Pde and Level Sets pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Suri, Jasjit S. (EDT)/ Laxminarayan, Swamy (EDT)

出品人:

页数:438

译者:

出版时间:2002-10

价格:$ 337.87

装帧:HRD

isbn号码:9780306473531

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 水平集方法
• 数值分析
• 计算数学
• 图像处理
• 计算机视觉
• 变分法
• PDE
• Level Set
• 科学计算

好的，这是一本关于非线性偏微分方程（PDE）的图书简介，重点关注水平集方法（Level Set Methods）在这些方程中的应用，但不包含《Pde and Level Sets》这本书的具体内容，而是从更广泛的数学和应用角度来阐述该主题的深度和广度。 --- 偏微分方程中的几何演化与多尺度建模：水平集方法的视角 书籍概述 本书旨在为读者提供一个深入、全面的视角，探讨偏微分方程（PDEs）在描述复杂系统演化中所扮演的核心角色，并重点聚焦于几何演化问题中至关重要的水平集方法（Level Set Methods）的数学基础、数值实现及其在诸多工程和科学领域中的广泛应用。 我们认识到，自然界和工程领域中的许多现象——从材料的断裂扩展到液体的流动与混合，再到生物组织形态的生长——本质上都是由涉及界面或自由边界的偏微分方程所驱动的。处理这些动态变化的几何结构，传统的网格追踪方法往往会遇到拓扑结构改变、网格畸变和处理尖锐非光滑性方面的巨大困难。水平集方法提供了一种优雅且强大的替代方案，它将追踪运动的边界问题，转化为在固定网格上求解一个关于时间的一维演化方程。 本书的结构精心设计，旨在引导读者从 PDE 的基本理论出发，逐步深入到水平集方法的数学核心，最终掌握其在实际问题中的求解技巧。 第一部分：偏微分方程基础与几何背景 本部分首先回顾了解决连续介质物理问题的偏微分方程的基本理论框架。我们将从经典的扩散方程、波动方程开始，过渡到描述界面运动的哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi Equations）和更一般的非线性一阶 PDE。 重点在于建立运动边界的数学描述。我们探讨了界面速度与局部几何特性（如曲率）之间的关系，这直接导向了平均曲率流（Mean Curvature Flow）等经典的几何演化方程。我们详细分析了这些方程的病态（ill-posedness）问题，特别是当界面发生拓扑变化（如合并或分裂）时，传统微分方程理论的局限性。 第二部分：水平集方法的数学构建 这是本书的核心部分。我们介绍了水平集（Level Set）的概念，即通过将运动的界面嵌入到一个高维的标量函数（即水平集函数 $phi$）的零等位面中来“隐藏”边界的追踪过程。 1. 隐式表示与演化方程的推导： 我们详细推导了如何利用链式法则，将原本作用于运动边界上的演化方程，转化为作用于固定网格上 $phi$ 的固定域（fixed-domain）演化方程。这一关键步骤涉及对运动速度场的嵌入（embedding）和外延（extension），确保了方程在整个计算域内保持良定性。 2. 数值稳定性与特征： 我们深入讨论了水平集方程的特点——它本质上是一个一阶对流主导型的方程。这带来了数值处理上的挑战，如波的冲击（shocks）和数值扩散问题。因此，我们将分析常用的数值格式，例如基于ENO/WENO思想的格式，以及如何处理速度场源项带来的复杂性。 3. 重构与再初始化： 水平集方法的关键优势之一是其处理拓扑变化的能力，但这也伴随着一个重要的数值挑战：水平集函数 $phi$ 很快会失去其“距离函数”的几何意义，即其梯度范数不再保持单位长度，导致曲率计算和速度外延的错误积累。因此，本书将投入大量篇幅探讨重构（Reinitialization）技术。我们不仅介绍经典的符号距离函数（Signed Distance Function, SDF）的保持性方法，如基于哈密顿-雅可比方程的稳态求解，还会探讨更现代、更鲁棒的近距离函数保持技术，以确保几何信息的准确性。 第三部分：高级应用与耦合模型 在掌握了基础理论和数值技术后，本书将探索水平集方法在解决复杂多物理场耦合问题中的强大能力。 1. 相场与水平集的桥梁： 我们探讨了水平集方法与相场方法（Phase Field Methods）的异同与联系。虽然相场方法使用一个平滑的过渡区域来描述界面，而水平集方法描述的是尖锐的界面，但本书展示了如何通过特定极限（如 $epsilon o 0$）来连接这两种描述，从而利用水平集的计算效率和相场的正则化优势。 2. 非均匀速度场与多相流： 在描述液体流动、气泡动力学或颗粒在流体中传输时，速度场 $V$ 通常依赖于界面本身的位置和流体的状态。我们将讨论外延速度场的精确性要求，以及如何将水平集方法与流体动力学方程（如 Navier-Stokes 方程）进行耦合求解，特别是处理浸入边界法（Immersed Boundary Method）与水平集方法结合的优势。 3. 优化与逆问题： 水平集框架的强大之处在于，它允许将结构形状的优化问题转化为对水平集函数 $phi$ 的优化问题。我们介绍伴随方法（Adjoint Methods）在线优化设计中的应用，例如在航空航天和微流控领域中进行形状优化，以最小化能量泛函或最大化某些物理性能。 结论与展望 本书的最终目标是使读者不仅能够理解水平集方法背后的数学原理，还能熟练地将其应用于实际的科学计算问题中。通过对病态问题的识别、数值稳定性的把握以及与其它先进计算工具的结合，本书为研究生、研究人员和工程师提供了一个坚实的平台，以应对涉及复杂动态几何的演化方程的挑战。我们相信，水平集方法将继续作为描述界面和拓扑变化系统的关键工具，引领计算物理和几何处理领域的前沿发展。

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