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出版者:Chapman and Hall/CRC

作者:D.C. Goldrei

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2014-7-1

价格:USD 79.75

装帧:Paperback

isbn号码:9780412606106

丛书系列:

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• 集合论
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现代数学的基石：一套严谨的逻辑工具箱 本书并非一部历史文献，不探究古希腊先贤对“集合”概念的朦胧感知，也无意追溯二十世纪初数学界因集合论的出现而引发的深刻变革。相反，我们将目光聚焦于当下，深入理解集合论如何作为现代数学的基石，为各个分支提供一套通用且强大的逻辑表达与推理框架。 第一部分：逻辑的语言与符号体系 在踏入集合的浩瀚宇宙之前，我们必须先熟悉构成其骨架的语言：形式逻辑。这一部分将为你打下坚实的基础，让你能够清晰、无歧义地表述数学思想。 命题逻辑：真值与推理的艺术 我们将从最基本的命题单位出发，探讨如何组合简单命题形成复合命题，例如“p且q”，“p或q”，“若p则q”，“非p”。 我们将引入真值表这一强大工具，系统地分析各种复合命题的真值，从而理解逻辑联结词的精确含义。 逻辑等价性：学习如何识别不同逻辑表达式的等价性，这对于简化论证、优化证明至关重要。例如，德摩根定律的强大应用将让你领略逻辑重塑的力量。 推理规则：我们将深入研究蕴涵、否定前件、肯定后件等基本推理规则，理解它们如何在证明过程中从已知前提推导出新的结论。通过对这些规则的掌握，你将能够构建严谨的数学论证。 述词逻辑：超越简单的命题，我们进入更具表达力的述词逻辑。我们将引入量词——全称量词（“对于所有”）和存在量词（“存在一个”）——它们赋予了我们描述普遍性和特殊性的能力。 变量与个体域：理解变量在述词逻辑中的作用，以及个体域（即我们讨论的对象的集合）如何限定量词的范围。 量词的嵌套与转换：学习如何处理嵌套量词的复杂结构，并掌握全称量词与存在量词之间的对偶关系，这对于理解复杂数学语句的含义至关重要。 自由变量与约束变量：区分变量的种类，理解它们在公式中的作用，以及如何通过赋值来确定公式的真假。 第二部分：集合的诞生与基本性质 在掌握了逻辑的工具之后，我们终于可以开始构建和探索集合的世界。 集合的定义与表示： 我们将从最直观的描述开始：集合是“一堆东西的集合”。然而，数学需要更精确的定义。我们将采用外延公理，即两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。 表示方法：我们将学习几种常见的集合表示法，包括枚举法（列出所有元素，如 {1, 2, 3}）、描述法（给出元素的性质，如 {x | x 是大于 0 的偶数}）以及文氏图（用图形直观展示集合间的关系）。 空集：讨论特殊集合——空集（∅），它不包含任何元素，但具有重要的理论意义。 元素与集合的关系：理解“属于”（∈）和“不属于”（∉）这两个基本关系，它们是我们讨论集合内部结构的起点。 子集与幂集： 子集：我们将深入理解子集的概念，即一个集合的所有元素都包含在另一个集合中。我们将区分真子集，以及集合与自身的关系。 幂集：学习如何构造一个集合的所有子集构成的集合，即幂集，并理解其与原集合元素数量的关系（基数）。 集合间的基本运算： 并集（∪）：将两个集合的所有元素合并成一个新的集合，不重复。 交集（∩）：找出两个集合共有的元素构成的集合。 差集（）：一个集合中存在，但另一个集合中不存在的元素构成的集合。 补集（A' 或 A^c）：在给定全集 U 的情况下，U 中存在但 A 中不存在的元素构成的集合。 集合的运算性质：我们将系统地探讨并集、交集、差集和补集之间的各种性质，如交换律、结合律、分配律以及与逻辑运算的对应关系。这些性质是进行集合运算和证明的关键。 