杂工程问题的能力。

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