Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Ludwig D. Faddeev

出品人:

页数:592

译者:

出版时间:2007-1

价格:540.00 元

装帧:平装

isbn号码:9783540698432

丛书系列:Classics in Mathematics

图书标签:

• 数学
• Solitons
• Hamiltonian mechanics
• Nonlinear waves
• Integrable systems
• Mathematical physics
• Differential geometry
• Inverse scattering transform
• Korteweg-de Vries equation
• Nonlinear Schrödinger equation
• Fluid dynamics

好的，这是为您准备的一份关于 Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons 这本图书的详细内容介绍，内容聚焦于该书可能涵盖的核心主题，且不包含任何关于该书的已知信息（如作者、出版年份等），旨在提供一个纯粹基于主题的、技术性的导读。 --- Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons: 理论基础、精确求解与动力学分析 本书系统性地深入探讨了孤子理论的核心——一个跨越数学物理、非线性分析和凝聚态物理的交叉领域。全书以哈密顿力学的框架为基础，详尽阐述了如何利用经典和量化的哈密顿结构来理解和构建可积非线性偏微分方程（PDEs）的精确解及其动力学行为。 第一部分：可积系统的数学基础与哈密顿结构 本书的第一部分为后续的孤子研究奠定了坚实的数学基础，重点关注控制孤子行为的系统的内在对称性与守恒律。 第1章：非线性演化方程的引入与可积性判据 本章首先回顾了重要的非线性演化方程，如Korteweg-de Vries (KdV) 方程、非线性薛定谔 (NLS) 方程以及Sine-Gordon方程。随后，重点介绍了判断一个非线性PDE系统是否具有完全可积性的关键工具： 1. 劳氏谱（Lax Pair）的构建：详细讨论了如何为特定的非线性方程构造对应的线性算子对 $left(L, A ight)$。这是实现精确求解（如逆散射变换）的前提。 2. 无穷多守恒量：阐述了如何通过谱算子 $L$ 的演化方程 $frac{partial L}{partial t} = [A, L]$，系统性地推导出系统的无穷多个守恒量，这些守恒量是哈密顿结构存在的直接体现。 第2章：哈密顿形式的建立与泊松括号 本章的核心是将已知的非线性演化方程转化为形式上与经典力学等价的哈密顿形式。 1. 能量泛函的定义：推导了不同物理模型（如水波、光纤通信中的脉冲传播）对应的哈密顿密度 $mathcal{H}$。 2. 泊松结构（Poisson Structure）：引入了泛函泊松括号 ${F, G}$ 的概念，并展示了如何利用这个括号，使演化方程转化为汉密顿方程： $$frac{partial u}{partial t} = {u, mathcal{H}}$$ 详细分析了拟泊松结构（如KdV方程的结构）与李代数结构（如NLS方程在模平方下的结构）之间的联系。 3. 守恒量与泊松括号：证明了所有通过劳氏对导出的守恒量，都与哈密顿量在泊松括号下是零对易的（即相互守恒），这是哈密顿框架下可积性的核心体现。 第二部分：精确解的构造——逆散射变换（IST） 本书将逆散射变换（Inverse Scattering Transform, IST）置于哈密顿方法的框架内进行论述，强调IST是实现可积系统精确积分的通用途径。 第3章：散射理论与谱分析 1. 散射问题的设定：针对不同的方程（如KdV方程的Schrödinger算子，NLS方程的Dirac算子），详细介绍了相应的正向散射问题（或称狄拉克问题）。 2. 反射系数与传输系数：分析了入射波在势场（即孤子解的“本体”）上散射后得到的反射系数 $r(k)$ 和传输系数 $t(k)$ 的物理意义和数学性质。 3. 谱数据的完备性：证明了散射数据 $left{r(k), ext{束缚态能量} ight}$ 构成了完备的演化信息，是反演的“指纹”。 第4章：IST的演化与反演 1. 谱数据的演化：利用劳氏对中线性算子 $A$ 的时间演化，推导出散射数据（尤其是束缚态的能量和系数）是如何随时间简单地线性演化的，这是IST的精髓所在。 2. 重建定理（Reconstruction Theorem）：详尽阐述了如何根据时间演化后的谱数据，利用黎曼-希尔伯特问题或Tohdo-Faddeev积分方程，精确地重构出原始非线性场的演化解 $u(x, t)$。 3. 多孤子解的生成：通过对反射系数 $r(k)$ 设置特定的零点（对应于束缚态），系统地推导出了双孤子、三孤子解的显式表达式，并分析了它们相互作用（碰撞）的非线性特征。 第三部分：孤子动力学与高维推广 第三部分超越了一维方程，将哈密顿方法应用于更复杂的、具有内在几何结构或高维特性的系统。 第5章：孤子流与无穷维李群 1. 高阶KdV方程的哈密顿结构：介绍了KdV流的高阶可积层级，这些层级可以被视为一个无穷维李代数上的流。 2. 无穷维李群的共轭流：利用李群理论，从哈密顿量的角度理解不同可积层级之间的关系，例如将KdV流视为一个特殊的哈密顿流。 第6章：基于哈密顿量的高维孤子 1. 非线性双曲方程的求解：探讨了如Boys-Lomdahl方程或Davey-Stewartson方程等高维可积系统。这些系统通常需要在曲面几何或复数域上定义哈密顿结构。 2. 几何相与相位突变：分析了孤子在穿越障碍物或与其他孤子相互作用后，其相位上发生的非平凡变化（几何相位）。哈密顿量和守恒量提供了理解这种相位动力学的规范无关的途径。 第7章：量子化与可积系统的玻色子场论 本书的最后部分将视野扩展到量子领域，探讨了在可积系统背景下，哈密顿力学的量子化过程。 1. Bethe假设与精确对角化：在特定的一维相互作用模型（如XXX自旋链）中，展示了如何利用Bethe Ansatz将哈密顿量精确对角化。 2. 量子哈密顿量的构造：强调了在量子可积系统中，量子的哈密顿量依然保持与经典哈密顿量相似的对易关系（例如，量子泊松括号被量子对易子取代），从而保证了系统在量化后的可积性得以保留。 3. 集体激发与准粒子：讨论了在量子场论中，孤子解如何对应于特定的真空激发态或准粒子激发，以及哈密顿量如何描述这些激发之间的相互作用。 全书旨在为读者提供一个统一的、基于哈密顿结构理解孤子现象的强大数学工具箱，连接了经典积分方法与现代的数学物理前沿研究。

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