容斥原理： 当计算多个集合的并集大小时，直接相加会导致重复计数。容斥原理提供了一种系统的方法，通过加减交集的大小来精确计算并集的大小。我们将通过实例展示其在计数问题中的强大应用。 第三部分：关系的构建与分析 集合可以用来描述事物之间的联系，而关系则是这种联系的数学化表达。 笛卡尔积： 我们将学习如何通过两个集合的笛卡尔积（A × B）来构造有序对的集合，每个有序对的第一个元素来自 A，第二个元素来自 B。有序对的出现标志着我们开始关注元素的顺序。 关系： 定义：一个关系 R 可以被看作是某个笛卡尔积的子集。例如，“小于”关系可以表示为 {(x, y) | x < y}。 关系的性质：我们将详细研究关系的几种重要性质： 自反性：对于集合中的所有元素 a，(a, a) 都在关系 R 中。 对称性：如果 (a, b) 在 R 中，则 (b, a) 也在 R 中。 反对称性：如果 (a, b) 和 (b, a) 都在 R 中，则 a = b。 传递性：如果 (a, b) 和 (b, c) 都在 R 中，则 (a, c) 也在 R 中。 等价关系：满足自反性、对称性和传递性的关系。我们将看到等价关系如何将一个集合划分为若干个互不相交的等价类。 序关系：满足自反性、反对称性和传递性的关系。我们将区分全序关系（其中任意两个元素都可比）和偏序关系。 函数的出现： 函数作为一种特殊的关系：我们将把函数看作是满足特定条件的二元关系，即对于定义域中的每个元素，有且仅有一个像。 函数的定义域、值域和像：理解这些基本概念对于分析函数的性质至关重要。 单射、满射和双射：我们将深入研究函数的这些重要分类，它们描述了函数在元素映射上的“一对一”和“映上”的性质。 函数的复合：学习如何组合函数，以及复合函数的性质。 第四部分：基数的探索：集合的“大小” 当我们开始讨论集合的“大小”时，集合论展现出了超越直觉的深刻洞见。 有限集与无限集： 我们将区分有限集（可以通过数数来确定其元素个数）和无限集。 可数集：介绍可数无限集的概念，即与自然数集（ℕ）存在一一对应关系的集合。我们将看到，整数集（ℤ）和有理数集（ℚ）虽然看似比自然数集“大”，但实际上它们都是可数无限集。 不可数集： 介绍不可数无限集的概念，即比自然数集“更大”的无限集。我们将重点探讨实数集（ℝ）的不可数性，并通过康托的对角线论证来证明其不可比性。 康托定理：阐述康托定理，即对于任意集合 A，其幂集 P(A) 的基数总是严格大于 A 的基数。这将揭示无限的层次结构。 基数的运算： 介绍有限基数的加法和乘法运算。 介绍无限基数的加法和乘法运算，以及它们与有限运算的不同之处。例如，ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀，ℵ₀ × ℵ₀ = ℵ₀。 连续统假设：简要介绍连续统假设，它试图描述实数集与自然数集之间的基数关系，并触及了集合论的公理化基础。 第五部分：公理化集合论的基石：ZFC 系统 为了避免悖论，数学家们发展了公理化的集合论。本书将简要介绍最常用的 Zermelo-Fraenkel 公理系统（ZFC）。 公理的重要性： 我们将解释为什么需要公理，以及它们如何提供一个无矛盾的基础来构建集合论。 我们将简要概述 ZFC 系统中的一些核心公理，例如外延公理、空集公理、对集公理、并集公理、幂集公理、替换公理和选择公理。 选择公理的意义：讨论选择公理在数学中的重要性，以及它所带来的深刻推论，尽管它有时会引发一些非直观的结果。 学习本书的目的： 掌握本书内容，你将不仅仅是认识了“集合”这个概念，更重要的是： 1. 获得一套精确的数学语言： 能够准确无误地描述数学概念，理解数学文献。 2. 掌握严谨的逻辑推理方法： 能够构建和分析数学证明，培养批判性思维。 3. 理解现代数学的结构： 认识到集合论如何统一了数学的各个分支，提供了共同的工具和语言。 4. 为更高级的数学学习奠定基础： 无论是抽象代数、拓扑学、分析学还是其他数学领域，都离不开集合论的支撑。 本书旨在为你呈现一个强大、一致且富有洞察力的数学工具箱。通过系统地学习，你将能够以全新的视角理解数学的本质，并为未来的探索铺平道路。

