Green, Brown, and Probability and Brownian Motion on the Line pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Chung, Kai Lai

出品人:

页数:200

译者:

出版时间:2002-7

价格:$ 69.00

装帧:HRD

isbn号码:9789810246891

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 布朗运动
• 随机过程
• 数学
• 金融数学
• 随机分析
• 偏微分方程
• 鞅论
• 概率模型
• 数理金融

《穿越时空的几何：从欧几里得到黎曼空间的维度探索》 内容简介 本书是一部跨越数百年数学思想史的著作，旨在深入探讨几何学从欧几里得的平面世界，逐步拓展至更高维、更抽象的黎曼流形空间的演化历程。它不仅仅是一部理论教科书，更是一次对人类空间认知边界的哲学与数学双重探索。 第一部分：欧几里得的遗产与危机 本书的开篇追溯了人类对空间理解的基石——古希腊欧几里得几何。详细阐述了五大公设，特别是第五公设（平行公设）的地位及其在两千多年间引发的争议。我们审视了希尔伯特对公理系统的形式化尝试，分析了欧氏几何在绝对真理地位上的动摇。 随后，聚焦于非欧几何的诞生。我们细致地剖析了罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和鲍伊耶（Bolyai）如何通过否定平行公设，构建出第一个自洽的非欧几何体系——双曲几何。书中的核心章节将空间曲率的概念引入，通过双曲三角形内角和小于180度的具体例子，直观展示了不同几何世界观的内在逻辑。 最后，我们探讨了黎曼（Riemann）在1854年发表的开创性演讲，该演讲提出了更广义的、允许任意曲率的概念。黎曼几何的诞生标志着对“平直”空间的彻底超越，为现代物理学，特别是广义相对论，奠定了数学基础。 第二部分：张量、测地线与弯曲空间 本部分是本书的技术核心，专注于黎曼几何的工具箱。我们将从基础的微分几何概念出发，构建起理解弯曲空间所需的数学框架。 张量分析入门： 我们详细解释了协变和逆变张量、度规张量（$g_{mu u}$）在定义空间内距离和角度中的核心作用。通过坐标变换下的张量分量变化规则，读者将理解为何张量是描述内在几何属性的理想语言。对克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）的推导和物理意义的阐释将是重点，它们是衡量空间非平直性的“局部测地曲率”指标。 测地线的意义： 测地线，即弯曲空间中的“最短路径”，是几何结构在动力学上的体现。本书通过对比欧氏空间中的直线与球面上的大圆（如经线和赤道），展示测地线的概念如何推广。我们运用变分原理（如欧拉-拉格朗日方程）推导出测地线方程，并分析其在实际应用中的重要性。 曲率的量化： 介绍里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）。这些量不仅仅是抽象的代数表达式，它们直接关联到空间如何“弯曲”以及物质和能量如何影响这种弯曲。我们将通过著名的舒瓦西环（Schwarzschild）度规的简化模型，展示曲率如何描述黑洞周围的时空结构。 第三部分：流形、拓扑与高维推广 几何学的演进必然伴随着对“空间”本质的抽象化。本部分将视角提升至拓扑学和流形理论，探讨了如何用局部平坦的片段来描述全局的复杂结构。 流形的概念： 流形被定义为在局部看起来像欧氏空间的拓扑空间。我们探讨了从一维曲线、二维曲面到更高维流形的构造过程。重点分析了光滑流形的定义，以及为什么需要“光滑性”来定义微分几何中的切空间和向量场。 欧拉示性数与拓扑不变量： 几何的某些属性在连续形变下保持不变，这就是拓扑不变量。本书将欧拉示性数（Euler Characteristic）作为连接欧氏几何、球面几何和环面几何的关键纽带，阐述了高斯-博内定理（Gauss-Bonnet Theorem），该定理奇妙地将曲率（微分几何量）与拓扑结构（全局性质）联系起来。 边界和分类： 探讨了紧致性、可定向性等拓扑性质对几何研究的影响。对于二维流形，我们将简要介绍关于球面、环面和带柄的曲面的分类理论，展示了拓扑学如何为几何学设定了“可能的形状”的清单。 第四部分：几何学的应用前沿 最后，本书将理论几何与现代科学的前沿领域进行连接，展示这些抽象概念在现实世界中的巨大威力。 广义相对论的几何视角： 详细剖析爱因斯坦场方程（Einstein Field Equations）的几何内涵。场方程的核心在于，物质和能量（由里奇张量描述）决定了时空（度规张量）的几何结构。我们将深入探讨时空弯曲如何表现为引力，并分析引力波作为时空度规振动的几何解释。 微分几何在数据科学中的隐喻： 即使在看似不相关的领域，几何思想也发挥着作用。我们探讨了在高维数据分析中，如何将数据集视为嵌入在某个高维流形上的点集。流行学习（Manifold Learning）方法，如 Isomap 和 LLE，本质上就是试图在低维空间中保留高维数据固有的测地线距离结构。 结论：空间的无限可能 本书总结了从平直空间到任意曲率空间的数学旅程，强调了微分几何作为现代物理学和高维数据分析的通用语言的不可替代性。它邀请读者认识到，我们所感知的“平直”空间，仅仅是无限几何可能性中的一个特例。 适合读者： 本书适合具有微积分和线性代数基础的物理学、数学及工程学高年级本科生和研究生。同时，对于任何对空间、维度和宇宙本质充满好奇心的严肃读者，本书也提供了深刻的见解。本书的难度适中，通过大量的几何直观解释和严谨的数学推导相结合，力求在深度和可读性之间找到最佳平衡。

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