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在处理那些涉及“大基数”和“内模型”的高级主题时，作者展现了惊人的洞察力和表达能力。这些内容通常是集合论中最抽象、最远离直观的部分，但通过作者的阐述，原本像是空中楼阁的理论，变得可以触及和理解。他巧妙地运用了类比和图形化的思维工具来辅助说明那些涉及无穷的无穷的复杂关系，比如构造某些特定的可测基数时的内部结构。这种能力绝非易事，因为作者必须在保持数学严谨性的前提下，最大程度地减少读者的认知负荷。读完这部分，我有一种豁然开朗的感觉，仿佛推开了一扇通往更广阔数学宇宙的大门。这本书成功地架设了一座坚实的桥梁，连接了扎实的初等集合论基础与最前沿的研究课题，对于有志于深入研究数学基础的学者而言，它无疑是一份不可或缺的路线图。

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这本书的排版和设计简直是一场视觉的盛宴，每一页的留白都恰到好处，让人在阅读那些看似枯燥的公理和定义时，都能感受到一种宁静的秩序美。印刷的质量非常出色，纸张触感温润，墨迹清晰锐利，即便是反复翻阅，也不会有那种廉价感。尤其赞赏的是，作者在引入关键概念时，常常会配以一些历史的侧注，比如某个定理的提出背景，或者早期数学家们为了解决某个悖论所付出的心血。这些小插曲让原本冷峻的集合论增添了几分人情味和历史的厚重感。我记得有一章专门讨论了不同集合论公理系统的差异，作者用近乎诗意的语言描述了这些微小的差异如何导致整个数学大厦截然不同的结构，读起来仿佛在品味一壶陈年的佳酿，需要细细咂摸才能体会其中的醇厚。对于那些对数学史和哲学思考有兴趣的读者来说，这本书的价值远超其理论深度，它更像是一件精心打磨的艺术品，值得珍藏。在众多数学教材中，这本书的装帧设计无疑是脱颖而出的，体现了出版方对学术作品应有尊重的态度。

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我花了好几个小时来消化其中关于选择公理的讨论，简直是酣畅淋漓。这本书没有像许多入门教材那样，仅仅将选择公理作为一个需要接受的“事实”摆在那里，而是深入挖掘了它的非直观性以及它在不同数学分支中的广泛应用和争议。作者的论证逻辑链条异常严密，每一步推理都如同精密的机械咬合，让人找不到丝毫可以质疑的空隙。特别是对策平均定理（Zorn’s Lemma）的深度剖析，我感觉自己以前对这个工具的理解简直是浮于表面。书中通过一系列巧妙的例子，展示了如何在需要“无限选择”的场景下，用Zorn’s Lemma构造出特定的数学对象，这种“构造性”的讲解方式极大地增强了读者的直觉把握。对于一个想要真正理解现代数学基础的人来说，这种从“为什么需要”到“如何使用”的完整路径至关重要。它强迫你思考，在没有这个工具的情况下，哪些我们习以为常的数学结论将不复存在。这种挑战性的阅读体验，虽然耗费精力，但带来的智力上的满足感是无可替代的。

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坦白说，这本书的习题部分是其真正价值所在，其难度跨越了一个非常广的范围，从基础的巩固练习到足以让研究生级别读者抓耳挠腮的研究型问题，应有尽有。我个人最欣赏的是那些“挑战性证明题”，它们往往要求读者跳出书本中提供的标准范式，需要结合不同的公理系统进行创造性的思考。我尝试了其中几道难度较高的题目，它们不仅检验了我对核心理论的掌握程度，更重要的是，极大地锻炼了我的数学论证风格和对细节的敏感度。很多题目后面附带了简短的“提示”而非完整的解法，这给予了解题者足够的空间去摸索和犯错，而发现错误本身就是学习过程中最宝贵的一部分。这本书的习题集与其说是练习，不如说是一套精选的研究课题目录，它们是通往真正掌握集合论的必经之路，而非简单的应用题。

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这本书的结构编排方式非常独特，它采取了一种自底向上、层层递进的螺旋上升策略。起初的部分非常基础，甚至让人感觉有些缓慢，但这种“慢”是精心设计的铺垫。作者花费了大量的篇幅来建立一套稳固的逻辑框架和符号系统，确保读者在进入更复杂的构造和证明时，不会因为基础概念的模糊而掉队。随着章节的深入，你会发现前面看似冗余的细节，都在后面复杂的定理中起到了关键性的支撑作用。比如，对序数的定义和运算，作者用了好几章的时间进行细致的刻画，包括它们的基数、拓扑结构等，这使得后续关于超限归纳法和超限递归的论述变得水到渠成。这种循序渐进，步步为营的教学方法，极大地降低了初学者面对集合论高深概念时的畏惧感。它不是那种上来就用晦涩符号堆砌的教科书，而更像是一位耐心极好的导师，用最清晰的语言，引导你一步步走向真理的殿堂。

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